新浙教版九年级数学上册同步课件：第3章复习课
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82＋32＝ 73.综上所述，PA 的长为 3 或 73.
【答案】 3或 73
【变式 3-2】 (2018·襄阳)如图 3-6，
点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O
上，若 OA⊥BC，∠CDA＝30°，则
弦 BC 的长为
()
A. 4
B. 2 2
C. 3
D. 2 3
【解析】 ∵OA⊥BC，∴CH＝BH，A︵C＝A︵B，∴∠AOB
即【2答∠案A】＝18900°°－－(∠α2 E＋∠F)．∵∠E＋∠F＝α，∴∠A＝90°－α2.
专题三 圆的轴对称性
1.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称 轴．圆的对称轴有无数条．
注意：对称轴是直线，所以不能说圆的每一条直径都是
它的对称轴． 2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的弧． 3. 垂径定理的推论： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧． (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 4. 利用垂径定理及其推论进行相关证明时，常需要通过 作垂线来作出弦心距，垂足为弦的中点．
【例 3】 在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，⊙O 过点 B， C，圆心在△ABC 的内部，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为
A. 10 C. 13
B. 2 3 D. 3 2
()
【解析】 由题意画出图形如解图所示，过点A 作AD⊥BC于点D，由题意可知AD必过点O，连
结OB. ∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
知识结构
重点回顾
专题一 圆心角与圆周角
1. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等． 2. 圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相 等． 3. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，
交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影
部分的面积为
()
A. 4π－4
B. 4π－8
C. 8π－4
D. 8π－8
【解析】 利用对称性可知：S阴影＝S扇形AEF－S△ABD＝
90×36π0×42－21×4×2＝4π－4.
【答案】 A
【变式 4-2】 如图 3-9，将半径为 2，圆心角为 120°的 扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别 为 O′，B′，连结 BB′，则图中阴影部分的面积是______．
【解析】 连结 OO′，BO′.
（变式 4-2 解） ∵将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠AO′B′＝∠AOB＝120°，∠OAO′＝60°. 又∵OA＝O′A，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AO′O＝∠AOO′＝60°，OO′＝OA， ∴∠AO′O＋∠AO′B′＝180°，∴O，O′，B′三点共线． ∵OA＝OB，∴OB＝OO′. ∵∠AOB＝120°，∴∠BOO′＝60°，∴△OO′B 是等边三角形， ∴O′B＝OO′＝OB＝O′B′，∴∠OBB′＝90°，∴BB′＝ 3OB＝2 3， ∴S 阴影＝S△OBB′－S 扇形 OO′B＝12×2×2 3－603π6×022＝2 3－23π. 【答案】 2 3－23π
专题五 解决平面图形的滚动问题
1. 多边形滚动时，滚动的支点(圆心)在不断地交替，半 径也可能发生变化． 2. 对于复杂的多边形的滚动，适合从局部分析入手，找 出滚动的规律，进而解决问题． 3. 点的运动路线在滚动中是弧线而不是直线．
【例 5】 如图 3-10，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3， 边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚， 当点 A 第一次翻滚到点 A1 的位置时，点 A 经过的路线长 为______．
【变式1-1】 已知点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则
∠BAC的度数为
()
A. 40°
B. 100°
C. 40°或140°
D. 40°或100°
【解析】 如解图．
∵点O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°.
∴∠BAC的度数为40°或140°.
