广州荔湾区2024-2025学年高三上学期调研测试数学试题(解析版)

2024学年高三年级调研测试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集
()U {?N 010},{1,3,5,7}
U A B x x A B ==∈≤≤= ∣ ，则B =（ ）
A. {1,3,5,7}
B. {2,4,6,8}
C. {1,3,5,7,9}
D. {0,2,4,6,8,9,10}
【答案】D 【解析】
【分析】根据A B ∪及()
{}U 1,3,5,7A B ∩= 即可求出集合B . 【详解】已知全集{}
{}N 0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =∪=∈≤≤=∣， (){}U 1,3,5,7A B ∩= ,B 集合中没有1,3,5,7，
若0B ∉，则0A ∈，则()
U 0A B ∈∩ ，与条件矛盾，故0B ∈， 同理可得2,4,6,8,9,10B B B B B B ∈∈∈∈∈∈， 则{}0,2,4,6,8,9,10B =. 故选：D. 2. 已知复数3i
12i
z −=
+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得.
【详解】()()()()
3i 12i 3i
32i 6i 17
i 12i
12i 12i 555
z
−−−−−−====−++−，
故z .
故选：C.
3. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ） A. 9升 B. 10.5升 C. 12升 D. 13.5升
【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式计算即得.
【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{},N ,7n a n n ∗
∈≤， 则12674,2a a a a +=+=，17263a a a a +=+=，
所以这根竹子的装米量为
1777()
10.52
a a S +==（升）.
故选：B
4. 已知11sin cos ,cos sin 23
αβαβ+=−=，则sin()αβ−=（ ） A.
6772
B. 67
72− C. 5972
D. 59
72
−
【答案】D 【解析】
【分析】将已知两式平方相加，即可求出59sin cos cos sin 72
αβαβ−=
−，由差角公式即可得出结果.
详解】将1sin cos 2αβ+=
平方得，22
4
1sin 2sin cos cos ααββ++=，① 将1cos sin 3
αβ−=
平方得，2
29
1cos 2cos sin sin ααββ−+=，②
①＋②得()6
13
22sin cos cos sin 3αβαβ+−=
， 所以59
sin cos cos sin 72
αβαβ−=
−， 即59
sin()72
αβ−=
−. 故选：D
5. 已知函数π()sin()(0,0π),6f x x x ωϕωϕ=+><<=和2π3
x =是()f x 相邻的两个零点，则（ ） A. π3
ϕ=
B. ()f x 在区间5π11π,1212
上单调递减 C. 5π()6f x f x
−=−
D.
直线y x =−+
是曲线()y f x =的切线 【答案】D 【解析】
【分析】根据题意求出函数解析式判断A ，根据正弦函数的单调性判断B ，利用函数解析式计算判断C ，由导数求曲线的切线判断D.
【详解】由题意可知2ππ2π36T
=−=
，所以2π2πω==， 又ππsin 063f ϕ
=+=
，0πϕ<<，所以2π3ϕ=，故A 错误； 所以
()2πsin 23f x x =+
， 当
5π11π
1212
x <<时，3π2π5π2232x ≤+≤，由正弦函数的单调性知， ()2πsin 23f x x
=+
在5π11π,1212 上单调递增，故B 错误；
由5π5π2πππsin 2sin 2sin 263333f x x x x
−=−+=−=−−
， 【
()2πsin 23f x x
−=−+ ，所以
5π()6f x f x
−≠−
，故C 错误； 设切点为()00,x y ，因为
()2π2cos 23f x x ′=+
，所以02π2cos 213k x
=+=−
， 解得02π2π
22π33
x k +
=+或02π4π22π33x k +=+，Z k ∈， 即0πx k =或0
ππ3
x k =+，Z k ∈，
当0k =时，切点为 ，切线方程为()0y x =−−，即y x =−+， 故D 正确. 故选：D
6. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>与抛物线2:2(0)C y px p =>，椭圆E 与抛物线C 交点的连线经
过椭圆E 的右焦点，抛物线C 的准线经过椭圆E 的左焦点，则椭圆E 的离心率为（ ）
A.
1−
B.
C.
D.
1
2
− 【答案】A 【解析】
【分析】根据抛物线的准线时椭圆的左焦点可求出2
p
c =
，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知()2
2
22
21c c a b
+=，化简可得关于e 方程，求解即可. 【详解】根据题意知，抛物线C 的准线经过椭圆E 的左焦点可得2
p
c =
， 椭圆E 与抛物线C 交点的连线经过椭圆E 的右焦点，所以()2
2
2
221c c a b
+=， 由2
22c a b =−，c
e a
=
化简整理可得42610e e −+=，
解之可得)
2
2
31e =−，或23e =+舍)，
所以可得1e =.
故选：A
7. 已知函数()()22,4
2ln 3,4
x x ax a x f x x x −−−< = +−≥ ，数列{}n a 满足
()()
*n a f n n =∈N ，且数列{}n a 是单调递增数列，则a 的取值范围是（ ） A 255,72
−
−
B. 32,49
−
−
C. 32,39
−
−
D. 253,72
−
−
【答案】A 【解析】
【分析】由数列{}n a 是单调递增数列可知当3x ≤时，()f x 单调递增，当4x ≥时，()f x 单调递增，且
()()43f f >，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列{}n a 是单调递增数列，
可知当3n ≤，N n +∈时，()()2
222f n n an a n a a a =−−−=−++−单调递增，即3a −≥或
()()
2323a f f ≤−≤
< ，解得5
2a <−； 当4n ≥时，()()2ln 3n
f n n =
+−单调递增恒成立， 且()()43f f >，即()4
2ln 4396a a +−>−−−；
解得25
7
a >−
， 所以若数列{}n a 是单调递增数列，则25572
a −<<−， 故选：A.
8. 已知函数()e ,()ln x f x x g x x x =+=+，若()()12f x g x =，则21x x 的最小值为（ ） A. e − B. 1
e
−
C. 1−
D. 【答案】B 【解析】
【分析】结合题意构造函数()e x h x x =+，
得到12ln x x =，表示出1121e x x x x =，再借助导数求出()e x
u x x =的最小值即可.
【详解】∵()e ,()ln x f x x g x x x =+=+，()()12f x g x =， ∴12
ln 1222e ln e
ln x
x x x x x +=+=+，
.
令()()e ,e 10x
x
h x x h x =′++>，
∴()e x
h x x =+在R 上单调递增，
∴12ln x x =，即12e x
x =，
∴1121e x
x x x =，
令()e x
u x x =，则()()e
1x
u x x =′+，
当(),1x ∞∈−−时，()0u x ′<，()u x 单调递减； 当()1,x ∞∈−+时，()0u x ′>，()u x 单调递增； ∴当1x =−时，函数()e x
u x x =取得最小值，
即()()min 11e
u x u =
−=−， ∴121e
x x ≥−， 故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X 服从正态分布(
)2
72,8
N ，女生成绩Y 服从正态分布
()
274,6N ．则（ ）
A. (86)(86)P X P Y ≤<≤
B. (80)(80)P X P Y ≤>≤
C. (74)(74)P X P Y ≤>≤
D. (64)(80)P X P Y ≤=≥
【答案】ACD 【解析】
【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得. 【详解】(
)2
72,8
X N ，1
72µ
=，18σ=；
()274,6Y N ，274µ=，26σ=.
11(80)
()P X P X µσ≤=≤+，22(80)()P Y P Y µσ≤=≤+，(80)(80)P X P Y ≤=≤； 11(88)
(2)P X P X µσ≤=≤+，22(86)(2)P Y P Y µσ≤=≤+，(88)(86)P X P Y ≤=≤；
对于A ，(86)(88)(86)P X P X P Y ≤<≤=≤，A 选项正确； 对于B ，(80)(80)P X P Y ≤=≤，B 选项错误；
对于C ，1(74)(72)(74)2
P X P X P Y ≤>≤==
≤，C 选项正确； 对于D ，(64)(80)(80)P X P X P Y ≤=≥=≥，D 选项正确. 故选：ACD 10. 设函数()()2
3f x x
x =−，则（ ）
A. 2x =是()f x 的极小值点
B. 当01x <<时，()0214f x <+≤
C. 当01x <<时，()()2
f x f x >
D. 当10x −<<时，()()1f x f x <−
【答案】BCD 【解析】
【分析】对于A ，先证明()()()2
124f x x x =−+−+，
再说明2x =是()f x 的极大值点即可得到A 错误；对于B ，分别利用()2
3
3f x x x =−和()()()2
124f x x x =−+−+两个表达式即可证明结论；对于C ，
使用作差法比较()f x 和()2
f x
即可；对于D ，使用作差法比较()f x 和()1f x −即可.
