高考数学复习、高中数学 圆的方程附答案解析

第3节 圆的方程
【课标要求】
1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 【知识衍化体验】
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ． 2．圆的标准方程
（1）以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为 ． （2）特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为 ，半径为 ． 3．圆的一般方程
方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=变形为22224()()224
D E D E F
x y +-+++=．
（1）当2240D E F +->时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，该方程表示一个点 ； （3）当2240D E F +-<时，该方程不表示任何图形． 4．点与圆的位置关系
已知点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，M 到C 的距离为d ，M 与圆C 的位置
关系：
（1）点M (x 0，y 0)在圆上⇔ ⇔ ；
（2）点M (x 0，y 0)在圆外⇔ ⇔ ； （3）点M (x 0，y 0)在圆内⇔ ⇔ ． [微点提醒]
1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）． 2．圆心在坐标原点半径r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆的参数方程：cos ,
sin .x a r y b r =+⎧⎨=+⎩
θθ
3．直径式方程：以11()A x y ，，22()B x y ，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．
4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪
⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.
基础自测
疑误辨析 多项选择题
1．下列说法正确的是（ ） A ．确定圆的几何要素是圆心与半径． B ．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．
C ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0
＋F >0． D ．圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是1
(1,)2．
教材衍化
2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线y x =-上，且过两点(20)A ，，(04)B -，的圆的标准方程为 ．
3．（必修2P111练习8改编）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是 ． 考题体验
4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，1)
B ．(0，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．a ＝±1
5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1
6．已知三点(10)A ，，(0B ，(2C ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A ．53
B ．3
C
D ．43
【考点聚焦突破】
考点一 求圆的方程问题
【例1】（1）过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆的方程为________．
（2）已知圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，且与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 规律方法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： （1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：
⇔圆心在过切点且垂直切线的直线上； ⇔圆心在任一弦的中垂线上； ⇔相切两圆的连心线经过切点；
（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．
【训练1】（1）已知点A 是Rt △ABC 的直角顶点，且A (a ，2)，B (－4，a )，C (a ＋1，1)，则△ABC 的外接圆的方程是____________．
（2）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=
，则圆C 的方程为 ． 考点二 与圆有关的最值问题
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2-1】 已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．
（1）求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； （2）求x －2y 的最大值和最小值； （3）求y －2
x －1
的最大值和最小值．
规律方法
1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解． 2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
（1）形如μ＝y －b
x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如m =(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度2 利用对称性求最值
【例2-2】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4
B ．17－1
C ．6－2 2
D ．17
规律方法
求解形如|PM |＋|PN |（其中M 、N 为动点）且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．
【训练2】（1）已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )
A ．3－ 2
B ．3＋2
C ．3－
2
2
D ．3－22
（2）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．20x y +-=
B ．10y -=
C ．0x y -=
D ．340x y +-=
（3）光线从A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】（1）设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，P 为线段MN 的中点，求点P 的轨迹方程．
（2）已知点M （x ，y ）与两个定点O （0，0），A （3,0）的距离之比为1
2，求点M 的
轨迹方程为．
规律方法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【训练3】（1）圆224240
：中经过原点O的弦的中点M的轨迹方程是
C x y x y
++--=
________．
（2）已知圆22
+=和点(2,0)
:1
O x y
b≠-和常数λ满足：对圆O
B b(2)
A-，若定点(,0)
上任意一点M，都有||||
b=λ=
MB MA
=λ，则（Ⅰ）；（Ⅱ）. 反思与感悟
[思维升华]
1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．
2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．
[易错防范]
1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．
2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．
第3节 圆的方程
【知识衍化体验】 知识梳理
1．定点 定长 圆心 半径
2．（1） (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 （2） (0，0) r
3．（1）()22D E --，
（2）()22
D E
--，
4．（1）d=r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 （2）d >r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2 （3）d <r (x 0－
a )2＋(y 0－
b )2<r 2 基础自测 1．AC
2． 22(3)(3)10x y -++= 3． (1+)-∞， 4． A 5． A 6． B
【考点聚焦突破】
【例1】 (1)x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0 (2)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5
解 （1）由已知三点求出圆的方程，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪
⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0．
（2）圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，则圆心在直线2x －y －7＝0上，所以圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5．
【训练1】 （1）(x ＋2)2＋y 2＝5 （2）22(2)9x y -+=
（1）24AB a k a -=
--，1AC k =-．因为 AB ⇔AC ，所以 2
(1)14AB AC a k k a
-⋅=⋅-=---，解得a ＝－1．所以 ⇔ABC 的外接圆是以B (－4，－1)，C (0，1)为直径的圆，所以 所求圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝5．
（2）设(,0),(0)C a a >2,3
a r ⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=
【例2-1】 （1）最大值为115，最小值为1
5；（2）最大值为5－2，最小值为－2－5；（3）
最大值为3＋34，最小值为3－3
4
．
解 （1）圆心C (－2，0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝
|3×（－2）＋4×0＋12|32＋42
＝6
5． 所以P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝11
5
，最小值为d
－r ＝65－1＝1
5
．
（2）设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点．所以
|－2－t |12＋22
≤1．
所以－5－2≤t ≤5－2，所以t max ＝5－2，t min ＝－2－5．
（3）设k ＝y －2
x －1，则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点，
所以|－3k ＋2|k 2＋1
≤1，所以3－34≤k ≤3＋34，所以k max ＝3＋34，k min
＝3－34． 【例2-2】 A
两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′
1
(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′
1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4．故选A ．
【训练2】 （1）A ； （2）A ； （3）62－2 。

解 （1）l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32
， 所以AB 边上的高的最小值为
3
2
－1． 所以S ⇔min ＝12×(22)×1)
＝3－2．故选A ．
（2）要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜。