最新2019高中数学 课时分层作业15 反证法 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十五) 反证法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
【导学号：31062157】A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.] 3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D [反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数．]
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为
( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
C[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]
5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1
x
，则a ，b ，c 三个数
( )
A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
C [若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6①， 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1
z
≥6②，
显然①，②矛盾，所以C 正确．] 二、填空题
6．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2
＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2
”时，假设内容是________.
【导学号：31062158】
[解析] “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，
|f (3)|都小于1
2
”．
[答案] |f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于1
2
7．用反证法证明命题“若x 2
－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． [解析] 反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x ≠－1且x ≠1. [答案] x ≠－1且x ≠1 8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1
－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．
证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．
[解析] 由假设p 为奇数可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．
[答案] a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋…＋
a 7)－(1＋2＋ (7)
三、解答题
9. 已知x ，y >0，且x ＋y >2.
求证：1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
【导学号：31062159】
[证明] 假设1＋x y ，1＋y x
都不小于2，
即
1＋x y ≥2，1＋y
x
≥2.
∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，
即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴
1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
10．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．
[解] 假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2
＋bn ＋c ＝0，
由f (0)为奇数，即c 为奇数，
f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，
又an 2
＋bn ＝－c 为奇数，
所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数， 所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数， 所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． 所以f (x )＝0无整数根．
[能力提升练]
1．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中， ( )
【导学号：31062160】
A ．不能同时大于14
B ．都大于1
4
C ．至少一个大于1
4
D ．至多有一个大于1
4
A [法一：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于1
4
.
∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.－a ＋b
2
＞－a b
＞
14＝12， 同理
－b ＋c 2＞1
2
，－c ＋a 2＞1
2
. 三式相加，得 －a ＋b
2
＋－b ＋c
2
＋－c ＋a 2＞3
2
， 即32＞3
2
，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于1
4.
法二：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >1
4，
(1－b )c >14，(1－c )a >1
4
，三式相乘得
(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭
⎪⎫143
①
因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝
⎛⎭⎪
⎫1－a ＋a 22＝14
.
同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤1
4
.
所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫143
.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]
2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c,0)，方程ax 2
＋bx －c ＝0
的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2
＋y 2
＝2上 B ．必在圆x 2
＋y 2
＝2外 C ．必在圆x 2
＋y 2
＝2内 D ．以上三种情形都有可能
C [∵e ＝c a ＝12
，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2
＝2内，则
x 21
＋x 22
≥2，但x 21
＋x 22
＝()x 1＋x 22
－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 2
4c 2＋2c 2c ＝7
4
<2，矛盾．
∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2
＝2内．故选C.]
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
[解析] 若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意． 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意． [答案] 丙
4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2
＋b 2
＜2.
其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
[解析] 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.
[答案] ③
5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【导学号：31062161】
[解] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨
⎧
a 1＝2＋1
3a 1＋3d ＝9＋32
∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2
q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2
－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
∴⎝
⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，
∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。