第1章 第3讲 概率的公理化定义与运算性质

性质2
4
47
ሜ =
()
4
50
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较
易时，可以利用性质2.
15
02
概率的运算性质
例2 （“分房模型”的应用）
恰有 k 个盒子中各有一球
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
P( A)
k
C 365
k!
365k
k
A365
18
02
概率的运算性质
例4 A,B是两个事件，已知 P ( B ) 0.3，P( A
B ) 0.6，
求 P ( AB ).
解 P ( AB ) P ( A AB ) P ( A) P( AB).
而 P( A
B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) 0.6.
=
4
21
10
26
02
概率的运算性质
例10 已知() = 0.6，() = 0.2，() = 0.3，
求 ； ∪ .
解 = − = 0.3 − 0.2 = 0.1
∪ = 1 − ∪ = 1 −
= 1 − 0.1 = 0.9
件A发生的概率，并记 P ( A) p.
不足：不精确不严格不便使用.
公理化定义 通过规定概率应具备的基本性质来定义
概率.
4
01
概率论的公理化定义
概率的公式化定义
设随机试验E 的样本空间为S， 若对E 的每一事件
A 都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，
则称P(A) 为事件A 的概率.
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
一般：
n
P(
i 1
Ai ) P( Ai )
n

n
1i j k n
i 1
P( Ai Aj Ak )

1i j n
P( Ai A j )
+ ()
≤
2
()() ≥ ()()
+ ()
≥
2
解 题目中要比较的是P(AB)与P(A)和P(B)的关系，由于
⊂ . ⊂ ，则由概率的单调性可知() ≤ ()
且() ≤ ()，两式合并可得 ≤
解 记“使用支付宝”为事件A，“使用微信支付”为
事件B，则“至少使用一种移动支付”可以示为A∪B，
而“只使用一种移动支付”可表示为 AB
AB
AB，且易知
AB = .
17
02
概率的运算性质
至少使用一种移动支付的概率：
P A B P( A) P( B) P( AB)= 0.45+0.35 0.1= 0.7.
因为A,B互不相容,所以 A B A.
1
(2)若 P( AB) ，则P( AB) ____ .
8
AB
3
P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB)=
8.
21
02
概率的运算性质
例7
若A,B为任意两个事件，则（ ）
()() ≤ ()()
只使用一种移动支付的概率：

P AB


AB = P AB P AB P A B P B A
P A P AB P B P AB
0.6.
i 1 i 1
9
02
概率的运算性质
性质2 逆事件公式
对任一事件A，有 P( A) 1 P( A)
AＡ
S A A A与A互斥
P( S ) P( A) P( A) 1
A
S
S
注
如果正面计算事件 A的概率不容易，而计算其对
立事件 A 的概率较易时，可以使用性质2.
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第3讲 概率的公理化定义与运算性质
本讲内容
01
概率的公理化定义
02
概率的运算性质
01
概率论的公理化定义
概率的公理化定义
什么是概率？
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，
更关心这些事件出现的可能性大小，所谓事件的概率
就是度量事件出现可能性大小的数值.
历史上概率

365k
求“至少有两人同生日”的概率.
P ( A) 1
k
C 365
k!
365k
02
概率的运算性质
例3 对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使
用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，
同时使用两种移动支付的占10%. 求至少使用一种移动
支付的概率和只使用一种移动支付的概率.
1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
17