【答案】 C
【变式1-2】 (2018·杭州)如图3-2，AB 是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过 点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点， 过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA 的度数为______．
【解析】 ∵C是半径OA的中点， ∴OC＝21OD.∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°， ∴∠DOA＝60°，∴∠DFA＝30°. 【答案】 30°
专题二 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的对角互补． 2. 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3. 圆的内接平行四边形为矩形． 4. 圆的内接梯形一定为等腰梯形．
【解析】 如解图，连结 CP，延长 PB 交⊙C 于点 P′. ∵CP＝5，CB＝3，PB＝4， ∴CB2＋PB2＝CP2， ∴△CPB 为直角三角形，∠CBP＝90°∴CB⊥PB，∴ P′B＝PB＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC. 又∵PB＝AC＝4，∴四边形 ACBP 为矩形，∴PA＝BC ＝3.在 Rt△APP′中， ∵PA＝3， PP′＝8，∴P′A＝
4. 圆周角定理的推论： (1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的弧也相等．(其中同弧或等弧不能改为同弦或等弦，一条弦对应的圆周 角分布在弦的两侧，并且两侧的圆周角互为补角．) 5. 在圆心角和圆周角的关系中，所有圆心角和圆周角的等量关系都要通 过它们所对的弧进行转换．
A.4＋32
3 πa
C.4＋3
3 πa
B.8＋34
3 πa
D.4＋62
3 πa
【解析】 如解图，连结 A1A5，A1A4，A1A3，易得 A1A4＝2a，A1A5＝A1A3 ＝ 3a. 当点 A1 第一次滚动到图②的位置时，顶点 A1 所经过的路径分别是以点 A6，A5，A4，A3，A2 为圆心，a， 3a，2a， 3a，a 为半径，圆心角均为 60°的五条弧，
∴AB＝2，AC＝ 3 ，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动翻
转，且点A第3次落在直线l上时，有3个
︵ AA1
的长，2个
︵ A1A2
的长，
∴点A经过的路线长＝12108π0×2×3＋901π8×0 3×2＝(4＋ 3)π. 【答案】 (4＋ 3)π
【变式 5-2】 如图 3-12，将边长为 a 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点 A1 第一次滚动到图②的位置时，顶点 A1 所经过的路径长为 ( )
【例2】 如图3-3，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝ 120°，点E在A︵D上． (1)求∠E的度数． (2)若⊙O的半径为2，求A︵D的长． (3)连结OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一 边，求n的值．
图3-3
【解析】 (1)如解图①，连结AC. ∵AB＝AD，∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°. ∵∠E＋∠ACD＝180°， ∴∠E＝180°－60°＝120°.
(2)如解图①，连结 OA，OD. ∵∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴lA︵D＝1201×8π0×2＝43π. (3)如解图②，连结OA. ∵∠AOD＝120°，∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝120°－90°＝30°，
∴n＝33600°°＝12. 【答案】 (1)120° (2)43π
【变式2-2】 如图3-5，⊙O的内接四边形 ABCD两组对边的延长线分别相交于点E， F.如果∠E＋∠F＝α，那么∠A＝______ (用含α的式子表示)． 【解析】 ∵四边形ABCD为⊙O的内接 四边形， ∴∠A＝∠BCF. ∵∠EBF＝∠A＋∠E，∠EBF＝180°－ ∠BCF－∠F， ∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F， ∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，
OB，OC.∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，
故总长为60π·（a＋
3a＋2a＋ 180
3a＋a）＝4＋32
3 πa.
【答案】 A
(变式 5-2 解)
析错纠错
易错点1 根据题意作图不准确
【典例1】 已知△ABC内接于半径为r的⊙O，且BC＞AB＞AC，OD⊥BC于点D.若OD
＝21r，求∠A的度数． 【错解】 当圆心在△ABC
内时，如图
3-13①，连结
(3)12
【变式2-1】 如图3-4，圆内接四边形ABCD的两组 对边延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平 分线相交பைடு நூலகம்点P.求证：PE⊥PF.
【解析】 ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠A＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCF＋∠BCD＝180°， ∴∠BCF＝∠A. ∵FM 平分∠BFC，∴∠BFN＝∠CFN. ∵∠EMP＝∠A＋∠BFN， ∠PNE＝∠BCF＋∠CFN， ∴∠EMP＝∠PNE，∴EM＝EN. ∵PE 平分∠MEN，∴PE⊥PF.
∴AD＝BD＝CD＝12BC＝3， ∴OD＝AD－OA＝2. 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OB＝
BD2＋OD2＝ 13.
