上海市七宝中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

AB AC
，且
AB
=4，
AC 2 ，则 AM 的最小值为______.
10．已知函数 f (x)
3
|
cos
π 2
x
|
（
0
x
4045
），其图像的最高点从左到右依次记为
A1，A2，A3，，An ，其图像与 x 轴的交点从左到右依次记为 B1，B2，B3，，Bn ，则
A1B1 B1A2 B1A2 A2B2 A2B2 B2 A3 B2 A3 A3B3 B A 2022 2023 A B 2023 2023 ____.
cos2
kx )2 5
3 sin 2
kx 5
cos2
kx 5
1
3 4
sin 2
2kx 5
3 8
cos
4kx 5
5 8
，
若对任意实数 a，均有 f x a x a 1 f x x R ，
则最小正周期 T
1 ，即
2 4k
5
1 ，即 k
5 2
，
由 k Z ，所以 k 8 ，所以则 k 的最小值为 8 .
f
x
，求当
f
x
8 5
且
x
ππ 3 ，6
时
cos
x
的值；
(3)由（1）中函数 g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的 2 倍，再把整个图象
向右平移
2π 3
个单位长度得到
h
x
的图象，已知
A
2，3
，
B
2，6
，问在
y
h
x
的图
象上是否存在一点
P，使得
AP
BP
.若存在，求出
P
点坐标；若不存在，说明理由.
3． cos 57 cos12 sin 57 sin12 的值为__________.
4．若 a 2, b
3,
a
b
3
，则
a
与
b
的夹角为__________.
5．函数
y
sin
x
3
，
x
3
,
2
的最大值为______
6．已知 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4 厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为
)
在区间
6
,
5 6
上的图像如图所示，将该
函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移 ( 0) 个单
位长度后，所得到的图像关于点
7 24
,
0
对称，则
的最小值为（
）
A．
7 6
B．
6
C．
8
D．
7 24
16．在△ ABC 中， D 为 BC 中点， E 为 AD 中点，则以下结论：① 存在△ ABC ，使得
11．函数
y
2
sin
x
6
在区间
(
,
2
)
内不存在零点，则正实数
的取值范围是
________．
12．设函数
f
x
sin6
kx 5
cos6
kx 5
，其中
k
是一个正整数，若对任意实数
a，均有
f x a x a 1 f x x R ，则 k 的最小值为______．
二、单选题
13．如果角 的终边经过点
所以 A1B1 A2B2 A3B3 A B 2023 2023 1, 3 ，
B1 A2 B2 A3 B3 A4 B A 2022 2023 1, 3 ，
所以 A1B1 B1 A2 B1 A2 A2B2 A2B2 B2 A3 B2 A3 A3B3 ... B A 2022 2023 A B 2023 2023 1 3 2 ，
kx 5
cos2
kx 5
cos4
kx 5
)
3 8
cos
4kx 5
5 8
，
根据题意最小正周期 T
1 ，可得
k
5 2
，即可得解.
【详解】
f
x
sin6
kx 5
cos6
kx 5
(sin 2
kx 5
cos2
kx )(sin4 5
kx 5
sin2
kx 5
cos2
kx 5
cos4
kx 5
)
(sin 2
kx 5
答案第 2 页，共 10 页
AB
2
AC
2
2 AB
AC
AB
2
AC
2
2 AB
AC
，
∴
AB
AC
0
，即
AB
AC
，
∴ BC
AB
2
AC
2
42 22 2 5 ，
∴当 AM BC 时，由面积法得 2
5 AM 2 4
，
AM
45 5
，
所以
AM
的最小值为
45 5
.
故答案为：
4
5 5
10． 8088
【分析】由函数可得T 2 ,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一
个数量积均为 2 ,整理后即可得到结果.
【详解】由题可知，T 2 ，
A1 0, 3 , A2 2, 3 , A3 为 4, 3 ，…， A2023 4044, 3 ，
B1 1, 0 , B2 3, 0 , B3 5, 0 ，…， B2023 4045, 0 ，
3 2
,
1 2
，则
tan
（
）
试卷第 1 页，共 3 页
A．
1 2
B．
3 2
C． 3
14． ABC 中，“ A B ”是“ cos 2 A cos 2B ”的（ ）
D．
3 3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．函数
f
(x)
sin(
x
)(
0,
0
2
【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得
2
6
，或
6
，
2
6
2
，由此
求得正实数 的取值范围．
答案第 3 页，共 10 页
【详解】解： 函数
y
2sin( x
6
)
在区间
(
,
2
)
内不存在零点且
0
，所以
T 2
2
，
即
2
2
，所以 0
1，
因为
x
(
,
2
)
，所以 x
6
6
,
2
6
，
2
6
或
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直角三角形区域（图中 ABC ）养殖观赏鱼， AB AC ，顶点 A 到河两岸的距离
AE h1, AD h2 ,C, B 两点分别在两岸 l1,l2 上，设 ABD .
试卷第 2 页，共 3 页
(1)若 30 ，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域 ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若 h1 30m ，求观赏
上海市七宝中学 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．角度大小为 7 弧度的角是第________象限角
2．已知向量
a
1,
2
，
b
0,1
，则
a
2b
的坐标为__________.
