福建省厦门双十中学高三数学热身考试 理 新人教版【会员独享】

厦门双十中学2010届高三数学（理）热身考试卷
一、选择题
1．集合{3,2},{,}a M N a b ==，a,b 为实数，若{2}M N =则M∪N=（ ）
A ．{0,1,2}
B ．{0,1,3}
C ．{0,2,3}
D ．{1,2,3}
2．设复数z 满足
z
i
21+=i ，则 z = （ ） A ．-2+i B ．-2-i C ．2+i D ．2-i
3．定积分2x
11(e )dx x
+⎰的值为，则 （ ）
A ．234e e -+
B ．2ln 2e e +-
C ．(1)ln 2e e -+
D ．2
ln 2e e ++
4．数列1111
424816
，8，16，32，，的前n 项和为（ ）
A ．1
2
21n n +--- B ．2223n n +---
C ．1
221n n +-+-
D ．1
12
21n n +----
5．函数()ln y x x =-与ln y x x =的图象关于
（ ）
A ．直线y x =对称
B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．原点对称
6.
已知三个正态分布密度函数22
()21()i i x i x μσϕ--=（x ∈R ，123i =，
，）的图象如下所示，则（ ）
A ．123μμμ<=，123σσσ=>
B ．123μμμ>=，123σσσ=<
C ．123μμμ=<，123σσσ<=
D ．123μμμ<=，123σσσ=<
7. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，每隔500元一段要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出的人数为 （ ） A ．20 B ．25
C ．35
D ．45
8．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x
x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则
)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）
9．O 为ΔABC 的内切圆圆心，且AB=5,BC=4,CA=3，下列结论中正确的是（ ）
A ．∙<∙<∙ B. ∙>>∙∙ C ．∙=∙=∙ D. ∙<∙=∙
10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ,
设两条直线l 1：ax ＋b y ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2， 试问点（P 1，P 2）与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是（ ） A ．P 在直线l 2的右下方 B ．P 在l 2直线的左下方 C ．P 在直线l 2的右上方 D ．P 在直线l 2上 二、填空题 11．5
4
2()x x -
的二项展开式中，常数项的值是 .
12．设0＜θ＜π
2
，已知12cos a θ=，*1)n a n N +=
∈,猜想n a ＝________．
13．如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为a 2的等腰三角形俯视图
是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是 ．
14．按如图所示的程序框图运算，若输出2k =，则输入x 的取值范围是______
15．随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数。

陈成在学习
中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数。

于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数。

请你写出这个通项公式 ，从这个通项公式举出一个反例，说明陈成的说法是错误的： . 三．计算题
16.（本题满分13分）
已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x∈[－π4,π4]时，求函
数f(x)的最大值及最小值
17．(本小题满分13分)
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD —1111A B C D ，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60
(I)求证：BD ⊥平面ADG ；(Ⅱ)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．
18.（本题满分13分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，
且这两种情况发生的概率分别为79和2
9
；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、1
3和115
（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续
用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
19.（本题满分13分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴端点分别为A 、B ，且四边
形F 1AF 2B 是边长为2的正方形
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足0MD CD ⋅=，连结CM 交椭圆于
P ，证明OM OP ⋅为定值（O 为坐标原点）；
（III ）在（II ）的条件下，试问在x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使以线段MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由
20.（本题满分14分） 已知函数2()ln
44
x x
f x x -=+-. （Ⅰ）求()f x 的极值；
（II ）判断y=f(x)的图像是否是中心对称图形，若是求出对称中心并证明，否则说明理由； （III ）设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ⊆.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围是
,44a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
？若存在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由
21. 选考部分
（1）如图，向量OA OB 和被矩阵M 作用后分别变成//OA OB 和，￥高#考#资%源*
（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）并求y sin()3
x π
=+在M 作用后的函数解析式；
（2）已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为0
2cos60(sin 60
x t t y t ⎧=-+⎨=⎩为参数） ．以Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1
cos()3
2
π
ρθ-=
.若C 与L 的交点为P ，求点P 与点A （-2,0）的距离|PA|。