【答案】 C
【变式 3-1】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点 P 在以点 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB.若 PB＝4，则 PA 的长为______．
图 3-10
【解析】 如解图，根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段： ①以 90°为圆心角，AD 长为半径的扇形的弧长；②以 90°为圆心角， AB 长为半径的扇形的弧长；③以 90°为圆心角，矩形 ABCD 的对角 线长为半径的扇形的弧长．
(例 5 解) ∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5. ∴lA︵A′＋lA′︵A″＋lA″︵A1＝901π8×03＋901π8×04＋901π8×05＝6π，即点 A 经过的路 线长为 6π. 【答案】 6π
【例 4】 (2018·台湾)如图 3-7，在△ABC 中，D 为 BC 的中
点，以点 D 为圆心，BD 长为半径画弧，
交 AC 于点 E.若∠A＝60°，∠B＝100°，
BC＝4，则扇形 DBE 的面积为( )
A.
1 3π
B.
2 3π
C.
4 9π
D.
5 9π
【解析】 ∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°－60°－100°
＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB·23＝ 3，∴BC＝2BH＝2 3. 【答案】 D
专题四 弧长及扇形的面积
1. 弧长及扇形的面积： (1)在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公 式为：l＝n1π8R0 . (2)如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l， 那么扇形面积S的计算公式为：S＝n3π6R02＝21lR. 2. 求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法；(2)割补 法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．
【变式 5-1】 如图 3-11，Rt△ABC 的边 BC 位于直线 l 上，BC ＝1，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若由现在的位置向右无滑动翻转，当 点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线长为______ (结果 保留根号和 π)．
图 3-11
【解析】 ∵在Rt△ABC中，BC＝1，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
【例 1】 (2018·赤峰)如图 3-1，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点(A，B 除外)，∠AOD＝
130°，则∠C 的度数是
()
A. 50°
B. 60°
C. 25°
D. 30°
【解析】 ∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝180°－130°＝50°，
∴∠C＝21∠BOD＝12×50°＝25°. 【答案】 C
＝20°.
易知 DE＝DB＝DC＝12BC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝∠C＋∠DEC＝40°，∴S 扇形 DBE＝40×36π0×22＝94π. 【答案】 C
【变式 4-1】 (2018·山西)如图
3-8，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O
的半径为 2，以点 A 为圆心，AC 长
【答案】 3或 73
【变式 3-2】 (2018·襄阳)如图 3-6，
点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O
上，若 OA⊥BC，∠CDA＝30°，则
弦 BC 的长为
()
A. 4
B. 2 2
C. 3
D. 2 3
【解析】 ∵OA⊥BC，∴CH＝BH，A︵C＝A︵B，∴∠AOB
即【2答∠案A】＝18900°°－－(∠α2 E＋∠F)．∵∠E＋∠F＝α，∴∠A＝90°－α2.
专题三 圆的轴对称性
1.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称 轴．圆的对称轴有无数条．
注意：对称轴是直线，所以不能说圆的每一条直径都是
它的对称轴． 2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的弧． 3. 垂径定理的推论： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧． (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 4. 利用垂径定理及其推论进行相关证明时，常需要通过 作垂线来作出弦心距，垂足为弦的中点．
【例 3】 在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，⊙O 过点 B， C，圆心在△ABC 的内部，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为
A. 10 C. 13
B. 2 3 D. 3 2
()
【解析】 由题意画出图形如解图所示，过点A 作AD⊥BC于点D，由题意可知AD必过点O，连
结OB. ∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
知识结构
重点回顾
专题一 圆心角与圆周角
1. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等． 2. 圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相 等． 3. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，
交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影
部分的面积为
()
A. 4π－4
B. 4π－8
C. 8π－4
D. 8π－8
【解析】 利用对称性可知：S阴影＝S扇形AEF－S△ABD＝
90×36π0×42－21×4×2＝4π－4.
【答案】 A
【变式 4-2】 如图 3-9，将半径为 2，圆心角为 120°的 扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别 为 O′，B′，连结 BB′，则图中阴影部分的面积是______．
【解析】 连结 OO′，BO′.
