2009年考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 函数()3
sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为 ( )
(A) 1.
(B) 2. (C) 3.
(D) 无穷多个.
(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )
(A) 11,6a b ==-. (B) 1
1,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 1
1,6a b =-=.
(3) 使不等式1sin ln x t
dt x t
>⎰成立的x 的范围是 ( ) (A) (0,1).
(B) (1,
)2π. (C) (,)2
π
π. (D) (,)π+∞.
(4) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
⎰的图形为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵
O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的伴随矩阵为 ( ) (A) **
32O B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭. (B) **
23O B A
O ⎛⎫
⎪⎝⎭. (C) **
32O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(D) **
23O
A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
. (6) 设,A P 均为3阶矩阵,T
P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则T
Q AQ 为 ( )
(A) 210110002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.
(B) 110120002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭.
(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(D) 100020002⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
(7) 设事件A 与事件B 互不相容,则 ( )
(A) ()0P AB =.
(B) ()()()P AB P A P B =. (C) ()1()P A P B =-.
(D) ()1P A B = .
(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====
.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) cos 0x x →= .
(10) 设()y x z x e =+,则
(1,0)
z
x ∂=∂ _______ .
(11) 幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 ______. (12) 设某产品的需求函数为()Q Q p =,其对价格p 的弹性0.2p ε=,则当需求量为10000
件时,价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.
(13) 设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=.若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,则k = ____ .
(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2
S 分别为样本
均值和样本方差,记统计量2
T X S =-,则ET = _____.
三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)
求二元函数()
22
(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
(16)(本题满分10 分)
计算不定积分ln 1dx ⎛+ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10 分)
计算二重积分
()D
x y dxdy -⎰⎰,其中()()()
{}
2
2
,112,D x y x y y x =-+-≤≥.
(18)(本题满分11 分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,
使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0
lim x f x A +
→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.
(19)(本题满分10 分)
设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的t π倍,求该曲线方程. (20)(本题满分11 分)
设
111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11 分)
设二次型
()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f 的规范形为22
12
y y +,求a 的值. (22)(本题满分11 分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
,0,
(,)0,
x e y x f x y -⎧<<=⎨
⎩其他. (I) 求条件概率密度()Y X f y x ； (II) 求条件概率{}
11P X Y ≤≤.
(23)(本题满分11分)
袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以
,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(Ⅰ)求{}
10P X Z ==；
(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】(C)
【解析】由于()3
sin x x f x x
π-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无
穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3
0x x -=的解1,2,30,1x =±.
320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±. (2) 【答案】(A)
【解析】()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则
22
0023200033
0()sin sin lim
lim lim ()ln(1)()
sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x ax
g x x bx x bx x ax a ax a ax
bx bx bx
a ax a
b ax
b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即3
6a b =-,故排除B,C.
另外,201cos lim
3x a ax
bx
→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A.
(3) 【答案】(A)
【解析】原问题可转化为求1
sin ()ln 0x
t
f x dt x t
=
->⎰
成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.x
x x x x t
t f x dt x dt dt t t
t t t dt dt t t =-=---==>⎰
⎰⎰⎰⎰
由()0,1t ∈时,
1sin 0t
t
->,知当()0,1x ∈时,()0f x >.故应选(A). (4) 【答案】(D)
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：
① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减； ③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (5) 【答案】(B) 【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的行列式
22
1236O A A B B O
⨯=-=⨯=（）,
即分块矩阵可逆,且
1
11
6112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---***
*
**⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为(B).
(6)【答案】(A)
【解析】1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
1
001
001
101
100010011101001
00210010010110110.
0010
02001002T
T Q AQ P A P ⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(7) 【答案】(D)
【解析】因为,A B 互不相容,所以()0P AB =.
(A)()()1()P AB P A B P A B ==- ,因为()P A B 不一定等于1,所以(A)不正确； (B)当(),()P A P B 不为0时,()B 不成立,故排除； (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立,故排除； (D)()()1()1P A B P AB P AB ==-= ,故()D 正确. (8) 【答案】(B) 【解析】
(){}
{0}{0}{1}{1}11
{0}{1}2211
{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===
≤=+≤==⋅≤=+≤=
由于,X Y 相互独立,所以
11
(){0}{}22Z F z P X z P X z =
⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1
()()2Z F z z =Φ；
(2) 当0z ≥时,11
()()22
Z F z z =+Φ,
因此,0z =为间断点,故选(B).