厦门双十中学2010届高三数学（理）热身考试卷参考答案
1．D 解析：因为M ∩N=｛2｝,所以2∈M,即2a
=2，a=1，而2∈N ，即b=2。

所以M∪N ={1,2,3}
2． C 解析：设z=a bi +, (a ，
b ∈R)满足z i
21+=i ，∴ 12i ai b +=-，21a b =⎧⎨=-⎩
，∴ z =2i -，2z i =+
解2：z i
21+=i 12122z 2i i zi z z i i i +⇒+=⇒=
⇒=-⇒=+ 3．C ．解：2x 2212
111(e )(ln )|(ln 2)(ln1)ln 2x dx e x e e e e x
+=+=+-+=-+⎰
4．B ．11114816322242n n +++++++++=12(12)12n +-+-11(1)22112
n ⨯--=2223n n +---．
解2：特殊化：n=1时，142n S =+，而1122A =+，1132C =+，11
34
D =-，所以选
B
5．D 解析:把(),x y --代入函数()ln y x x =-中,得ln y x x =,故选D ． 6. D ，μσ--平均数，标准差； 7.B
8.奇函数,所以f(0)=02k ⇒=,又f(x)=x x
a a --为增函数，所以a>1，所以g(x)=log (2)a x +
定义域为x>-2，且递增，选B
9.解析：作出图形， 如图，数量积的意义是实数作差比大小，
∙-∙=∙，由直角三角形C 中为直角，
则∙<0，故OB OA ∙<∙；同理 ∙-∙=∙<0， 则∙<OA OC ∙。

故OB OA ∙<OC OB ∙<OA OC ∙,应选A 。

解2：建系,内切圆的半径= ，所以圆心坐标为
10．B 解析：易知当且仅当12a
b ≠时两条直线只有一个交点，而满足12
a b ＝的情况有三种：1a =，2b =（此时两直线重合），2a =，4b =（此时两直线平行），3a =，6b =（此时两直线
平行），而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P 2＝1－311
3612
＝；两条直线平行的概率为P 1＝21
3618
＝，所求点P 是（
118，1112），易判断P （118，1112
）在直线2l 的左下方．
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11.解：55515542()(2),550,110r r
r r r r r T C x
C x r r x
--+=-
=--===-令则，所以常数项 12、2cos θ2n －1 解析：因为0＜θ＜π2，所以a2＝2＋2cos θ＝2cos θ
2
，a3＝
2＋2cos
θ
2
＝2cos θ
4
，a4＝
2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想an ＝2cos n-12
θ (*
n N ∈)．
13．由三视图，可知此几何体为半个圆锥，其底面积为
2
2
a π，侧面积为
2223221)2(43a a a a a ππ+=⨯+⨯，∴该几何体的表面积为2)32
3(a +π
． 14、依题意可知20101010
201010(1010)10
x x >+⎧⇒⎨
≤++⎩19≤x<200
15.解)1(264241-+++++=n a n 41)1(+-=n n ，令n=41，得16814141=⨯=n a 不是质数。

