人教版高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥(第七课时)

棱锥〔三〕
●教学目标
〔一〕教学知识点
1.正棱锥直观图的画法.
2.多面体的概念及其分类.
3.正多面体的概念及其种类.
〔二〕能力训练要求
1.使学生掌握正棱锥的直观图的画法.
2.使学生了解多面体的概念及其分类.
〔三〕德育渗透目标
培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决各种问题的能力.
●教学重点
1.正棱锥直观图的画法.
2.正多面体的概念及其种类.
●教学难点
正多面体的概念的理解.
●教学方法
学导式
在以正五棱锥为例画正棱锥的直观图时，让学生在已掌握的直棱柱直观图画法的基础上推想出正棱锥直观图的画法，并启发学生对如何确定正棱锥的顶点位置进行思考.通过多媒体课件的具体准确的逐步演示，使学生进一步熟练掌握其画法与步骤.
在对多面体概念及其分类进行学习时，结合学生所做的模型将多面体的概念及其分类能直观形象的理解，在此基础上，给出正多面体概念，启发学生推想论证正多面体的性质.
●教具准备
多媒体课件一个：
课本P49例2中的画法过程的演示，通过它具体准确的过程，使学生熟练掌握正棱锥的直观图的画法，从而为学生进一步提高识图、画图及解图的基本技能和方法选择能力奠定基础.
投影片三张.
第一张：本课时教案例1〔记作9.8.3 A)
第二张：本课时教案例2〔记作9.8.3 B)
第三张：本课时课堂练习3〔记作9.8.3 C)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］前面，对直棱柱直观图的斜二测画法已经熟练掌握，这节课，在此基础上比较着去学习如何画正棱锥的直观图，并引入一个在棱柱、棱锥等概念的基础上归纳产生的更具有一般性的概念——多面体.
Ⅱ.讲授新课
［师］请同学们回忆前面我们画直棱柱直观图的基本步骤有哪些.
［生］①画轴;②画底面;③画侧棱;④成图.
［师］画图过程中的要点有哪些？
［生］直棱柱的底面应遵循水平放置的平面多边形直观图的画法，平行于z轴的线段的平行性与长度都不变.
［师］好.能由此推想出怎样去画棱锥的直观图吗？ 〔学生思考〕
［生］只要画出棱锥的底面和顶点，再连结顶点与底面多边形的各顶点，即可完成棱锥的作法.
［师］对于正棱锥来说，它的直观图画法与直棱柱直观图的画法相同之处有哪些？ ［生］因为正棱锥的底面是正多边形，所以，只要按照水平放置的平面图形的直观图画法就能得到.
［师］对于棱锥的顶点，该如何确定呢？ ［生］在过底面中心的底面垂线上取与底面中心距离等于棱锥高的点就可以画出它的顶点位置了.
［师］下面，请大家打开课本P 49的例2，我们就以正五棱锥为例，说明正棱锥直观图的画法.
〔打出多媒体课件，演示课本P 49例2的画法过程，让学生更清楚准确地掌握正棱锥的画法，体会画图的关键〕
请大家归纳用斜二测画法画正棱锥的步骤.
［生］①画轴;②画底面;③画高;④成图.〔板书〕 ［师］整个画图过程的关键是什么？ ［生］确定正棱锥的顶点所在位置.
［师］仔细观察此题目比前面课本P 45画直棱柱直观图多了一个什么问题,如何处理？
［生］增加了比例尺问题，这个题的比例尺是5
1
，所以x ′轴和z ′轴上的线段取实长的
51，y ′轴上的线段取实长的10
1. ［师］好.以上过程，让我们又一次体会到了画图是识图的继续，也是解图的准备，所以我们一定要熟练掌握一些常见图形的直观图画法.
下面，我们学习一个新概念即多面体，请同学们阅读课本P 50的“〔1〕多面体〞并拿出课下预习时做的课本P 51图9-78及图9-79的两个模型进行观察.
〔学生阅读，教师巡视〕
［师］通过自己阅读课本，大家理解了多面体及其有关概念，现在观察图9-78的模型，如果把这样的多面体的任何一个面伸展为平面，那么大家想象，其余各面位置关系如何？
［生］其余各面都在这个平面的同侧.
［师］我们将具有这个特点的多面体称为凸多面体.
［师］同样将图7-79的模型中的侧面VAB 〔或VAE 〕伸展为平面，那么再推想，其余各面都还会是在这个平面的同侧吗？
［生］不会.