【详解】对于A ，由于()()2
2333f x x
x x x −−，故
()()()()()()
()2
232223121444444344x x x x x x x x x x x x f x −+−=−+−+=−+−−−+=−−=−.
所以()()()2
124f x x x =−+−+，从而对()()1,22,3x ∈∪有
()()()()2
12442f x x x f =−+−+<=，所以2x =是()f x 的极大值点，故A 错误；
对于B ，当01x <<时，由于()2
3
3f x x x =
−，故 ()()()()()
23
2322132121344181261f x x x x x x x x +=+−+=++−+++
()
()()333286286288818110x x x x x x x x x x x x =−++>−++=−=−=−+>，
且由2220x +>>，()()()2
124f x x x =−+−+，可得()()()2
21222144f x x x +=−+−+≤. 故B 正确；
对于C ，当01x <<时，由于()2
3
3f x x x =
−，故由()2
10x x −>，()()()311130030x x x x x +−+−+>++=>可知
()()()()()()()()
22
3462
43622333333311f x f x x x x x x
x x x x x x x −−−−−−−−−−
()()()()
()()(
)(
)23222
311111311x x x x x x x x x x x x x =−+−−++=−+−++
()(
)()()()(
)
22322322313313213x x x x x x x x x x x x x x x x x =−+−−−=−+−−=−+−+−
()()(
)(
)()()()()()22
21311131110x x x x x x x x x x x x x =−+−+−=
−+−+−+>，
所以()()2
f x f x
>，故C 正确；
对于D ，当10x −<<时，有()()()12120x x x +−−>，故
()()()()(
)(
)
23
2313113f x f x x x x x −−=
−−−−−
()()
2
23233631333x
x x x x x x =
−+−+−+−−
()()
()323
222332225522x x x x x x x x =−−+=
+−+++
()(
)
()()()2125212120x x x x x x =+−+=+−−>，
所以()()1f x f x <−，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不同的方向去研究函数的性质，方可解决相应的问题. 11. 在圆锥SO 中，母线SA l =，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则（ ）
A. 当32r =
时，圆锥SO
B. 当32r =
时，过顶点S C. 当3l =时，圆锥SO 能在棱长为4的正四面体内任意转动 D. 当3l =时，棱长为1的正四面体能在圆锥SO 内任意转动 【答案】AD 【解析】
【分析】对于A ，先根据几何体特征算出圆锥SO 内接圆柱体的体积表达式，然后构造函数
()2
1,0f x x x x =−<< ，利用导数即可求解；对于B ，当32r =时，2l =，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算；对于C ，分别算出圆锥SO 外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断；对于D ，分别算出正四面体外接球半径以及圆锥SO 内切球半径，比较大小即可判断.
【详解】由已知圆锥SO 的侧面积为π3πrl =，即3rl =， A 选项：当3
2
r =
时，2l =
，h ==
此时圆锥的轴截面SAB 、圆锥SO 内接圆柱体的轴截面CDEF 如图所示，
设
11,OF r CF h ==
，则由相似三角形性质有2
1112391π1324r r V h ⇒=⇒= ， 设(
)2
1,0f x x x x =<< (
)2
21111f x x x x x   ⇒=+=−
  ′  


， 令(
)110,0f x x x x  ==<<⇒=  
 ′ ，
当0x <<
ff ′(xx )>0，所以()f x
在 上单调递增，
x <<ff ′(xx )<0，所以()f
x 上单调递增，
所以当x =()f x
有最大值，且它的最大值为2
1f =
，
所以max 9
π4V =，故A 正确；
B 选项：当3
2
r =
时，2l =，此时圆锥的轴截面如图所示，
在
2
2
2
222322212cos 022228
SA SB AB ASB SA SB
+−× +− ∠=
==−<⋅××，所以ASB ∠为钝角， 令P ，Q 是圆锥SO 的底面圆周上任意的不同两点，则0PSQ ASB <∠≤∠，
所以11sin 221222PSQ
S SP SQ PSQ =⋅⋅∠≤×××= ，当且仅当2
π
PSQ ∠=时，取等号，故B 错误；
C 选项：当3l =时，1r =
，高h =
，
设圆锥SO 的外接球球心为C ，圆锥SO 的外接球半径为2R ，
所以(
)
2
22
2
22219R R R +−=⇒=
⇒， 棱长为4的正四面体BDMN 可以补成正方体GBHD MENF −，如图所示，
则正方体的棱长BG
BD =， 正四面体BDMN
的体积为(
(
3
2
11
432
B DMN
V −=−⋅⋅⋅⋅， 正四面体BDMN
的表面积为14442B DMN S −=×××=， 设正四面体BDMN 的内切球半径为2r ，
则由等体积法可知
222
13B DMN B DMN S r V r −−=⇒⇒=，
注意到2
2R r =>=， 所以圆锥SO 不能在棱长为4的正四面体内任意转动，故C 错误；
D 选项：棱长为1的正四面体BDMN 可以补成正方体GBHD MENF −，如图所示，
则正方体的棱长BG
=， 所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
=
1R =
当3l =时，1r =，高
h =
，
圆锥SO 的内切球球心在线段SO 上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为1r ，由三角形面积得
()111
332222
r ++=××，解得1r =>
， 所以棱长为1的正四面体能在圆锥SO 内任意转动，故D 正确. 故选：AD.
【点睛】关键点点睛：判断A 选项的关键在于求出圆柱体积表达式，利用导数这一有利工具，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则1212(2)(32)e e e e +⋅−+=
____________． 【答案】72
− 【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】由单位向量21,e e 的夹角为60°，得11221|||
|cos 602
e e e e ⋅=°= ， 所以221212121217(2)(32)626222
e e e e e e e e +⋅−+=−++⋅=−++=− .
故答案为：7
2
−
13. 在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为____________． 【答案】
3
8
##0.375 【解析】
【分析】使用表格列出所有情况，然后由古典概型的概率公式可得.
【详解】记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4， 则四位同学抽到可贺卡情况如下表：
总情况有24种，满足条件的有9种，
故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为93248
=. 故答案为：
38
14. 如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比
数列，2,1
3,21,43,13,42,12,a a a a a ==⋅=，则7,8a =____________，,11n
n i j i j a =
=
∑∑____________．
1,1a 1,2a 1,3a … 1,n a 2,1a 2,2a 2,3a … 2,n a
… … … … …
,1n a ,2n a ,3n a … ,n n a
【答案】 ①. 960 ②. 222n n n ⋅− 【解析】
【分析】设出每一列等比数列的公共公比q ，结合等比数列性质可得2
1,41,11,42
a q a q a =⋅⋅⋅，即可得1,1a ，即
可得q ，从而可得,1i a ，即可得,i j a ，即可得7,8a ；由,i j a 结合等差数列求和公式可计算出
,1
n
i j
j a
=∑，再结合等
比数列求和公式即可得,11n
n i j i j a =
∑∑. 【详解】设每一列等比数列的公比都为q ，则2
3,11,1a a q =⋅，2
3,4
1,4a q a =⋅， 则由1,43,13,4a a a ⋅=
，可得21,41,11,42a q a q a =⋅⋅⋅，则1,11a =，则1,1
2
2q a ==， 故1
,12
i i a −=，由3,212a =，则1,2
2
12
32
a ==，则1,232i i a −=⋅， 故1
1,2,13222i i i i i a a −−−=⋅
−=，即()()11,212212i i i i j a j j −−=+−⋅=
−⋅，
故()717,828121564960a −=
×−⋅=
×=；
则()11
21,,1,2,1
221222i i n
i i j i i i n j n n a a a a n −−−= +−⋅× =+++==⋅∑ ，
则()
()
221
20212122
,111122222212n
n
n n i n n i j i j i n a n n n n n n −−==
− =⋅=⋅+⋅++⋅==⋅− − ∑∑∑ . 故答案为：960；222n n n ⋅−.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出每一列等比数列的公共公比q ，结合等比数列性质利用所给数据计算出q ，从而得到()1,212i i j a j −=
−⋅.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C
sin cos C a C c b −=−． （1）求A ；
（2）若7,a ABC =△
，求ABC 的周长. 【答案】（1）2π
3
（2）15 【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得πsin 6A
+
，可求角A ； （2）由（1）结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出b c +即可作答． 【小问1详解】
ABC
sin cos C a C c b −=−，
sin sin cos sin sin A C A C C B −=−，
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
sin cos sin sin A C A C C +=，由()0,πC ∈，sin 0C ≠，
πcos 2sin 16A A A
+=+=
，得π1
sin 62
A +
=
， 由()0,πA ∈，则π5π
66A +=，得2π3
A =
. 【小问2详解】
2π3A =
，则sin A =
，由1sin 2ABC S bc A == 15bc =， 由余弦定理()2
222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+−=++=+−， 得()2
4915b c =+−，得8+=b c ， 所以ABC 的周长为15a b c ++=.
