(教师用书)高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法课件 新人教A版选修1-2
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
π 已知 α, β≠kπ+ (k∈Z), 且 sin θ+cos θ=2sin α, sin θ· cos 2 θ=sin2β, 1-tan2α 1-tan2β 求证: = . 1+tan2α 21+tan2β
sin2α sin2β 1- 2 1-tan2α 1-tan2β 1-cos2α cos β 【证明】 2 = 2 = 2 ⇐ sin α sin2β 1+tan α 21+tan β 1+ 2 21+ 2 cos α cos β
1.本题证明从哪里开始? 【提示】 从结论开始. 2.证题思路是什么? 【提示】 寻求每一步成立的充分条件.
1.分析法的定义 从 要证明的结论 出发, 逐步寻求使它成立的充分条件 , 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
定理、 定义 、 公理 等), ( 已知条件、 这种证明方法叫做分析法.
●教学流程
演示结束
1.了解分析法证明数学问题的格式、 步骤.(重点) 课标 2.理解分析法的思考过程、特点,会 解读 用分析法证明较复杂的数学问题.( 难点)
分析法
【问题导思】 证明不等式: 3+2 2<2+ 7 成立,可用下面的方法进 行. 证明:要证明 3+2 2<2+ 7, 由于 3+2 2>0,2+ 7>0, 只需证明( 3+2 2)2<(2+ 7)2. 展开得 11+4 6<11+4 7,只需证明 6<7, 显然 6<7 成立. ∴ 3+2 2<2+ 7成立.
+
即证 2
n +1
1 1 (2an+ n+1)-2nan 为常数, 2
而 2nan+1-2nan=1 为常数成立. ∴{bn}是等差数列.
1 . 利用分析法证明时,在叙述过程中 “ 要证 ”“ 只需 证”“即要证”这些词语必不可少,否则会出现错误. 2.逆向思考是用分析法证题的主题思想,通过反推,逐 步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向,使问题 顺利获解.
第 2 课时 分析法及其应用
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 结合学过的数学实例,了解直接证明的基本方法:分析 法.了解分析法的思维过程、特点.
2.过程与方法 会用分析法证明数学问题,培养学生的分析问题、解决 问题的能力,提高学生思维能力. 3.情感、态度与价值观 通过学生参与,激发其学习数学的兴趣,端正严谨治学 的态度,提高逆向思维的论证能力.
●教学建议 建议本节课采取探究式教学方法,教师主要作用在“引 导”“点拨”,让学生自主思考分析法的证明特点,掌握分 析法的证明格式与解题步骤, 对于不同类型的问题如何思考、 如何进行逆向推理,教师应给出必要的指导.另外应注意引 导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件,从结论入手 并不是说证明就不需要已知条件,而是证明过程要时时处处 关注已知,将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关 键.证明过程每一步都需可逆.在解答每一个例证前,最好 先引导学生分析出思维路线图,然后再由学生给出证明.
用分析法证明其他问题 1 1 1 在数列{an }中,a1=2,an+1=2an+ n+1,设 bn 2
=2nan,证明:数列{bn}是等差数列.
【思路探究】 分析{bn}成为等差数列的条件是否成立. 【自主解答】 要证{bn}为等差数列,
只要证 bn+1-bn=d(常数)(n≥1), 即证 2n 1an+1-2nan 为常数.
●重点难点 重点:掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤,会 用分析法证明数学问题. 难点:根据问题的特点,结合分析法的思考过程、 点,应用分析法证明较复杂的数学问题. 分析法是从结论到条件的逻辑推理方法,即从题目结论 入手索证结论成立的充分条件, 经过一系列的中间推理索证, 最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知 条件、定理、定义、公理等),所以对结论变形、转化是问题 解决的关键,也是问题的突破点,应该重点讲解. 特
2 2
2 综上可知:a,b 为实数时, a +b ≥ 2 (a+b)成立.
2 2
1.分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知 的重要不等式和逻辑推理的基本理论. 2.用分析法证明不等式是从要证的不等式出发,逐步寻 求使它成立的充分条件, 最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式. 3.用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符 号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语.
2 2 cos β - sin β 2 2 ⇐cos α-sin α= 2
⇐2(1-2sin2α)=1-2sin2β ⇐4sin2α-2sin2β=1,
由已知得:4sin2α=sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ, =1+2sin θcos θ, 2sin2β=2sin θcos θ, ∴4sin2α-2sin2β=1 成立, 1-tan2α 1-tan2β ∴ = 成立. 1+tan2α 21+tan2β
2 【自主解答】 若 a+b<0, a +b ≥ (a+b)显然成立. 2
2 2
2 若 a+b≥0,要证 a +b ≥ (a+b)成立, 2
2 2
1 只需证 a +b ≥2(a+b)2 成立,
2 2
1 2 即证 a +bຫໍສະໝຸດ ≥ (a +2ab+b2)成立, 2
2 2
1 2 即证 (a -2ab+b2)≥0, 2 1 即2(a-b)2≥0 成立, 1 因为 (a-b)2≥0 成立,且以上每步都可逆. 2 2 所以 a+b≥0 时, a +b ≥ (a+b)成立, 2
2.分析法的框图表示 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→得到一个明显 成立的条件
应用分析法证明不等式
2 设 a,b 为实数,求证: a +b ≥ (a+b). 2
2 2
【思路探究】
2 分析:讨论 a +b ≥ (a+b)成立的条 2
2 2
件,分 a+b≥0 和 a+b<0 两种情况.
a2 b2 已知 a>0,b>0,证明不等式 + ≥a+b. b a 2 2 a b 【证明】 要证 + ≥a+b, b a
只需证 a3+b3≥a2b+b2a, 只需证 a3+b3-a2b-b2a≥0, 即证(a-b)2(a+b)≥0. 又 a>0,b>0,(a-b)2(a+b)≥0 显然成立. 因此,原不等式成立.