［师］显然这样的多面体不能称为凸多面体了，常常称之为非凸多面体，能举一些我们学过的凸多面体的例子吗？
［生］棱柱、棱锥等. ［师］以上我们是根据将棱锥任一个面伸展为平面后，其他各面是否都在该平面同侧分为凸多面体与非凸多面体，还可以根据棱锥所具有的面的个数，分为四面体、五面体等.如,前面说过的三棱锥、四棱锥、正方体、三棱柱分别为几面体呢？
［生］三棱锥为四面体、四棱锥为五面体、正方体为六面体，三棱柱为五面体.
［师］请思考多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、平行六面体各集合的包含关系，并用图形表示出来.
［生］〔板书〕
面
体凸多面体
平行六 面体棱柱棱锥
［师］当一个凸多面体的每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都
有相同数目的棱时，叫这样的凸多面体为正多面体.事实上，正多面体的种类只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
对于为什么只有五种正多面体这一问题，随着我们学习的深入，后面的欧拉公式可以 解释.
现在请同学们观察课本P 51图9-80，推想出正多面体的性质有哪些？ ［生］正多面体的各个面都是全等的正多边形,各条棱都是相等的线段. ［师］请同学们分析一例.(打出投影片9.8.3 A,读题)
［例1］设M ={简单多面体},N ={凸多面体},P ={正多面体},试用集合与集合间的符号表示M 、N 、P 的关系.
［生］简单多面体包括:棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体等,又根据正多面体的定义,正多面体是特殊的凸多面体,所以有P N M .
［师］再看一例.(打出投影片9.8.3 B,读题)
［例2］求棱长为a 的正八面体的体积V 和全面积S . ［师］请同学们画出图形,依据正八面体的性质求得. (学生作图、求解,老师巡视、点拨)
A
B
C
D
E
F
O
评:根据正八面体的定义可得截面ABCD 是一个边长为a 的正方形,并且截面ABCD 将正八面体分成两个全等的正四棱锥E —ABCD 与F —ABCD .
∵EO =22AO EA -=2
2)2
2(
a a -=22a , ∴V =2V E —ABCD =2×
31×a 2×22a =3
2a 3
. ∴S =8S △EAB =8×
4
3a 2
=23a 2. ［师］准确解决此题,需要大家对正多面体的定义及其性质熟练掌握. 再看一例.(打出投影片9.8.3 C,读题) ［例3］(2004年高考,理10)正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ,那么
S
T
等于
A.
9
1 B.
9
4
C.
4
1 D.
3
1 ［师］请同学们积极思考,认真地将此题的思路表述出来
.
［生］根据题意,四面体EFGH 也为正四面体.
延长AE 交BC 于点M ,延长AF 交CD 于点N ,那么M 、N 分别为BC 、CD 的中点.
由
AM AE =AN AF =32
,得EF ∥MN . ∴MN EF =AM AE =3
2. 设BD =2a ,那么MN =a ,EF =3
2
a ,
∴
S T =
BCD
EFG
S S ∆∆=2
2)2(4
3)
32(43a a ⋅⋅=91.应选A. ［师］上题中,假设设正四面体ABCD 的棱长为a ,利用三角形的相似可求得正四面体EFGH 的边长为
3a ,又根据表面积之比等于棱长的平方比,可得S T =(3
1a )2/a 2=91
.应选A. Ⅲ.课堂练习
1.课本Ｐ50练习.
画出底面边长为2 cm,侧棱长为6cm 的正四棱锥的直观图.
答案：依据〔1〕画轴,〔2〕画底面,〔3〕画高,〔4〕成图，4个步骤完成.〔图略〕 2.课本P 52练习1.
四面体都是三棱锥吗？正四面体与正三棱锥的意义完全相同吗？ 答案：都是，不完全相同. Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了正棱锥的直观图的斜二测画法,为进一步解图奠定基础.简单学习了多面体、正多面体的概念及其分类,讨论了几个与多面体有关的综合问题.
Ⅴ.课后作业
〔一〕课本P 52 6、7. 〔二〕1.预习内容
〔1〕系统复习9.2~9.6的内容.
〔2〕尝试探索三棱锥不同于其他多面体的性质. 2.预习提纲
尝试归纳有关线线、线面定理在解题中的应用有哪些. ●板书设计。