的
16. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是平行四边形，PAD △是正三角形，
60,24BAD PB AB AD ∠=°===．
（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ; （2）求二面角B PC D −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）
1
5
【解析】
【分析】（1）取AD 中点O ，连接,OP OB ，根据等比三角形可得PO AD ⊥，由余弦定理求OB 长，再由勾股定理得OB OP ⊥，结合面面垂直判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算分别求平面PBC 与平面PCD 的法向量，根据向量夹角运算即可得二面角B PC D −−的余弦值． 【小问1详解】
取AD 中点O ，连接,OP OB ，
因为PAD △是正三角形，O 为AD 中点，
所以PO AD ⊥，且PO
AD =，
又60,24BAD AB AD ∠=
°==，由余弦定理得2221
2cos 60116214132
OB OA AB OA AB =+−⋅⋅°=+−×××
=， 则222OB OP PB +=，故OB OP ⊥，
因为,,OB AD O OB AD ∩
=⊂平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ； 【小问2详解】 如图，连接BD
，则BD =
所以222BD AD AB +=，故DA DB ⊥，
如图，过D 作//Dz PO ，以D 为原点，,DA DB 所在直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,B
，(C −，(0,0,0)D
，P ，
∴(2,0,0)BC =−
，(3,PC −
，(2,CD =− ，
设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
则200230n BC x x z y n PC x ⋅=
−== ⇒ =⋅=
−+=
，取(0,1,2)n = ， 设平面PDC 的一个法向量为(,,)m a b c = ，
则3020m PC a a b c m CD a ⋅=−+−== ⇒ =− ⋅=−=
，取(1,1)m −
， 由图可知二面角B PC D −−的平面角为锐角角，
∴二面角B PC D −−的余弦值为：
|cos m <
,1|
5n >=
．
17. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图
.
（1）求a 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在(]14,16内的人数为X ，求X 的分布列和期望；
（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“()8P k ”表示这8名学生中恰有k 名学生户外运动时间在(]8,10内的概率，当()8P k 最大时，求k 的值. 【答案】（1）0.1a =，平均时间为9.16小时 （2）分布列见解析，期望()12
5
E X = （3）2k = 【解析】
【分析】（1）根据频率和为1，可得a ，再根据平均数公式直接计算平均数即可；
（2）分别计算时间在(]14,16，(]16,18的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；
（3）根据频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率，根据二项分布的概率公式可得()8P k ，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】
由已知()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=
，解得0.1a =， 所以平均数为10.0430.0650.170.190.3×+×+×+×+×
110.2130.1150.081706290.1.+++×=×+××.
【小问2详解】
这1000名高中学生户外运动的时间分配，
在(]14,16，(]16,18两组内的学生分别有10000.0880×=人，和10000.0220×=人； 所以根据分层抽样可知5人中在(]14,16的人数为80
548020
×=+人，在(]16,18内的人数为541−=人，
所以随机变量X 的可能取值有2，3，
所以()24
35
C 32C 5P X ===，()343
5C 23C 5P X ===， 则分布列为
期望()321223555
E X =×+×=； 【小问3详解】
由频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率为30.1520.310
×==
， 则()888
8
83337C 1C 10101010k
k
k
k
k k P k −−
=⋅−=⋅⋅
，
若()8P k 为最大值，则()()()()888
811P k P k P k P k ≥+
≥− ， 即8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k k
k k k k k k
k k −+−+−−−−
⋅⋅≥⋅⋅ ⋅⋅≥⋅⋅
， 即1
713810110
131710910
k k k k ⋅≥⋅ −+ ⋅≥⋅ − ，解得1.7 2.7k ≤≤， 又N k ∈，且08k ≤≤，则2k =. 18. 已知函数()2
1e 2
x
f x ax x =−−
． （1）若()0f x ′≥，求实数a 的取值范围； （2）若()2
12
f x x x b ≥−
++，求()1a b +的最大值． 【答案】（1）(−∞,1]
（2）
e 2
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性与最值分离参数计算即可；
（2）含参分类讨论()()e 1x
h x a x b =−+−的单调性，得出()()()11ln 1a a a b +−++≥，构造函数，利用
导数研究其单调性及最值计算即可.
