财务管理第二部分 资金价值计量
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10
（四）年金终值和现值的计算
➢ 年金（Annuity）是指一定期间内每期相等金额的收 付款项，如折旧、租金、利息、保险金、养老金等 通常都是采取年金的形式。
➢ 按年金的每次收付发生的时间不同，可分为:
o 每期期末收款、付款的年金，称为后付年金，即普 通年金（Ordinary Annuity）
o 每期期初收款、付款的年金，称为先付年金 （Annuity Due），称即付年金
现值：指未来某一时点上的一定量资金折算到 现在所对应的金额，以P表示。
100元
1年期，年利率10%
110元
现值
终值
6
（二）单利终值和现值的计算
1．单利终值。单利终值的一般计算公式为： F=P×(1+i×n)
式中，i为利率，n为计算期数，(1+i×n)称 为单利终值系数。 2．单利现值。可用倒求本金的方法计算。由 终 值 求 现 值 ， 叫 做 折 现 (Discount) 单 利 现 值的一般计算公式为：
1]
i
上式中的
A[(1i)n1 i
11]是即付年金终值系数，它是在普
(1i)n 1
通1年所金得终的值结系果数，通[常记i 做［1] 的(F基/A础,i,上n+，1期)-数１加]。１通，过终查值阅系“数１减
元年金终值表”可得（n+1)期的值，然后减去１，便可得到
相应的即付年金终值系数的值。
21
例题
为给儿子上大学准备资金，王先生连续六年于每年年初 存入银行3000元，在年利率为5％的情况下，王先生 在第6年末一次能取出本利和是多少？
提示：已知终值、利率、时间，求现值! 5.李某将5000元存入银行，定期3年，银行存款利率6％，半年
复利一次，这笔存款到期值多少？ 提示：已知现值、利率、时间，求终值(利率和时间均除以2)! 6.王某在2019年年初存入银行1万元，假设银行按每年8％复利
计息，他可以在每年年末取出2000元，则最后一次能够足额 取出2 000元是在什么时候？ 提示：已知现值、利率、年金，求时间（查表，可用插值法）
如果已知年金、现值或终值，想要得到利率，同样也可以通 过查表实现，这种方法常被用来求报酬率或贴现率。
偿债基金问题
为了在未来某一时期偿还一定数额的债务，现在应存入多少钱 的问题，是普通年金终值的逆运算。
32
练习
1.某企业2019年年初向银行借入10年期5万元贷款，在 每年年末等额偿还，已知年利率为12％，请计算每 年应偿还多少钱？ 提示：已知现值、利率、时间，求年金！
31
货币时间价值中几个特殊问题
不等额现金流量现值的计算
每次收付款项不一致时，可按照复利终值、现值计算方法分期 计算每笔款项的现、终值再求和，我们一般多求现值。
等额分摊问题
在现实中经常需要在已知现值、终值的情况下计算年金，这 就是等额分摊问题，这时同样可以通过查表得到系数，在倒求 年金！
贴现率的计算
24
例题 李先生采用分期付款方式购商品房一套，每年年初付
款15000元，分10年付清。若银行利率为６％，该项 分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
解答： Ｐ=A·[(P/A，i, n-1）+] =15000×[(P/A，6%,，10-1)+1] =15000×(6.8017+1) =117 025.5（元）
1
第二年租金的现值＝1000×(110%2)
826.4
（元）
第三年租金的现值＝1000×
1 (110%)3
751.3
（元）
18
例题
第四年租金的现值＝1000×(1110%4) 683.01（元）
第五年租金的现值＝1000×
1 (110%5)
620.9（元）
王先生五年租金总值为3790.8（元） 或直接按普通年金现值计算公式计算：
第五年年末的终值=1000×（1+10%）0=1000（元） 第四年年末的终值=1000×（1+10%）1=1100（元） 第三年年末的终值=1000×（1+10%）2=1210（元） 第二年年末的终值=1000×（1+10%）3=1331（元） 第一年年末的终值=1000×（1+10%）4=1464（元） 或直接按普通年金终值计算公式为计算：
＝5 000×[8.514-6.145]
＝11 845（元）
方法二：
P＝A×[（P/A，10％，10）×（P/F，10％，10）]
＝5 000×6.145×0.386
＝11 860（元）
注：差额是由于小数点引起的！
28
4、永续年金现值的计算 Ｐ＝Ａ· 1 (1 i)n i
在该式中，当n→∞时，（１＋i）－n的极限＝0 故上式可写成：
财务管理第二部 分 资金价值计量
