2020-2021中考数学 圆的综合 综合题附答案

2020-2021中考数学圆的综合综合题附答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶
BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
3．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣23B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：
①t的值；
②∠MBD的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．
【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】
分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；
②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值． 详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．
∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2
231+（）
=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8； （2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ． ∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．
∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；
②由（1）可知：BE =1，AE 3 ∴tan ∠EBA =
AE BE =3
1
3，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =1
1202
⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ．
∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形， ∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；
（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况： 第一种情况：如图5．
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°． ∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线． ∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．
∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；
第二种情况：如图6．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．
∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=ME
BE
，EB=
1
60
tan
=
3
，
∴3t=2t+6+3
3，t=6+
3
3
；
综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+3
．
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF：
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．
详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴BF
DG
=
CF
CG
，
EF
AG
=
CF
CG
，
∴BF
DG
=
EF
AG
，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，
又∵OA =OB ， ∴∠ABO =∠BAO ， ∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°， 即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；
（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，
∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，
由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，
∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即
1
2
HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴1
2
FH HG CD DG ==， 即
1
2
BD CD =，
∴
23
2.153
≈， ∵O 的半径长为32， ∴BC =62， ∴BD =
1
3
BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC,垂足为H ，连接OB ． (1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;
(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ，使AG ∥OB ，若∠BAC=600， 求证:GF=GD;
(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF ：FE=1:9，求sin ∠ADG 的值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1114
. 【解析】
试题分析：（1）延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ．由圆周角定理可得：∠AQB =∠ACB ，再由等角的余角相等即可得出结论； （2）证明△DFG 是等边三角形即可；
（3）延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中， AH =5k ．设NH =x ，则AN =5k -x ， AD =10k -2x ．在△AQF 中， AF =k ，AQ =
2k ，FQ 3
．由(2)知：△GDF 是等边三角形，得到GD =GF =DF ，进而得到AG =9k -2x ．
OM =NH =x ，BC =23， GF =BC =23．在△GQF 中，GQ =AG +AQ =192k -2x ，QF =3
2
k ，GF =3，由勾股定理解出74x k =
，得到AG =9k -2x =11
2
k ，AR =2OB =4OM =4x =7k ．在△GAR 中，由sin ∠ADG =sin ∠R 即可得出结论．
试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ． ∵BQ 是⊙O 直径，∴∠QAB =900．∵AD ⊥BC ，∴∠AHC =900． ∵弧AB =弧AB ，∴∠AQB =∠ACB ． ∵∠AQB +∠ABO =900，∠ACB +∠CAD =900 ∴∠ABO =∠CAD
（2）证明：如图2，连接DF ．
∵AG ∥OB ，∴∠ABO =∠BAG ．∵∠ABO =∠CAD ，∴∠CAD =∠BAG ． ∵∠BAC =600，∴∠BAD +∠CAD =∠BAD +∠BAG =600，即
∠GAD =∠BAC =60°．∵∠BAD =∠CAF ．∴∠CAF +∠CAD =600，∴∠GAD =∠DAF =600，∴∠DGF =∠DAF =60°．
∵弧GD =弧GD ，∴∠GAD =∠GFD =600，∴∠GFD =∠DGF =600，∴△DFG 是等边三角形，∴GD =GF ． （3）如图3，
延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．
∵AF ：FE =1：9，∴设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中，∠E =300，∴AH =5k ． 设NH =x ，则AN =5k -x ．∵ON ⊥AD ，∴AD =2AN =10k -2x 又在△AQF 中，∵∠GAF =1200，∴∠QAF =600，AF =k ，∴AQ =2k ，FQ =
3
2
k ． 由(2)知：△GDF 是等边三角形，∴GD =GF =DF ，
∵∠GAD =∠DAF =600，∴DP =DK ，∴△GPD ≌△FKD ，△APD ≌△AKD ∴FK =GP ，AP =AK ，∠ADK =300，∴AD =2AK =AP +AK =AF +AG ∴AG =10k -2x -k =9k -2x ．
∵作OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，∴OM =NH =x ．∵∠BOD =
1
2
∠BOC =∠BAC =600 ∴BC =2BM =23．∵∠BOC =∠GOF ，∴GF =BC =23
在△GQF 中，GQ =AG +AQ =192k -2x ，QF =32
k ，GF =23x ∵222GQ FQ GF +=
∴()
2
2
219322322k x k x ⎛⎫
⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()12713
42
x k x k =
=-，舍去． ∴AG =9k -2x =11
2
k ，AR =2OB =4OM =4x =7k ， 在△GAR 中，∠RGA =900，
∴sin ∠ADG =sin ∠R =
AG AR =11
14
．
点睛：本题是圆的综合题．熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关键．
6．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D
在劣弧»OA
上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径； (2)求证：BD 平分∠ABO ；
(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为26
2)． 【解析】
试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出2，从而求出OH
的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.
试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴e M 的半径r=
1
2
AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO
（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－
2=2
在Rt △AOB 中，
3OA
OB
=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=
2633=∴点E 的坐标为（26
3
，2）
考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.
7．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）233
π
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题． 【详解】
（1）连接OD ．
∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．
∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．
∵¶¶AE DE
=，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=-． 【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm =，点O 到AC 的距离为4cm ．
（1）求弦AC 的长；
（2）问经过多长时间后，△APC 是等腰三角形．
【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或
145
s 时，△APC 是等腰三角形； 【解析】
【分析】
（1）过O 作OD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求得AD 的长，再利用垂径定理即可求得AC 的长；（2）分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可.