36
ABC AB
P( ABC ) P( AB) 0.
20
02
概率的运算性质
1
例6 设 P( A) ,
2
1
2 .
(1)若A,B互斥，则 P( AB) ____

,有 P Ai P( Ai ). 加法公式.
i 1 i 1
8
02
概率的运算性质
性质1 加法公式
若事件A,B互斥，则，
P( A B ) P( A) P( B).
若事件A1, A2, ⋯, An 两两互斥，则，
n n
P Ai P ( Ai ).
24
02
概率的运算性质
例9 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中
“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
下面的算法错在哪里？
C51C82
P( A) 4
C10
从5双中取1双，从剩
下的 8只中取2只
错在同样的“4只配成两双”算了两次.
25
02
概率的运算性质
例9
因此 P ( AB ) P( A
B ) P ( B ) 0.6 0.3= 0.3.
19
02
概率的运算性质
例5
1
1
P( A) P( B) P(C ) , P( AB) 0, P( AC ) P( BC )
4
9
则事件A,B,C都不发生的概率为?
解
P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C )
11
02
概率的运算性质
性质4 广义加法公式
对任意两个事件A、B，有
P( A B ) P( A) P( B) P( AB)
P( A B ) P( A ( B AB))
P( A) P( B AB)
再由性质 3得证 .
B
AB A
S
12
02
概率的运算性质
推广：
( ∪ ∪ )
+()
，从
2
而选（C）
22
02
概率的运算性质
例8 设A与B互为对立事件，判断以下等式是否成并
说明理由.
（1）( ∪ ) = 1；
（2）() = ()()；
（3）() = 1 − ()； （4）() = 0.
解 （1）成立. ( ∪ ) = () = 1.
① 古典定义
概率的最初定义.
② 统计定义
基于频率的定义.
③ 公理化定义
1933年由苏联数学家
柯尔莫哥洛夫给出.
的三次定义
3
01
概率论的公理化定义
历史上概率的三次定义
古典定义 不足：仅适用于等可能概型.
统计定义
概率的统计定义: 在大量重复试验中，若事件A 发
生的频率 稳定在某一常数p的周围， 则称该常数p 为事
的概率理论提供了一个坚实的基础.
6
本讲内容
01
概率的公理化定义
02
概率的运算性质
02
概率的运算性质
概率的运算性质
三条公理
（1）非负性
P( A) 0
（2）规范性
P( S ) 1
0 P( A) 1
基本性质
P() 0
（3）可列可加性
对任意个两两互不相容事件
A1 , A2 ,
, An ,
(∪) =? , (∪
解
ҧ =
ത
因为 ⊂ ，所以=A,∪=B,∪
故P (AB)=P (A)=0.1；(∪) = () = 0.5；
ҧ )=P()=1-P
ത
(∪
(AB)=1-0.1=0.9
28
02
概率的运算性质
例12
设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问
（1）在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？
解 由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 知AB≠φ，
（否则P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1）
从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)
从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至
少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？
C C C
正确答案 P( A)
C104
1
5
2
8
2
5
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
请思考：还有其它解法吗？
4
4，
ሜ
没有一双成对(事件)的个数为：
·
2
5
4
基本事件总数为 10
,
54 · 24 13
ሜ =1−
则() = 1 − ()
(2)只订A与B报的；()
ሜ + (
ሜ )
ሜ + (ሜ )
ሜ
(3)只订一种报的；(ሜ )
= 0.73
31
02
概率的运算性质
ሜ + ()
ሜ
ሜ
(4)恰好订两种报的；()
P( A) P( A1 A2 A3 )
性质1
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
≈ 0.2255.
4−
3 47
( ) =
4
50示全是合格品，则
P( A) 1 P( A)
C474
1 4
C50
0.2255
或 ∪ = () + −
= − +
= + 1 − ()
= 0.2 + 1 − 0.3 = 0.9
27
02
概率的运算性质
例11
设 ⊂ , () = 0.1, () = 0.5, 则() =?
ҧ )=?
ത
29
02
概率的运算性质
（1）由0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时，
P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，
（2）当A∪B=S 时，P(AB)取最小值，最小值为
P(AB)=0.6+0.7－1=0.3.
30
02
概率的运算性质
例13 某城市有A,B,C三种报纸.在居民中,订A报的占
P( A) 1 P( A).
10
02
概率的运算性质
性质3 减法公式
B
设Ａ、B是两个事件，若 A B , 则有
A
P( A B ) P( A) P( B)
P( A) P( A) P( B)
A
B
注 对任意两个事件A, B, 有 P( A B ) P( A) P( AB).
（1）非负性
对每一个事件A，有 P( A) 0.
（2）规范性
P( S ) 1.
5
01
概率论的公理化定义
（3）可列可加性对任意个两两互不相容事件.
A1 , A2 ,
, An ,

,有 P Ai P( Ai ).
i 1 i 1
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格
23
02
概率的运算性质
（2）不成立，不妨设0＜()＜1,0＜()＜1，则有，
0＜()()＜1；又因为A与B互为对立事件，所以
() = 0.因此() ≠ ()().
（3）成立， = ሜ = 1 − .
（4）成立，由对立事件定义， = ∅ = 0.
45%,订B报的占35%,订C报的占30%,同时订A与B报的占
10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与C报的占5%,同时
订A,B与C报的占3%,求下列概率：
(1)只订A报的；
ሜ = () − () − () + () = 0.3
(ሜ )
ሜ = () − () = 0.07
(1) n 1 P( A1 A2

An )
右端共有 2n 1 项.
13
02
概率的运算性质
例1 设有50件产品，其中有3 件不合格品，从中任
取4 件，求至少有一件不合格品的概率.
解法1 设A表示至少有一件不合格品，Ai 表示恰好有i件
不合格品，则：
A A1 A2 A3 .