安徽皖南八校2011届高三摸底联考数学文

皖南八校 2011届高三摸底联考
数 学 试 题（文）
考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。

3．请将各卷答案填在答题卡上。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．
在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．i 是虚数单位，复数i i
3223-+等于
（ ）
A ．i
B ．i -
C ．i --1
D ．i -1 2．若全集为实数集R ，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≥=231log x x M ，则 M 等于
（ ）
A ．),9
1
(+∞
B ．),9
1(]0,(+∞-∞Y
C ．),9
1[]0,(+∞-∞Y D ．),9
1[+∞
3．若动点P 到定点F （1，－1）的距离与到直线01:=-x l 的距离相等，则动点P 的轨迹是
（ ） A ．直线 B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
4．设向量a b m a ),2,1(),3,(-==∥b ，则实数m 的值为 （ ）
A ．2
B ．6
C ．
23 D ．2
3-
5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体 的直观图是 （ ）
︵
︵
6．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是 （ ） A ．9 B ．81 C ．729 D ．6561 7．函数],0[(1cos sin )(π∈++=x x x x x f 的最大值为（ ）
A ．
12
+π
B ．2
C ．1
D ．0
8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样 的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样 的数称为“正方形数”。

如图中可以发现，任何一个 大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角 形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为
（ ）
A ．13=3+10
B ．25=9+16
C ．36=15+21
D ．49=18+31
9．双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点BF AB b B ⊥且),0(，则此双曲线
的离心率为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
1
3+ D ．
2
1
5+
10．如图，圆O 的内接“五角星”与原O 交与),5,4,3,2,1(=i A i 点，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为
),4,3,2,1(=i a i ，弧15A A 所对的圆心角为5a ，则425312sin 3sin )cos(3cos a a a a a -+等于
（ ）
A ．2
1- B ．2
3- C ．1
D ．0
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

11．命题“任意R x ∈使得44
≤+
x
x ”的否定是 。

12．抛物线y x C 2:2
=的焦点为F ，过C 上一点),1(0y P 的切线l 与y 轴交于A ，则AF = 。

13．若奇函数))((R x x f ∈满足)10(),2()()2(,1)1(f f x f x f f 则+=+== 。

14．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤0
01
),(y x y x y y x 满足，求y x 2123+的最大值是 。

15．下面关于棱长为1的正方体ABCD —1111D C B A 叙述正确的是 。

①任取四个顶点，共面的情况有8种；
②任取四个顶点顺次连结总共可构成10个正三棱锥； ③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有5种；
④如图把正方体展开，正方体原下底面1111D C B A 与标号4对应；
⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间)3,2
10
(
内的情况有4种。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知.sin 2sin sin ,12C B A ABC =
++∆且的周长为
（Ⅰ）求边AB 的长； （Ⅱ）若的ABC ∆的面积为,sin 6
1
C 求角C 的度数。

17．（本小题满分12分）
设函数)0(2
1
1)(≥+-+
=a ax x nx x f （Ⅰ）当)(,0x f a 求时=的单调区间；
（Ⅱ）若.,2
1]1,0()(的值求上的最大值为在a x f
18．（本小题满分13分） 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A 、B 、C 三个工作组，其分别有组员36、36、18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A 、B 、C 三个工作小组抽取5名工作人员来完成。

（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人
员没有A 组工作人员的概率。

19．（本小题满分13分） 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，PD=AB=2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点。

（Ⅰ）求证：PA ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求证P ：平面⊥PDA 平面EFG ； （Ⅲ）求三棱锥P —EFG 的体积。

20．（本小题满分12分）
已知数列{}).,2(2)2
1
(2,21111N n n S S n a a n n n n ∈≥+-==
--项和前中 （Ⅰ）令{}n n n
n b a b 求证数列,2=是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n n a n
n c 1
+=，求数列{}n c 的前n 项和n T
21．（本小题满分13分）
已
知
圆
1634),(16)()4(:22=--*∈=-+-y x N m m y x C 直线过椭圆
)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点，且交圆C 所得的弦长为5
32
，点)1,3(A 在椭圆E 上。