（变式 4-2 解） ∵将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠AO′B′＝∠AOB＝120°，∠OAO′＝60°. 又∵OA＝O′A，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AO′O＝∠AOO′＝60°，OO′＝OA， ∴∠AO′O＋∠AO′B′＝180°，∴O，O′，B′三点共线． ∵OA＝OB，∴OB＝OO′. ∵∠AOB＝120°，∴∠BOO′＝60°，∴△OO′B 是等边三角形， ∴O′B＝OO′＝OB＝O′B′，∴∠OBB′＝90°，∴BB′＝ 3OB＝2 3， ∴S 阴影＝S△OBB′－S 扇形 OO′B＝12×2×2 3－603π6×022＝2 3－23π. 【答案】 2 3－23π
专题五 解决平面图形的滚动问题
1. 多边形滚动时，滚动的支点(圆心)在不断地交替，半 径也可能发生变化． 2. 对于复杂的多边形的滚动，适合从局部分析入手，找 出滚动的规律，进而解决问题． 3. 点的运动路线在滚动中是弧线而不是直线．
【例 5】 如图 3-10，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3， 边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚， 当点 A 第一次翻滚到点 A1 的位置时，点 A 经过的路线长 为______．
【变式1-1】 已知点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则
∠BAC的度数为
()
A. 40°
B. 100°
C. 40°或140°
D. 40°或100°
【解析】 如解图．
∵点O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°.
∴∠BAC的度数为40°或140°.
【答案】 C
【变式1-2】 (2018·杭州)如图3-2，AB 是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过 点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点， 过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA 的度数为______．
【解析】 ∵C是半径OA的中点， ∴OC＝21OD.∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°， ∴∠DOA＝60°，∴∠DFA＝30°. 【答案】 30°
专题二 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的对角互补． 2. 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3. 圆的内接平行四边形为矩形． 4. 圆的内接梯形一定为等腰梯形．
【解析】 如解图，连结 CP，延长 PB 交⊙C 于点 P′. ∵CP＝5，CB＝3，PB＝4， ∴CB2＋PB2＝CP2， ∴△CPB 为直角三角形，∠CBP＝90°∴CB⊥PB，∴ P′B＝PB＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC. 又∵PB＝AC＝4，∴四边形 ACBP 为矩形，∴PA＝BC ＝3.在 Rt△APP′中， ∵PA＝3， PP′＝8，∴P′A＝
4. 圆周角定理的推论： (1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的弧也相等．(其中同弧或等弧不能改为同弦或等弦，一条弦对应的圆周 角分布在弦的两侧，并且两侧的圆周角互为补角．) 5. 在圆心角和圆周角的关系中，所有圆心角和圆周角的等量关系都要通 过它们所对的弧进行转换．
A.4＋32
3 πa
C.4＋3
3 πa
B.8＋34
3 πa
D.4＋62
3 πa
【解析】 如解图，连结 A1A5，A1A4，A1A3，易得 A1A4＝2a，A1A5＝A1A3 ＝ 3a. 当点 A1 第一次滚动到图②的位置时，顶点 A1 所经过的路径分别是以点 A6，A5，A4，A3，A2 为圆心，a， 3a，2a， 3a，a 为半径，圆心角均为 60°的五条弧，
∴AB＝2，AC＝ 3 ，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动翻
转，且点A第3次落在直线l上时，有3个
︵ AA1
的长，2个
︵ A1A2
的长，
∴点A经过的路线长＝12108π0×2×3＋901π8×0 3×2＝(4＋ 3)π. 【答案】 (4＋ 3)π
【变式 5-2】 如图 3-12，将边长为 a 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点 A1 第一次滚动到图②的位置时，顶点 A1 所经过的路径长为 ( )
【例2】 如图3-3，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝ 120°，点E在A︵D上． (1)求∠E的度数． (2)若⊙O的半径为2，求A︵D的长． (3)连结OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一 边，求n的值．
图3-3
【解析】 (1)如解图①，连结AC. ∵AB＝AD，∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°. ∵∠E＋∠ACD＝180°， ∴∠E＝180°－60°＝120°.