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】
32
e 【解析】
cos cos 10x x x x -→→= 2
00221(1cos )3
2lim lim 233
x x e x e x e x x
→→⋅-===.
(10) 【答案】12ln 2+
【解析】解法1：由于(
)x
y z x e
=+,故()()
,01x
z x x =+,
()ln(1)ln(1)0
1ln(1)1x x x x x y z x x e e x x
x ++=∂'⎡⎤'⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∂+⎣
⎦,
代入1x =,得
ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛
⎫=+=+ ⎪∂⎝
⎭.
解法2：由于
ln()()()ln()y
x x e y x
y x y y e x e z x x e x e x x x x e +⎡⎤∂⎡⎤∂+∂⎡⎤⎣⎦⎣⎦===+⋅++⎢⎥∂∂∂+⎣⎦
, 故
000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ∂⎡
⎤=+⋅++=+⎢⎥∂+⎣⎦
. (11) 【答案】1
e -
【解析】由题意知,()
2
10n
n n e a n --=>,
()
()
()
()1
1
21
2
11
2
21lim lim 1111lim ,111n n n n
n n n n
n n n n n e a n a n e e e n e n e e +++→∞→∞
++→∞
--=⋅
+--⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤
+⎛⎫--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
所以,该幂级数的收敛半径为1
e -. (12) 【答案】8000
【解析】所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q p
Q
ε'=-
=,所以0.2Q p Q '=-,所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=. (13) 【答案】2
【解析】T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,根据相似矩阵有相同的特征值,得到T
αβ的特征值为
3,0,0.而T
α
β为矩阵T αβ的对角元素之和,1300k ∴+=++,2k ∴=.
(14) 【答案】2
np
【解析】222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=.
三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)
【解析】 2
(,)2(2)x f x y x y '=+,
2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.
令(,)0,(,)0,
x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .
由于
212(0,)1(0,)21(0,)
11
(0,)2(2)2(2),1
(0,)40,11(0,)(2),
xx
e
xy
e yy e
A f y e e
B f xy e
C f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2
21
2(2)0,B AC e e
-=-+
<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11
(0,)f e e
=-.
(16)(本题满分10 分) 【解析】解法1
t =,则21,1x t =-
()()2221ln 1ln 11ln 111111
dx t d t t dt t t t ⎛⎛⎫
+=+ ⎪ -⎝⎭⎝+=-⋅--+⎰⎰⎰
而
()()()()()()
2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ⎡⎤
=--⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦
=--++++⎰⎰
所以
()
(
)
2
ln1111
ln1ln
14121
1
ln1ln
4
1
ln1ln
2
11
ln1ln.
22
t t
dx C
t t t
x C
x C
x x C ⎛++
+=+-+
--+
⎝
⎛
=++
⎝
⎛
=++
⎝
⎛
=+++-
⎝
⎰
解法2
1
ln1ln11
dx x x dx
-'
⎛⎛⎛
=-
⎝⎝⎝
⎰⎰
1
ln11
2
x dx
⎛⎛⎫
=+--
⎪
⎪
⎝⎭
⎰
11
ln1
22
x x
⎛
=++-
⎝
⎰
(
2
ln ln
udu
u C C
=
++=+分部
即
)
11
ln1ln1ln
22
dx x x C ⎛⎛
+=++-+
⎝⎝
⎰
1
ln1ln
2
11
ln1ln.
22
x C
x x C
⎛
=++
⎝
⎛
=++
⎝
(17)(本题满分10 分)
【解析】解法1如右图所示,区域D的极坐标表示为
3
02(sin cos),
44
r
ππ
θθθ
≤≤+≤≤.
132(sin cos )
4
42(sin cos )
33
4
043344
3
344
3444
()(cos sin )1(cos sin )38
(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )381
8(sin cos ).
34
3
D
r r x y dxdy d r r rdr
r d d d θθππθθππππππππ
θθθθθθ
θθθθθθθθθθθ+=+=-=-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢
⎥⎣⎦=-+=++=⨯+=-⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
解法
2 将区域D 分成
12,D D
两部分(如右图),其中
(
){}(){}12
,110,
,12.