（Ⅰ）求m 的值及椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求⋅的取值范围。

参考答案
1—5 ABADB 6—10 CACDC 11．存在4|
|4
||,>+∈x x x R 12．1 13．10 14．2
15．②④⑤ 提示： 1．A
.)
32)(32()
32)(23(3223i i i i i i i =+-++=-+ 2．B 法一：验证排除：集合M 中没有0这一元素，有
9
1
这一元素， 故),9
1(]0,(+∞-∞=Y M C R ；
法二：直接求解：由2log 3
1≥x 得,9
10,)3
1(log log 2
3
13
1≤
<≥x x 即 所以).,9
1
(]0,(+∞-∞=Y M C R
3．D 因为定点F （1，—1）在直线01:=-x l 上，所以轨迹为过F （1，—1）与直线l 垂直的一条直线。

4．C .2
3,32-=∴-=m m
5．D 由俯视图可知是B 中和D 中的一个，由正视图和侧视图可知B 错。

6．C .72993
= 7．A x x x f cos )(='Θ )(,0)(,)2
,0(x f x f x >'∈∴时当π
为增函数；
当)(,0)(),,2
(
x f x f x <'∈ππ
为减函数，
.12
)2
()(max +=
=∴π
πf x f
8．C 这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且正方形数是这串数中相邻两数
之和，很容易看到：恰有15+21=36。

9．D .2
1
5,101,,,2
2
2
2
+=
>=--=-=∴⊥e e e e ac a c ac b BF AB 所以且故即Θ
10．C 如图可知五边形A 1A 2A 3A 4A 5是一个正五边形，所以可知ο
Λ72521===ααα，故
.1360cos )725cos(2sin 3sin )cos(3cos 42531==⨯=-+οοααααα
11．存在4|
|4
||,>+
∈x x x R 对命题结论进行否定，同时改变量词。

12．1 由),(,,2
120002
2
x x x y y l x y x y y x -=-='=
=方程为切线得 将)0(2000002
00>-=-=-==y y y y x y y x A 代入得，
.1||,2
1
,21||),21
,0(00=∴=+=
∴AF y y AF F 又坐标为焦点Θ 13．10 )(x f 是奇函数，,2)2()2()1()1(),1()1(=⇒+-=∴--=∴f f f f f f
.
10)3()2()5()
3()7()10(,5)2()3()5(,3)2()1()3(=++=+==+==+=∴f f f f f f f f f f f f
14．2 由线性规划知识可知当.2)2
1
23(,1,1max =+
==y x y x 时 15．②④⑤ 任取四个项点，共面的情况有12种，①错；任取四个顶点顺次连结总共可构成以每个顶点
可以构成8个，相对面异面的两对角线的四个顶点可构成2个正四面体，故可构成10个正三棱锥，②正确；③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，③错误；④明显正确；两点点间的距离
在区间]3,2
10
(
内，这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种，⑤正确。

16．解：（I ）由题意及正弦定理，得AB AC BC AC BC AB 2,12=++=
++，
两式相减，得AB=1。

………………6分
（II ）由,sin 6
1
sin 21
C C AC BC ABC =
⋅⋅∆的面积 得.3
1
=
+AC BC 由余弦定得， 得,2
1
22)(2cos 22222=⋅-⋅-+=⋅-+=
BC AC AB BC AC BC AC BC AC AB BC AC C 所以.60ο
=C ………………12分 17．解：对函数求导得：a x x x f +--=
'2)
2(1
1)(，定义域),2()2,0(+∞Y ………2分 （I ）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当0)
2()4)(1(,0)2(11)(,022=---=--=
'=x x x x x x x f a 得令时 …………4分 分
为减区间和当为增区间
和当6.0)(),4,2()2,1(0)(),,4()1,0(ΛΛΛΛ<'∈∈<'+∞∈∈x f x x x f x x
（II ）当0)
2(1
1)(],1,0(2>+--=
'∈a x x x f x 为单调递增 .2
3
,211)1()(max =∴=
-==a a f x f ………………12分 18．解：（I ）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本空量与总体中个体数的比为
,18
1
905=所以从A 、B 、C 三个工作组分别抽取的人数为2、2、1 …………6分 （II ）设A 1，A 2为从A 组抽得的2名工作人员，B 1，B 2为从B 组抽得的工作人员，C 1为从C 组抽得的工
作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是： ),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A
21(,)B C ,共有10种，其中没有A 组工作人员的结果有3种，所以所求的概率3
10
P =。