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二、资金时间价值的计算
（一）终值和现值
终值：又称将来值，指现在一定量的资金折算 到未来某一时点所对应的金额，以F表示。
20
即付年金终值的计算公式为： Ｆ＝A·(1+i)1+ A·(1+i)2 ……+ A·(1+i)n 式中各项为等比数列，首项为A·(1+i) 公比为（１＋i)，根据等比数求和公式可知：
Ｆ＝ A (1 1 i) [1 1 (i1 i)n]A (1i) (1 1i)n 1
＝ (1i)n1 1
A[
8
(三)复利终值和现值的计算
1．复利终值。在复利(Compound Interest)方式下， 本能生利，利息在下期则转列为本金与原来的本金一 起计息。复利终值的一般计算公式为： F=P×(1+i)n
2．复利现值。复利现值也是以后年份收到或付出资金 的现在价值复利现值的一般计算公式为： P＝F/(1+i)n 上列公式中的(1+i)n称为复利终值系数,以FV（i，n） 表示；1/(1+i)n称为复利现值系数，以PV（i，n）表 示；二者互为倒数；可查表求得。
9
例题
• 某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利 率2％的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
答：P＝F/(1+i)n＝100/（1+2％）5≈90.57（元）
• 某人将100元存入银行，复利年利率2％，求5年后 的终值。
答：F=P×(1+i) n＝100×（1+2％）5≈110.4（元）
13
由图1可知，年金终值的计算公式为：
F=A·（1+i）0+A·(1+i)1+A·(1+i)2…A·(1+i)n-2
+A·(1+i)n-1
[1]
将[1]两边同时乘上（1+i）得：
F·（1+i)=A·(1+i)1+A·(1+i)2+A·(1+i)3…
A·(1+i)n-1+A·(1+i)n
[2]
将式[2]减去式[1]得：
P＝F/（1+n×i） 式中，1/（1+i×n）称为单利现值系数。
7
例题 • 某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2％
的情况下，目前应存入银行的金额是多少？ 答：P＝F/（1+ni）＝500/（1+5×2％）≈454.55（元）
• 某人将100元存入银行，年利率2％，求5年后的终 值。
答：F=P×(1+i×n)＝100×（1+2％×5）≈110（元）
35
选择题：
1.某企业拟发行5年期，面值1000元，利率为12%的债券，债券 发行时市场利率为10%，则企业的发行价格约为（ ）。
解答：
Ｆ＝Ａ·［（F/A，i,n+1)-1] ＝3000×[(F/A，5%，6+1)-1] ＝3000 ×（8.1420-1） ＝21 426（元）
22
B、先付年金现值的计算
N期先付、后付年金现值计算比较示意图
比较：n期先付年金现值和n期后付年金现值，两者付款次数相 同，但先付年金现值比后付年金现值少折一期。故可在求出 n期后付年金现值后，再乘以(1+i)。
23
与前面介绍的推导过程相似，略；
或用前页的方式，以后付年金现值公式两边同 乘以（1+i）得：
P＝A·[(P/A，i, n-1）+1]
即：先付年金现值系数，是在普通年金终值系数的基 础上，期数减１，系数加1所得的结果，通常记做 ［(F/A,i,n-1)+１]。通过查阅“１元年金现值表” 可得（n-1)期的现值，然后加上１，便可得到相应 的先付年金现值系数的值。
五年期满后可得本利和=1000×(110%)5 1
10%
=1000×6.1051=6105.1（元）
15
B、普通年金现值计算
图
普通年金现值计算示意图
图2 普通年金现值计算表
16
由图可知，将所有现值相加，两边再同时乘以 （1+i）后相减，即可得到普通年金现值的公式如下：
Ｐ=A·
1(1i)n
i
A(P/A,i,n)
上增加5％，永远持续下去。 如果折现率为12％，你会选择那种方式领取？ 提示：将B、C两种方式的奖金额折现比较，其中B复 利折现；C永续年金折现（公式：d0(1+g)/(k-g)）！
34
4.某人计划在3年以后得到2万元的资金，用于偿还到期的债务， 银行年存款复利率4％，请问现在要存入多少钱才能达到目的？
五年租金的现值＝1 000× 1
(1 10)% 5 10 %
1000
3.79081
＝3790.8(元)
19
2、先付年金 A、先付年金终值的计算
先付年金的终值是其最后一期期末时的本利和，是各期期初收付 款的复利终值之和。
N期先付、后付年金计算关系示意图