【详解】
（1）如图1，过O 作OD ⊥AC 于D ，
易知AO=5，OD=4，
从而AD==3，
∴AC=2AD=6；
（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t ①如图2，若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，
∴△AHC∽△ADO，
∴AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，
解得t=s，
∴经过s后△APC是等腰三角形；
②如图3，若AP=AC，
由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，
又∵AC=6，
则10﹣t=6，解得t=4s，
∴经过4s后△APC是等腰三角形；
③如图4，若AP=CP，P与O重合，
则AP=BP=5，
∴经过5s后△APC是等腰三角形．
综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．
【点睛】
本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当
△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．
9．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A 重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线
．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线
．．BC于点G，设⊙D的半径为r．
（1）求证AE＝EF；
（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；
（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)见解析3
3 3
5
r
<<
【解析】
【分析】
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；
（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：设圆的半径为r；
（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，
而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，
∴AE=EF；
（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F
∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，
由勾股定理得：（3r）2+9=36，
解得：r=3；
（3）①当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG，
=-==-
333,3933
FC r GC FC r
②当点F在线段AC的延长线上时，如图4所示，连接DE、DG，
===-
333,3339
FC r GC FC r
两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，
由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，
点G 在圆的内部，故：DG2＜r2， 即：22(332)(339)2r r r -+-<
整理得：25113180r r -+<
解得：6335r <<
【点睛】
本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．
①求证：AG ＝GD ；
②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？
③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35
，求BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为
145． 【解析】
【分析】
（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O e 的直径，根据垂径定理，即可得到¶¶AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；
（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；
（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=
，cos ∠ABD ＝45
，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.
【详解】
（1）证明：连接AD ，
∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，
∴¶¶AD AE =，
∴∠ADE ＝∠ABD ，
∵弦BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝∠ABD ，
∵∠DBC ＝∠DAC ，
∴∠ADE ＝∠DAC ，
∴AG ＝GD ；
（2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．
理由：∵弦BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，
∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，
∵DE ⊥AB ，
∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，
∴△DGF 是等边三角形；
（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，
∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，
∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，
∴BD ＝22AB BD -＝8，
∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5
BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×
34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72
， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝
72×45＝145． ∴BC 的长为：145
．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．
11．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．
（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=2，求⊙O的半径r．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，
∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．
（1）⊙O与BC相切，理由如下
连接OD、OB，如图所示：
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，
∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB为半径，
∴⊙O 与BC 相切；
（2）∵AD=CD ，
∴∠ACD=∠CAD ．
∵AO=OD ，
∴∠OAD=∠ODA ．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD ，
∠COD=2∠CAD ．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°．
∴OD=12 OC ， 即r=12
（r+2）． ∴r=2．
【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．
12．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O e 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．
①求证：CD CB =；
②若030A ∠=，且O e 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．
【答案】①证明见解析； ②3【解析】
【分析】
①先求出BC CE AC BC
=，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A =∠CBE ，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A =∠D ，然后求出∠D =∠CBE ，然后根据等角对等边即可得证；
②连接OB 、OC ，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出
∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解．【详解】
①∵BC2=AC•CE，∴BC CE AC BC
=．
∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．
∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；
②连接OB、OC．
∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则
CF=BC×sin30°
1
2
=BC，BF=BC•cos30°3
=BC，所以，BD=2BF=2
3
⨯BC3
=BC，设△BCD
内切圆的半径为r，则S△BCD
1
2
=BD•CF
1
2
=（BD+CD+BC）•r，即
1
2
•3BC•
1
2
BC
1
2
=
（3BC+BC+BC）•r，解得：r
3
223
=
+
（）
BC
233
-
=BC，即IF
233
-
=BC，所以，
CI=CF﹣IF
1
2
=BC233
-
-BC=（23
-）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23
-）BC=（3-1）
BC．
∵⊙O的半径为33
+，∴BC=33
+，∴OI=（3-1）（33
+）=33+3﹣
3323
-=．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．
13．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝
12∠P ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，DM ＝1，求PM 的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF 、BM ；在线段DN 上有一点H ，并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求DH 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）PM ＝43﹣2；（3）满足条件的DH 的值为632- 或122311
+． 【解析】
【分析】
（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，
DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，
DH CD FB MF
=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】
（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．
∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，
∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，
∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，
∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，
∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，
∴直线PA 是⊙O 的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，
∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，
∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，
∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ，
∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，
∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ，
在Rt △ADP 中，
DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×
3 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝
4 3﹣2．
（3）如图2中，
由（2）可知：BF ＝12
BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2，
①当△CDH ∽△BFM 时，
DH CD FM BF = ， ∴3432
=- ，∴DH 63- ②当△CDH ∽△MFB 时，
DH CD FB MF =，
∴34432DH =- ，∴DH ＝1223+ ， ∵DN ＝()22443833--=- ，
∴DH ＜DN ，符合题意，
综上所述，满足条件的DH 的值为
63- 或1223+． 【点睛】
本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.
14．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ
+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =
（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．
（1）如图1，当2r =时，
①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．
②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．
（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，
①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．
②当3k =时，求r 的取值范围．
（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．
【答案】（1）2．②是；（2）①3k =
②r 的取值范围是12r <≤；（3）
333b -<． 【解析】
【分析】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =计算即可解决问题； ②根据定义求出k 的值即可判断； （2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出
2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．
【详解】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．
由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即
11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=
== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，221212k -+++∴=
=，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．
2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．
(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时
23MQ k CQ ==； ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，
∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．
（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．
当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点
)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
15．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=1
2
AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．
【解析】
试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；
（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．
试题解析：（1）如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6×=2，
在Rt△POD中，
PD===；
（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=AB，
∴OB=BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切线；
②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．
考点：圆的综合题。