…………13分 19．解：（Ⅰ）证法1，如图，即AD 的中点H ，连接GH ，FH
Q E ，F 分别为PC ，PD 的中点，//EF CD ∴ Q G ，H 分别为BC ，AD 的中点，//.GH CD ∴ //,EF GH ∴∴E ，F ，H ，G 四点共面。

Q F ，H 分别为DP ，DA 的中点，//PA FH ∴
PA ⊄Q 平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， //PA ∴平面EFG …………4分
证法2：Q E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点，
//,//EF CD EG PB ∴ //,//.CD AB EF AB ∴Q
,,PB AB B EF EG E ⋂=⋂=∴Q 平面EFG//平面PAB 。

PA ⊂Q 平面PAB ，//PA ∴平面EFG 。

…………4分
（Ⅱ）PD ⊥Q 平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，,PD DC ⊥又AD ⊥DC ， 且,AD PD D DC ⋂=∴⊥平面PDA ，
Q E ，F 分别为PC ，PD 的中点，
//,EF CD EF ∴∴⊥平在PDA ，EF ⊂平面EFG ，
平面PDA ⊥平面EFG 。

…………8分
（Ⅲ）解：PD ⊥Q 平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，.GC PD ∴⊥
Q ABCD 为正方形，.GC CD ∴⊥ ,PD CD D GC ⋂=∴⊥Q 平面PCD ，
11
1,122PF PD EF CD =
===Q ， 11
22PEF S EF PF ∆∴=⨯=
11111
1,1.23326P EFG G PEF PEF GC BC V V S GC --∆==∴==⋅=⨯⨯=Q ……13分
20．（Ⅰ）2
112 2.2n n n S S --⎛⎫
=-+ ⎪
⎝⎭
即1
122n n n S a -⎛⎫
+=-+ ⎪
⎝⎭
2
11
12,22n n n n S a ---⎛⎫≥+=-+ ⎪⎝⎭
1
1122n n n a a --⎛⎫
∴=+ ⎪
⎝⎭
，即1
1221n n n n a a --=+…………3分
12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时，11n n b b --=
又1121,b a ==∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列……5分
于是1(1)12,2n
n n n n
n
b n n a a =+-⋅==∴=
…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n
n n n c a n n +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，所以
所以11(1)22n n
n n c b n ⎛⎫⎛⎫
=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………5分
2
3
1111234(1)2222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ①
2
3
4
1
11111234(1)22222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ②…………8分
由①-②得2
3
1
111111(1)22222n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ……10分
1
1
111[1]
133421(1)1222
12
n n n n n -++⎛⎫- ⎪+⎛⎫
⎝⎭=+
-+=
- ⎪
⎝⎭
-
3
32
n n n T +∴=-
…………12分 21．解：（Ⅰ）因为直线43160x y --=交圆C 所得的弦长为
325
所以圆心(4,)C m 到直线43160x y --=
125=
即
|44316|12
55
m ⨯-⨯-=
所以4,4m m ==-或（舍去）…………3分
又因为直线43160x y --=过椭圆E 的右焦点，所以右焦点坐标为2(4,0),F 则左焦点F 1的坐标为（-4，0），因为椭圆E 过A 点， 所以12||||2AF AF a +=|
所以22218,2a a a b =+
====
故椭圆E 的方程为：
22
1.182
x y +=…………6分 （Ⅱ）法一：(1,3),(,)AC Q x y =u u u r
设
则(3,1)AQ x y =--u u u r
设3x y n +=，则由22
1182
3x y x y n ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩
消x 得2
2
186180y ny n -+-=…………9分 由于直线3x y n +=与椭圆E 有公共点， 所以2
2
(6)418(18)0n n ∆=-⨯⨯-≥
所以66n -≤≤，故36AC AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r
的取值范围为[-12，0]……13分
法二：(1,3)AC =u u u r
，设(,)Q x y
则(3,1),(3)3(1)36AQ x y AC AQ x y x y =--⋅=-+-=+-u u u r u u u r u u u r 22
(3)2|||3|x y x y +≥⋅Q ，而22
1182x y +=，
即22(3)18,18618.x y xy +=∴-≤≤…………9分
222(3)(3)6186x y x y xy xy ∴+=++=+的取值范围是[0，36]
即3x y +的取值范围是[-6，6]
36AC AQ x y ∴⋅=+-u u u r u u u r 的取值范围是[-12，0]…………13分。