比较：n期先付年金与n期后付年金比较，两者付款次数相同，但先付 年金终值比后付年金终值要多一个计息期。为求得n期先付年金的终值， 可在求出n期后付年金终值后，再乘以(1+i)
上式中，Ｐ为普通年金现值；Ａ为年金；i为折现
率；n为期数；方括号中的数值通常称为“年金现
值系数”，记做（p/A，i,n)或PVA（i，n）,可直
接查阅“１元年金现值表”（见本书附表）。
17
例题
王先生每年末收到租金1000元，为期５年，若按年 利率10%计算，王先生所收租金的现值为：
1
第一年租金的现值＝1000× (110%1) 909.1 （元）
25
３、递延年金现值的计算
递延年金终值的计算与普通年金一样，只是注意期数，其中n 表示A的个数，与递延期无关，故略；
递延年金现值的计算方法有两种，分述如下：
26
第一种方法，计算公式为：
Ｐ＝Ａ·
1(1i)(mn)
1(1i)m
i
i
＝Ａ·[（P/A，i，m+n)-(p/A，i，m)]
第二种方法，计算公式为：
Ｐ＝Ａ÷i
29
例题 某学校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发
2000元奖学金。若利率为10%，则现在应存入多少钱？
解答： Ｐ＝2000÷10%=20 000(元）
30
5、永续增长年金现值
永续增长年金是指永远以固定增长率增长的年金，其 现值可利用永续年金现值公式推导为：
Ｐ＝Ａ÷（i-g）
其中，A——第一年年末的现金流量 i——折现率 g——固定增长率
2.某公司计划存入银行一笔钱，年复利率为10％，希 望在今后10年中每年年末获得1000元，那么该公司 现在要存入银行多少钱？ 提示：已知年金、利率、时间，求现值！
33
3.假如你获得一项奖金，领取的方式有3种： A、立即领取现金10万元； B、5年后获得18万元； C、下年度获得6500元，然后每年在上一年的基础
F·i=A·(1+i)n-A=A[(1+i)n-1]
F=A·(1ii)n1A•(F/A,i,n)
上式中，F为普通年金终值；A为年金；i为利率；n为期数； 方括号中的数值通常称为“年金终值系数”，记做（F/A，i， n）或FVA（i，n），可直接查阅“1元年终值表”。
14
例题
张先生每年年末存入银行1000元，连存5年，年利率10%。 则5年满期后，张先生可得本利和为：
Ｐ＝Ａ·
1(1i)n
(1i)m
i
＝Ａ·（p/A，i，n) ·(P/F，i，m)
27
例题
某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10％，每年复 利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年～第20年 每年年末偿还本息5 000元。则请计算这笔款项的现值。
解答：方法一：
P＝A×[（P/A，10％，20）-（P/A，10％，10）]
o 距今若干期以后发生的每期期末收款、付款的年金， 称为递延年金（Deferred Annuity）
o 无限期连续收款、付款的年金，称为永续年金
（Perpetual Annuity）
11
年金表现形式举例
电
养
脑
老
租
金
金
债
优
券
先
利
股
息
息
固
增长
定
的压
压
岁钱
岁
钱
12
1、普通年金 A、普通年金终值的计算
图1 普通年金终值计算表
（四）年金终值和现值的计算
➢ 年金（Annuity）是指一定期间内每期相等金额的收 付款项，如折旧、租金、利息、保险金、养老金等 通常都是采取年金的形式。
➢ 按年金的每次收付发生的时间不同，可分为:
o 每期期末收款、付款的年金，称为后付年金，即普 通年金（Ordinary Annuity）
o 每期期初收款、付款的年金，称为先付年金 （Annuity Due），称即付年金
现值：指未来某一时点上的一定量资金折算到 现在所对应的金额，以P表示。
100元
1年期，年利率10%
110元
现值
终值
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（二）单利终值和现值的计算
1．单利终值。单利终值的一般计算公式为： F=P×(1+i×n)
式中，i为利率，n为计算期数，(1+i×n)称 为单利终值系数。 2．单利现值。可用倒求本金的方法计算。由 终 值 求 现 值 ， 叫 做 折 现 (Discount) 单 利 现 值的一般计算公式为：
1]
i
上式中的
A[(1i)n1 i
11]是即付年金终值系数，它是在普
(1i)n 1
通1年所金得终的值结系果数，通[常记i 做［1] 的(F基/A础,i,上n+，1期)-数１加]。１通，过终查值阅系“数１减
元年金终值表”可得（n+1)期的值，然后减去１，便可得到