16,解：（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，
∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2
x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0，即sin2x ＋cos2x
＝－3，
∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π
4
)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．
（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2
x ＋
2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(
22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π
4
)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f(x)有最大值2；
当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π
4时，f(x)有最小值－1．
17.（Ⅰ）证明：在△BAD 中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=3，.2
2
2
BD AD AB +=∴∴AD ⊥BD --（2分）
又GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥BD ，GD AD=D ，∴BD ⊥平面ADG ………4分
（Ⅱ）解：以D 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴建立空间直角坐标系D —xyz
则有A （1，0，0），B （0，3，0），G （0，0，1），E （0，2,3）
)2,3,1(),1,0,1(-=-= --------------------（6分） 设平面AEFG 法向量为),,(z y x m =
则,0
230
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅z y x m z x AG m 取)1.33,1(-=m -------------（9分） 平面ABCD 的一个法向量)1,0,0(==n -------------------------（10分）
A
设面ABFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ，
则||cos |cos ,|||||7
m n m n m n θ⋅=<>=
=
⋅ ----（13分） 18.解：（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为：
172
300(150)20099
E ξ∴=⨯+-⨯=（万元）………2分
若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：
2311
500(300)02005315
E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元）. …4分
又
22172
(300200)(150200)3500099
D ξ=-⨯+--⨯=， ……………………5分
2222311
(500200)(300200)(0200)1400005315
D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，………6分
所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．………8分 （2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000
n
+
=，即1.22n =，10分 两边取对数得：lg 20.3010
3.80532lg 2lg3120.30100.47711
n =
=≈+-⨯+-． 所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． …13分
20．（1）如图，由题知22b c b c ==∴==22
2142
x y a =∴+=……3分 （
2
）
C(-2,0),D(2,0),
则
可
设
11(2):(,)
:(2,4)CM l y k x P x y MD CD M k ==+⊥∴…5分
22222
2444(12)
244121212k k k OM OP k k k k
-+∴⋅=⋅+⋅==+++ …………9分 （3）设00:(,0)2
Q x x ≠-且，
由题知0MQ DP QM DP ⊥∴⋅=成立
:(0,0)Q ∴存在使得以MP 为直径的圆恒过DP 、MQ 的交点 ………………13分
20.解：(I) /
(6)
()4(2)(4)
x x f x x x -=
-- .注意到
204x x ->-，即(,2)(4,)x ∈-∞⋃+∞， (6)
04(2)(4)
x x x x -=--得6x =或0x =．所以当x 变化时，/(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以1(0)ln
2f =是()f x 的一个极大值,3
(6)ln 22
f =+ 是()f x 的一个极大值.. (II) 点
()0,(0),(6,(6))f f 的中点是3(3,)4,所以()f x 的图象的对称中心只可能是3
(3,)4
.
设P(x,y)为()f x 的图象上一点,P 关于3
(3,)4
的对称点是Q 00(,)x y ，
因0
00
x 6323
3224
x x x y y y y +⎧=-=⎧⎪⎪⎪
⇒⎨⎨+=-⎪⎪=⎩⎪⎩，又2ln()44x x y x -=+- 所
以
000
623l
n
2
6
x y x ---=--
，
即点00(,)Q x y 也在函数y=f(x)的图像上。

设(,())P x f x 为()f x 的图象上一点,P 关于3
(3,)4
的
对称点是3
(6,())2Q x f x --……
(III) 假设存在实数a 、b .
[],a b D ⊆,2b ∴<或4a >.
若02b ≤<, 当[],x a b ∈时, 1()(0)ln 02f x f ≤=<,而04b ≥()4
b
f x ∴≠.故不可
能…
若46a <≤,当[],x a b ∈时, 33()(6)ln 222f x f ≥=+
>,而342a ≤()4
a f x ∴≠.故证法1：方程（曲线）观点要证f(x)的图像关于3
(3,)4对称，只需证明点Q 也在y=f(x)上，即证00()y f x =
证2：函数的观点证明中心对称：要证y=f(x)图像关于点3(3,)4对称，只需证3
(6)()2
f x f x -=-
不可能….
若06a b a b <<<<或,由()g x 的单调递增区间是()(),0,6,-∞+∞,知,a b 是
()4x f x =
的两个解.而2
()ln
044
x x f x x --==-无解. 故此时()f x 的取值范围是不可能是,44
a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 综上所述,假设错误,满足条件的实数a 、b 不存在.
21.（1）待定系数设M=a b c d ⎛⎫
⎪
⎝⎭
求得//
202022x x
M y y
⎧=⎛⎫=⇒⎨ ⎪=⎝⎭⎩，再坐标转移法得/2sin()23
x y π
=+
（2）解1(几何意义)：曲线C 化为直角坐标为：1x =，将0
02c o s 60
(s i n
60x t t y t ⎧=-+⎨
=⎩为参数）
代入C 得：32t =
，所以|PA|=3
2
--------------------------------- 解2(不用几何意义)都化为直角坐标方程的普通方程后，求出交点，再用两点间距离公式。