【详解】在
ABC
中
2a b
c
cosC cosB
，∴
2a
c
cos
B
b
cos
C
，
由正弦定理可得 2sin A sin C cos B sin B cos C ，
即 2sin Acos B sin C cos B sin B cos C sin B C sin A ，
因为
A
0,
π
，
sin
(2)设
0,
π 3
，且
f
( )
6 5
，求 sin
2
的值.
18．在
ABC
中，内角
A，B，C
的对边分别为
a
，b
，c
，已知 a2
c2
b2
3 2
ac ．
(1)求 cos B 的值；
(2)若
BA
BC
3 2
， b2
ac
，求
ABC
的周长．
19．如图，有一条宽为 60m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块
长廊总长 f ( ) 的最小值.
20．已知
O
为坐标原点，对于函数
f
x
a sin
x
b
cos
x
，称向量 OM
a，b
为函数
f
x
的伴随向量，同时称函数
f
x
为向量 OM
的伴随函数.
(1)设函数 g x
3
sin( x
π)
sin(
3 2
π
x)
，试求
g
x
的伴随向量
OM
；
(2)记向量 ON
1，3
的伴随函数为
故答案为： 8
13．D
【解析】由三角函数的定义可求得 tan 的值.
1
【详解】由三角函数的定义可得 tan
2
3 2
3 3.
答案第 4 页，共 10 页
故选：D.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.
14．C
【分析】 cos 2 A cos 2B 等价于 sin A sin B ，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
90
，所以第一象限．
故答案为：一．
2． (1, 0)
【分析】运用向量坐标加、减、数乘运算求解即可.
【详解】因为
a
(1,
2)
，
b
(0,1)
，
所以
a
2b
(1,
2)
2(0,1)
(1,
0)
.
故答案为： (1, 0) .
3． 2 2
【分析】由两角差的余弦公式化简求值.
【详解】 cos 57 cos12 sin 57 sin12 cos(57 12) cos 45
AB CE 0 ；②
存在三角形△
ABC
，使得
CE
∥
(CB
CA)
，则
（
）
A．①成立，②成立 C．①不成立，②成立
B．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题 17．已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x cos 2x(x R) .
(1)求函数 f (x) 的最小正周期；
x
π 6
,
2π 3
时，关于
x
的方程
f
(x
π 6
)
(
1) sin
x
恰有三个不同的实根 x1，
x2 ， x3 ，求实数 的取值范围及 x1 x2 x3 的值．
试卷第 3 页，共 3 页
1．一
参考答案：
【分析】把弧度化为度数并结合终边相同角的定义变形判断．
【详解】7
弧度
7
180
360
41.1
A
0
，可得
cos
B
1 2
.
1
故答案为： 2
9． 4 5 5
【分析】根据条件可得出
AB AC 0
从而得出 AB AC ，进而得出 BC，根据题意知，当
AM BC 时， AM 最小，从而得出可得出 AM 的最小值．
【详解】根据题意，当 AM BC 时， AM 最小；
由 AB AC AB AC ，
2
6
2
，解得
5 12
或
5 6
11 12
，
因为
0
，所以
0
5 12
或
5 6
11 12
，
故正实数
的取值范围为
0,
5 12
5 6
,
11 12
，
故答案为：
0,
5 12
5 6
,
11 12
．
12． 8
【分析】首先化简函数，
f
x
(sin 2
kx 5
cos2
kx )(sin4 5
kx 5
sin2
【详解】在三角形中，因为 cos 2 A cos 2B ，所以1 2sin2 A 1 2sin2 B ，即 sin A sin B
若 A B ，则 a b ，即 2R sin A 2R sin B ， sin A sin B
若
sin
A
sin
B
，由正弦定理
a sin
A
b sin
B
，得
a
b
，根据大边对大角，可知
A
B
所以“ A B ”是“ cos 2 A cos 2B ”的充要条件
故选：C
15．C
【分析】由周期求出 ，代点求出 的值，可得函数的 f (x) 的解析式，再根据函数的对称性
S
1 2
lr
1 2
4
2
4cm2
.
故答案为：4.
7．
x
x
k
3 4
,
k
Z
【分析】利用整体代入法求得 f x 的定义域.
【详解】令
πx
π 4
kπ
π 2
，
k
Z
，可得
x
k
3 4
，
k
Z
，
故函数
f
x
的定义域为
x
x
k
3 4
,k
Z
．
故答案为：
x
x
k
3 4
,
k
Z
8．
1 2
/
0.5
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】
x
3
,
2
，则
x
3
0,
5 6
，所以当 x
3
2
，即
x
6
时，
ymax
1．
故答案为：1．
6．4
答案第 1 页，共 10 页
【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.
【详解】由题意知， 2 ， l = 4 ，
所以扇形的半径 r
l
4 2
2cm
，
所以扇形的面积
所以
A1B1 B1A2 B1A2 A2B2 + A2B2 B2 A3 B2 A3 A3B3 ... B A 2022 2023 A B 2023 2023 2022 2 2 8088
.
故答案为： 8088 .
11．
0,
5 12