(2)如解图①，连结 OA，OD. ∵∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴lA︵D＝1201×8π0×2＝43π. (3)如解图②，连结OA. ∵∠AOD＝120°，∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝120°－90°＝30°，
∴n＝33600°°＝12. 【答案】 (1)120° (2)43π
【变式2-2】 如图3-5，⊙O的内接四边形 ABCD两组对边的延长线分别相交于点E， F.如果∠E＋∠F＝α，那么∠A＝______ (用含α的式子表示)． 【解析】 ∵四边形ABCD为⊙O的内接 四边形， ∴∠A＝∠BCF. ∵∠EBF＝∠A＋∠E，∠EBF＝180°－ ∠BCF－∠F， ∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F， ∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，
OB，OC.∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，
故总长为60π·（a＋
3a＋2a＋ 180
3a＋a）＝4＋32
3 πa.
【答案】 A
(变式 5-2 解)
析错纠错
易错点1 根据题意作图不准确
【典例1】 已知△ABC内接于半径为r的⊙O，且BC＞AB＞AC，OD⊥BC于点D.若OD
＝21r，求∠A的度数． 【错解】 当圆心在△ABC
内时，如图
3-13①，连结
(3)12
【变式2-1】 如图3-4，圆内接四边形ABCD的两组 对边延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平 分线相交பைடு நூலகம்点P.求证：PE⊥PF.
【解析】 ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠A＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCF＋∠BCD＝180°， ∴∠BCF＝∠A. ∵FM 平分∠BFC，∴∠BFN＝∠CFN. ∵∠EMP＝∠A＋∠BFN， ∠PNE＝∠BCF＋∠CFN， ∴∠EMP＝∠PNE，∴EM＝EN. ∵PE 平分∠MEN，∴PE⊥PF.
∴AD＝BD＝CD＝12BC＝3， ∴OD＝AD－OA＝2. 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OB＝
BD2＋OD2＝ 13.
【答案】 C
【变式 3-1】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点 P 在以点 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB.若 PB＝4，则 PA 的长为______．
图 3-10
【解析】 如解图，根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段： ①以 90°为圆心角，AD 长为半径的扇形的弧长；②以 90°为圆心角， AB 长为半径的扇形的弧长；③以 90°为圆心角，矩形 ABCD 的对角 线长为半径的扇形的弧长．
(例 5 解) ∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5. ∴lA︵A′＋lA′︵A″＋lA″︵A1＝901π8×03＋901π8×04＋901π8×05＝6π，即点 A 经过的路 线长为 6π. 【答案】 6π
【例 4】 (2018·台湾)如图 3-7，在△ABC 中，D 为 BC 的中
点，以点 D 为圆心，BD 长为半径画弧，
交 AC 于点 E.若∠A＝60°，∠B＝100°，
BC＝4，则扇形 DBE 的面积为( )
A.
1 3π
B.
2 3π
C.
4 9π
D.
5 9π
【解析】 ∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°－60°－100°
＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB·23＝ 3，∴BC＝2BH＝2 3. 【答案】 D
专题四 弧长及扇形的面积
1. 弧长及扇形的面积： (1)在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公 式为：l＝n1π8R0 . (2)如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l， 那么扇形面积S的计算公式为：S＝n3π6R02＝21lR. 2. 求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法；(2)割补 法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．
【变式 5-1】 如图 3-11，Rt△ABC 的边 BC 位于直线 l 上，BC ＝1，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若由现在的位置向右无滑动翻转，当 点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线长为______ (结果 保留根号和 π)．
图 3-11
【解析】 ∵在Rt△ABC中，BC＝1，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
【例 1】 (2018·赤峰)如图 3-1，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点(A，B 除外)，∠AOD＝
130°，则∠C 的度数是
()
A. 50°
B. 60°
C. 25°
D. 30°
【解析】 ∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝180°－130°＝50°，
∴∠C＝21∠BOD＝12×50°＝25°. 【答案】 C
＝20°.
易知 DE＝DB＝DC＝12BC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝∠C＋∠DEC＝40°，∴S 扇形 DBE＝40×36π0×22＝94π. 【答案】 C
【变式 4-1】 (2018·山西)如图
3-8，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O
的半径为 2，以点 A 为圆心，AC 长