【全国百强校首发】四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学(文)答案

2 高 2019 届高三二诊模拟考试 数学（文科）试卷参考答案
一、选择题：
二、填空题
13． 8 14．4． 15. 8 . 16.
10
三、解答题
17.
（1）证明：取 A 1C 1 的中点 G ，连接 EG ，FG ，由于 E ，F 分别为 AC ，B 1C 1 的中点，
所以 FG∥A 1B 1．又 A 1B 1⊂ 平面 ABB 1A 1，FG ⊄平面 ABB 1A 1，所以 FG∥平面 ABB 1A 1．又 AE∥A 1G 且 AE=A 1G ，
所以四边形 AEGA 1 是平行四边形．
则 EG∥AA 1．又 AA 1⊂ 平面 ABB 1A 1，EG ⊄平面 ABB 1A 1，所以 EG∥平面 ABB 1A 1．
所以平面 EFG∥平面 ABB 1A 1．又 EF ⊂ 平面 EFG ，
所以直线 EF∥平面 ABB 1A 1．（6 分）
（2）解：AA 1=A 1C=AC= ，
由于 E 为 AC 中点，则 A 1E ⊥AC ，又侧面 AA 1C 1C⊥底面 ABC ，交线为 AC ，A 1E ⊂ 平面A 1AC ，则 A 1E ⊥平面 ABC ，连接 EB ，可知 EB ，EA ，EA 1 两两垂直．
由（1）知直线 EF∥平面 ABA ．V
= V
= 1 ⋅ 1 EB ⋅ EA ⋅ EA =
（12 分）
1
F ﹣ABA1 E ﹣ABA1
3 2
18. 证（Ⅰ）由条件知， 1 a n +1 = a n +1 = 1 a n a n
+1 ，
1 1 所以，
- = 1，所以b - b = 1 ， a n +1 a n
n +1 n
又b 1 =
1
= 1，所以，数列{b n }是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 1
10 6 24
1
a
n n n
n n
故数列{b n }的通项公式为： b n = n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， c = n ⋅ 2n -1 ， 则 S =
1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + + n ⋅ 2n -1 ，① 2S = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + + n ⋅ 2n ② 0 1
20 - 2n -1
⨯ 2 n 由①-②得， -S n = 2 + 2 +
n ⋅ 2n =
- n ⋅ 2 1- 2
= -1+ (1- n ) ⋅ 2n
∴ S = 1+ (n -1) ⋅ 2n
∵ c n > 0 ，∴ S n -1 ≤ λc n 恒成立，等价于λ ≥
S n -1 对任意n ∈ N *
恒成立.
c n
S -1 (n -1)2n 2 ∵ n
= = 2 - < 2 ，∴ λ ≥ 2 .
c n 2n -1
n
19. （1） x = 21， y = 6 ，
^
(15 - 21)(10 - 6) + (18 - 21)(8 - 6) + (24 - 21)(3 - 6) + (27 - 21)(2 - 6)
63
b =
= - = -0.7 ，
(15 - 21)2 + (18 - 21)2 + (24 - 21)2 + (27 - 21)
2
90
^
^
^
a = y -
b x = 6 + 21⨯ 0.7 = 20.7 ，故 y 关于 x 的线性回归方程为 y = -0.7x + 20.7 .
（2）（ⅰ）若日需求量为 15 个， 当日利润= 15⨯ (10 - 4) + (24 -15)⨯(2 - 4) = 72 元
（ⅱ）若日需求量为 18 个，则当日利润= 18⨯ (10 - 4) + (24 -18)⨯(2 - 4) = 96 元若日需求量为 21 个，则当日利润= 21⨯ (10 - 4) + (24 - 21)⨯ (2 - 4) = 120 元 若日需求量为 24 个或 27 个，则当日利润= 24⨯ (10 - 4) = 144 元 则这 30 日的日均利润= 72⨯
10
+ 96⨯ 8 +120⨯ 7 +144⨯ 5 = 3048 = 101.6元 30 30 30 30 30
20. 解:（1） f '(x ) = 2(ln x + 2) ，
x ∈(0, e -2 ) ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减， x ∈(e -2 , +∞) ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增，
f (x )极小值=f (e -2 ) = -2e -2 ， f (x ) 无极大值.
(5 分)
+ 2n -1 -
（2）
------（12 分）21．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），
∵离心率为，∴，∴a=，
∵点P 为椭圆C 上任意一点，且|PF|的最小值为﹣1，
∴c=1，∴a2=b2+c2=b2+1，
解得 a2=2，b2=1，
∴椭圆C 的方程为=1． ------- 3分
（Ⅱ）
(ⅰ)由题意 A（0，1），F（﹣1，0），
∴k AF==1，
∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k BF=﹣1，
∴直线 BF 为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，
代入，得3x2+4x=0，解得x=0 或x=﹣，
代入y=﹣x﹣1，得，舍，或，∴B（﹣，）．
∴=，∴直线AB 的方程为：y=．------- 7 分
（ⅱ）存在一个定点 M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线 l 总经过此定点．证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于 x 轴的对称点 B1在直线 AF 上，设直线 AF 的方程为：y=k（x+1），
代入，得（）x2+2k2x+k2﹣1=0，
由韦达定理得，，
由直线AB 的斜率，得AB 的方程为：y﹣y 1= （x﹣x1）令y=0，得：
x=x1﹣y1•，
y
1=k（x
1
+1），﹣y
2
=k（x
2
+1），
= =
=≥=﹣2，
∴对于动直线 l，存在一个定点 M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线 l 总经过此定点．--------12 分
π
选做题
22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x-y+1=0，极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，曲线C 的普通方程为(x - 2)2 +y2 = 4 ，极坐标方程为ρ= 4cosθ 4 分
（Ⅱ）依题意，∵α∈(0, ，∴| O P |= 4cosα，
2
| OQ |=
| sin(α+
π
1
) - cos(α+
π
) |
=
1
，
sin α+ cosα
2 2
1 2 c osα
S
∆OPQ
=
2
| OP || OQ |=
cosα+ sinα
= 1 ，
ππ
∴tanα=1，α∈(0, ，∴α=，| OP |=2.--------10 分
2 4
23.（I），不等式，即
当时，
当时，
当时，
解集为------4 分
（II）
-----10 分
2。