相应的即付年金终值系数的值。
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例题
为给儿子上大学准备资金，王先生连续六年于每年年初 存入银行3000元，在年利率为5％的情况下，王先生 在第6年末一次能取出本利和是多少？
提示：已知终值、利率、时间，求现值! 5.李某将5000元存入银行，定期3年，银行存款利率6％，半年
复利一次，这笔存款到期值多少？ 提示：已知现值、利率、时间，求终值(利率和时间均除以2)! 6.王某在2019年年初存入银行1万元，假设银行按每年8％复利
计息，他可以在每年年末取出2000元，则最后一次能够足额 取出2 000元是在什么时候？ 提示：已知现值、利率、年金，求时间（查表，可用插值法）
如果已知年金、现值或终值，想要得到利率，同样也可以通 过查表实现，这种方法常被用来求报酬率或贴现率。
偿债基金问题
为了在未来某一时期偿还一定数额的债务，现在应存入多少钱 的问题，是普通年金终值的逆运算。
32
练习
1.某企业2019年年初向银行借入10年期5万元贷款，在 每年年末等额偿还，已知年利率为12％，请计算每 年应偿还多少钱？ 提示：已知现值、利率、时间，求年金！
31
货币时间价值中几个特殊问题
不等额现金流量现值的计算
每次收付款项不一致时，可按照复利终值、现值计算方法分期 计算每笔款项的现、终值再求和，我们一般多求现值。
等额分摊问题
在现实中经常需要在已知现值、终值的情况下计算年金，这 就是等额分摊问题，这时同样可以通过查表得到系数，在倒求 年金！
贴现率的计算
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例题 李先生采用分期付款方式购商品房一套，每年年初付
款15000元，分10年付清。若银行利率为６％，该项 分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
解答： Ｐ=A·[(P/A，i, n-1）+] =15000×[(P/A，6%,，10-1)+1] =15000×(6.8017+1) =117 025.5（元）
1
第二年租金的现值＝1000×(110%2)
826.4
（元）
第三年租金的现值＝1000×
1 (110%)3
751.3
（元）
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例题
第四年租金的现值＝1000×(1110%4) 683.01（元）
第五年租金的现值＝1000×
1 (110%5)
620.9（元）
王先生五年租金总值为3790.8（元） 或直接按普通年金现值计算公式计算：
第五年年末的终值=1000×（1+10%）0=1000（元） 第四年年末的终值=1000×（1+10%）1=1100（元） 第三年年末的终值=1000×（1+10%）2=1210（元） 第二年年末的终值=1000×（1+10%）3=1331（元） 第一年年末的终值=1000×（1+10%）4=1464（元） 或直接按普通年金终值计算公式为计算：
＝5 000×[8.514-6.145]
＝11 845（元）
方法二：
P＝A×[（P/A，10％，10）×（P/F，10％，10）]
＝5 000×6.145×0.386
＝11 860（元）
注：差额是由于小数点引起的！
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4、永续年金现值的计算 Ｐ＝Ａ· 1 (1 i)n i
在该式中，当n→∞时，（１＋i）－n的极限＝0 故上式可写成：
财务管理第二部 分 资金价值计量
Uintage style
Cute
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二、资金时间价值的计算
（一）终值和现值
终值：又称将来值，指现在一定量的资金折算 到未来某一时点所对应的金额，以F表示。
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即付年金终值的计算公式为： Ｆ＝A·(1+i)1+ A·(1+i)2 ……+ A·(1+i)n 式中各项为等比数列，首项为A·(1+i) 公比为（１＋i)，根据等比数求和公式可知：
Ｆ＝ A (1 1 i) [1 1 (i1 i)n]A (1i) (1 1i)n 1
＝ (1i)n1 1
A[
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(三)复利终值和现值的计算