D x y y x D x y x y x =
-≤≤+-≤=≤≤+≤≤
由二重积分的性质知
()()()1
2
D
D D x y dxdy x
y dxdy x y dxdy
-=-+-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰,
而
()1
111)D x y dxdy
x y dy
-
=-⎰⎰⎰
⎰
103122,
3
3
x
=-
=-
=-⎰
()2
2
10
20230)122(2
12
42,
23x
D x y dxdy dx x y dy
x dx -=-⎡=-
--⎣⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰
⎰
⎰ 所以
()()()1
2
28
233
D
D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=-
-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (18)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)取()()
()()()f b f a F x f x x a b a
-=-
--,
由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且
()()
()()()(),
()()
()()()().
f b f a F a f a a a f a b a
f b f a F b f b b a f a b a -=-
-=--=--=-
根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()
()()0f b f a F f b a
ξξ-''=-
=-,即
()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理
()()0
00()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f t
f f t t
ξξ+
+++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0
lim t f t A +
→'=,且当0t +→时,0ξ+
→,所以0
lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.
(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知
21
1
()()t t
f x dx t f x dx ππ=⎰⎰,
两边对t 求导得
2
1
()()()t
f t f x dx tf t =+⎰,
代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去). 再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+,
记()f t y =,则
112dt t dy y
+=, 因此
, 1
1
1222
()()dy
dy
y y t e
e
dy C y C -
-
⎰⎰=+=+⎰
132
222()33
y y C y -
=+=+.
代入1,1t y ==得13C =
,
从而23t y =+
故所求曲线方程为23x y =+
解法2 同解法1,得
2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.
整理得
22dy y
dt y t
=
-. 令
y u t =,则 dy du u t dt dt
=+, 原方程变成 2
3221
du u u t dt u -=-, 分离变量得
211
(32)u du dt u u t
-=-,
即 114332dt
du u u t -⎛⎫+=
⎪
-⎝⎭, 积分得 2
1ln (32)ln 3
u u Ct --=, 即 123
3
(32)
u u Ct -
--=.
代入1,1t u ==,得1C =,所以2
3
1(32)u u t -=
. 代入y u t =
化简得2
(32)1y t y -=,
即23t y =.
故所求曲线方程为23x y =
(20)(本题满分11 分)
【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换
()11110221111111111012204220000A ξ⎛
⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
可求得 2122122k k
k ξ⎛⎫
-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,其中k 为任意常数.
又2
220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换
()2
11110220122201000044020000A ξ⎛
⎫-
⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭
,
可求得 312a a b ξ⎛⎫
-- ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,其中,a b 为任意常数.
(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知
12311
122211
,,10222
2k
a k
a k
b
ξξξ--+
--=-
=-
≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.
解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得
1122330k k k ξξξ++=, ①
等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即
21330k k A ξξ+=, ②
等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.
由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得
10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.
(21)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵
101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
.
由于
01
||0
1()((1))((2))1
1
1
a
E A a
a a a a λλλλλλλ---=
-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.
(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为22
12
y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.
当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为22
12y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212
y y +. 综上可知,2a =.
解法2 由于f 的规范形为22
12
y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.
(22)(本题满分11 分)
【解析】(I)X 的概率密度
0,0,,0,
()(,)0,0.0,
0x
x x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞
-∞
⎧⎧>>⎪===⎨⎨
≤⎩⎪≤⎩⎰⎰
当0x >时,Y 的条件概率密度
|1
,0,
(,)(|)()0,
Y X X y x f x y f y x x f x ⎧<<⎪== ⎨⎪
⎩其他.
(II)Y 的概率密度
,
0,()(,)0,
0.
y Y e y f y f x y dx y -+∞
-∞
⎧>==⎨
≤⎩⎰
{}{}
{}
1
11
11
1,11|11(,)2
.11
x
x y P X Y P X Y P Y dx e dy
f x y dxdy
e e e e dy
--∞-∞
--≤≤≤≤=
≤-=
=
=
--⎰
⎰⎰⎰
⎰
(23)(本题满分11分)
【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2
C P X Z P X Z P Z ⋅
======
==. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.
()()()()()()()()()1111332311116666111
2231111
6666112211661122116611
0,0,1,0,
46111
2,0,0,1,3631
1,1,2,10,
91
0,2,
9
1,20,2,20,
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======
故(,)X Y 的概率分布为。