隆化县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

隆化县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
2． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．
y= B ．y=﹣
x+ C ．y=﹣x|x| D ．
y=
3． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}
B ．{1，3，5}
C ．{1，4，5}
D ．{2，3，4}
4． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
5． 已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．
已知双曲线
﹣
=1的一个焦点与抛物线y 2
=4
x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=
±x ，则
该双曲线的方程为（ ） A
．
﹣
=1
B ．
﹣y 2=1 C ．x 2
﹣
=1 D
．
﹣=1
7． 已知函数21
1,[0,)22
()13,[,1]2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x
（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）
A ．3[,1)4 B
．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)8
8． 设P
是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
9．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A．B．C．3 D．5
10．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
12．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．给出下列命题：
①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；
③x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同；
⑤y=2sin（2x﹣）在是增函数；
则正确命题的序号．
14．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为．
15．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．
16．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数
的值域为．
17．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
18．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.
三、解答题
19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
20．计算： （1）8
+（﹣）0﹣
；
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32．
21．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
22．已知函数，且．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．
23．已知，数列{a n}的首项
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＞2012的最小正整数n．
24．已知{}{}
22
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A
B =-，求实数的值.
隆化县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
2．【答案】C
【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.时，y=，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；
∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
3．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
4．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
5．【答案】B
【解析】解：∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B＞，
∴A＞﹣B，
∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，
∴sinA﹣cosB＞0，
同理可得sinA﹣cosC＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B
6．【答案】B
【解析】解：已知抛物线y 2
=4
x 的焦点和双曲线的焦点重合，
则双曲线的焦点坐标为（，0），
即c=
，
又因为双曲线的渐近线方程为y=±x ，
则有a 2+b 2=c 2
=10和=，
解得a=3，b=1．
所以双曲线的方程为：﹣y 2
=1．
故选B ．
【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则
314t <<，由1324x +=，可得14x =，
由2
13x =，可得3x =（负舍），即有12111,4223
x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
.故本题答案选C.
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
8． 【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．9．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．10．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
12．【答案】A
【解析】解：
=1×
故选A．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），
故函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
14．【答案】．
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．15．【答案】﹣6．
【解析】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
16．【答案】{0，1}．
【解析】解：
=[﹣]+[+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数
的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
17．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【答案】
1
e e
- 【解析】解析： 由ln a b ≥得a
b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a
b e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为
1
1
1|a a e da e e ==-⎰
，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为
1
e e
-． 三、解答题
19．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）2a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以2
11sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a θ>+，0S '>， 当0θθ>时，02
2cos 1a
a θ<+，0S '<，
所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以2
21
12
a a =+，
解得2a = 因为1a >
，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

20．【答案】 【解析】解：（1）8+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（3﹣e ） =e ﹣．
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32 =
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（1）设x ＜0，则﹣x ＞0，
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵y=f（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．
22．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ），
，
．
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{a n}的通项公式为．…
（Ⅱ）．…①
．…②
②﹣①并化简得．…
易见S n为n的增函数，S n＞2012，
即（4n﹣7）•2n+1＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．
24．【答案】
2
3 a=-．
【解析】
考点：集合的运算.。