1．复利终值。在复利(Compound Interest)方式下， 本能生利，利息在下期则转列为本金与原来的本金一 起计息。复利终值的一般计算公式为： F=P×(1+i)n
2．复利现值。复利现值也是以后年份收到或付出资金 的现在价值复利现值的一般计算公式为： P＝F/(1+i)n 上列公式中的(1+i)n称为复利终值系数,以FV（i，n） 表示；1/(1+i)n称为复利现值系数，以PV（i，n）表 示；二者互为倒数；可查表求得。
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例题
• 某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利 率2％的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
答：P＝F/(1+i)n＝100/（1+2％）5≈90.57（元）
• 某人将100元存入银行，复利年利率2％，求5年后 的终值。
答：F=P×(1+i) n＝100×（1+2％）5≈110.4（元）
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由图1可知，年金终值的计算公式为：
F=A·（1+i）0+A·(1+i)1+A·(1+i)2…A·(1+i)n-2
+A·(1+i)n-1
[1]
将[1]两边同时乘上（1+i）得：
F·（1+i)=A·(1+i)1+A·(1+i)2+A·(1+i)3…
A·(1+i)n-1+A·(1+i)n
[2]
将式[2]减去式[1]得：
P＝F/（1+n×i） 式中，1/（1+i×n）称为单利现值系数。
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例题 • 某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2％
的情况下，目前应存入银行的金额是多少？ 答：P＝F/（1+ni）＝500/（1+5×2％）≈454.55（元）
• 某人将100元存入银行，年利率2％，求5年后的终 值。
答：F=P×(1+i×n)＝100×（1+2％×5）≈110（元）
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选择题：
1.某企业拟发行5年期，面值1000元，利率为12%的债券，债券 发行时市场利率为10%，则企业的发行价格约为（ ）。
解答：
Ｆ＝Ａ·［（F/A，i,n+1)-1] ＝3000×[(F/A，5%，6+1)-1] ＝3000 ×（8.1420-1） ＝21 426（元）
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B、先付年金现值的计算
N期先付、后付年金现值计算比较示意图
比较：n期先付年金现值和n期后付年金现值，两者付款次数相 同，但先付年金现值比后付年金现值少折一期。故可在求出 n期后付年金现值后，再乘以(1+i)。
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与前面介绍的推导过程相似，略；
或用前页的方式，以后付年金现值公式两边同 乘以（1+i）得：
P＝A·[(P/A，i, n-1）+1]
即：先付年金现值系数，是在普通年金终值系数的基 础上，期数减１，系数加1所得的结果，通常记做 ［(F/A,i,n-1)+１]。通过查阅“１元年金现值表” 可得（n-1)期的现值，然后加上１，便可得到相应 的先付年金现值系数的值。
五年期满后可得本利和=1000×(110%)5 1
10%
=1000×6.1051=6105.1（元）
15
B、普通年金现值计算
图
普通年金现值计算示意图
图2 普通年金现值计算表
16
由图可知，将所有现值相加，两边再同时乘以 （1+i）后相减，即可得到普通年金现值的公式如下：
Ｐ=A·
1(1i)n
i
A(P/A,i,n)
上增加5％，永远持续下去。 如果折现率为12％，你会选择那种方式领取？ 提示：将B、C两种方式的奖金额折现比较，其中B复 利折现；C永续年金折现（公式：d0(1+g)/(k-g)）！
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4.某人计划在3年以后得到2万元的资金，用于偿还到期的债务， 银行年存款复利率4％，请问现在要存入多少钱才能达到目的？
五年租金的现值＝1 000× 1
(1 10)% 5 10 %
1000
3.79081
＝3790.8(元)
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2、先付年金 A、先付年金终值的计算