小问1详解】
由题意得()e x
f x a x =′−−，则()0e x
f x x a ⇒′≥−≥，
令()()e e 1x x
g x x g x ′=−⇒=−，
显然0x <时，()0g x ′<，即()g x 此时单调递减，
0x >时，gg (xx )>0，即()g x 此时单调递增，
所以()()01g x g ≥=
，则1a ≤， 实数a 的取值范围为(−∞,1]； 【小问2详解】 若()2
12
f x x x b ≥−
++，则()e 10x a x b −+−≥， 令()()e 1x
h x a x b =−+−，则()()e 1x
h a =′−+， 若1a ≤−，则ℎ′(xx )>0，此时ℎ(xx )在R 上单调递增，
当x →−∞时，()h x ∞→−，不符合题意；
当1>−a ，则()ln 1x a >+时，ℎ′(xx )>0，此时ℎ(xx )单调递增， ()ln 1x a <+时，ℎ′(xx )<0，此时ℎ(xx )单调递减，
即()()()
()()()ln 111ln 10h x h a a a a b ≥+=+−++−≥， 即()()()11ln 1a a a b +−++≥，
所以()()()()2
2
11ln 11a a a b a +−++≥+，
令()()()2
2
ln 2ln 12ln m x x x x m x x x x x x =
−⇒=−=−′，
易知当(x ∈时，()0m x ′>，此时()m x 单调递增，
【
当)
x ∞∈
+时，()0m x ′<，此时()m x 单调递减，
即(
)e 2
m x m ≤=， 所以
()()()()22
e 11ln 112
a a a
b a ≥+−++≥+，
当且仅当()()(
)111ln 1a b a a a ++−++()max e 12b a +=，
所以()1a b +的最大值为
e 2
. 【点睛】思路点睛：对于双变量的恒成立问题，可以通过消元转化为单变量函数最值来进行计算.
19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>
．
（1）求双曲线E 的标准方程；
（2）为了求二元二次方程2231x y −=
的正整数解()(
)*
,,,N n n n n n P x y x y n ∈，可先找到初始解()1
1
,x y ，
其中1x 为所有解n x
中的最小值，因为221(2231+−×，可得1(2,1)P ;
因为
22221(2(2(7734+−−×，可得2(7,4)P ;
重复上述过程，因为(2n
+
与(2n −
(
)()
22
1(2(23n n n n
n n n x x
x y =
−=−，故得(),n n n P x y ．若方程E 的正整数解为
(),n n n Q x y ，且初始解为1(9,4)Q ． （i ）证明：2118n n n x x x +++=
； （ii ）1n n OQ Q +△的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
【答案】（1）2
2
1
15
y x −=； （2）（i ）证明见详解；（ii ）为定值，2. 【解析】
【分析】（1）根据已知列出关于,,a b c 的方程组求解即可；
（2）（i ）根据循环构造原理求出,n n x y ，
然后据此化简即可得证；（ii ）记()()111,,,n n n n n n OQ x y OQ x y +++==
，
根据数量积公式和三角形面积公式化简可得.
【小问1详解】
由题知，2222b c a a b c = = +=
，解得1,a b c == 所以双曲线E 的标准方程为2
211
5
y x −=. 【小问2详解】
（i ）由（1）知双曲线E 的方程为2251x y −=， 由题知，方程2251x y −=的初始解为()19,4Q ，
根据循环构造原理可得：(
(9,9n n
n n n n x x +=+−=−，
所以(
(
(
(199,992n n n n
n n x y =++−+−− ，
因为(
(
(22211999922n n n n n n x x +++ +=++−+++−
(
(
(
(
(
(11916191619922n
n n n =+++−−+++−
(
(
(
(1916291622n n =+++−− ，
(
(111918992n n n x +++ =++−
(
(
(
(1899992n
n =+++−−
(
(
(
(1916291622n n =+++−− ， 所以2118n n n x x x +++=
. （ii ）记()()111,,,n
n n n n n OQ x y OQ x y +++== ，1,n n OQ OQ α+= ，
则111sin 2n n OQ Q n n S OQ OQ α++==
1112n n n n x y x y ++=−，
记((9,9n n
a b +−，
则)((
((()19999n n OQ Q S b a b a b a b + ++−−−++−−
(
22992n ab ==+−= . 【点睛】关键点睛：关键在于根据循环构造原理求出,n n x y ，然后结合向量数量积公式和三角形面积公式求解即可.。