先付年金的终值是其最后一期期末时的本利和，是各期期初收付 款的复利终值之和。
N期先付、后付年金计算关系示意图
比较：n期先付年金与n期后付年金比较，两者付款次数相同，但先付 年金终值比后付年金终值要多一个计息期。为求得n期先付年金的终值， 可在求出n期后付年金终值后，再乘以(1+i)
上式中，Ｐ为普通年金现值；Ａ为年金；i为折现
率；n为期数；方括号中的数值通常称为“年金现
值系数”，记做（p/A，i,n)或PVA（i，n）,可直
接查阅“１元年金现值表”（见本书附表）。
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例题
王先生每年末收到租金1000元，为期５年，若按年 利率10%计算，王先生所收租金的现值为：
1
第一年租金的现值＝1000× (110%1) 909.1 （元）
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３、递延年金现值的计算
递延年金终值的计算与普通年金一样，只是注意期数，其中n 表示A的个数，与递延期无关，故略；
递延年金现值的计算方法有两种，分述如下：
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第一种方法，计算公式为：
Ｐ＝Ａ·
1(1i)(mn)
1(1i)m
i
i
＝Ａ·[（P/A，i，m+n)-(p/A，i，m)]
第二种方法，计算公式为：
Ｐ＝Ａ÷i
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例题 某学校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发
2000元奖学金。若利率为10%，则现在应存入多少钱？
解答： Ｐ＝2000÷10%=20 000(元）
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5、永续增长年金现值
永续增长年金是指永远以固定增长率增长的年金，其 现值可利用永续年金现值公式推导为：
Ｐ＝Ａ÷（i-g）
其中，A——第一年年末的现金流量 i——折现率 g——固定增长率
2.某公司计划存入银行一笔钱，年复利率为10％，希 望在今后10年中每年年末获得1000元，那么该公司 现在要存入银行多少钱？ 提示：已知年金、利率、时间，求现值！
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3.假如你获得一项奖金，领取的方式有3种： A、立即领取现金10万元； B、5年后获得18万元； C、下年度获得6500元，然后每年在上一年的基础
F·i=A·(1+i)n-A=A[(1+i)n-1]
F=A·(1ii)n1A•(F/A,i,n)
上式中，F为普通年金终值；A为年金；i为利率；n为期数； 方括号中的数值通常称为“年金终值系数”，记做（F/A，i， n）或FVA（i，n），可直接查阅“1元年终值表”。
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例题
张先生每年年末存入银行1000元，连存5年，年利率10%。 则5年满期后，张先生可得本利和为：
Ｐ＝Ａ·
1(1i)n
(1i)m
i
＝Ａ·（p/A，i，n) ·(P/F，i，m)
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例题
某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10％，每年复 利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年～第20年 每年年末偿还本息5 000元。则请计算这笔款项的现值。
解答：方法一：
P＝A×[（P/A，10％，20）-（P/A，10％，10）]
o 距今若干期以后发生的每期期末收款、付款的年金， 称为递延年金（Deferred Annuity）
o 无限期连续收款、付款的年金，称为永续年金
（Perpetual Annuity）
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年金表现形式举例
电
养
脑
老
租
金
金
债
优
券
先
利
股
息
息
固
增长
定
的压
压
岁钱
岁
钱
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1、普通年金 A、普通年金终值的计算
图1 普通年金终值计算表