2019-2020学年六安中学高一下学期期末数学试卷(理科)

2019-2020学年六安中学高一下学期期末数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.
已知向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(3,6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )
A. 1
2
B. −2
C. 2
D. −1
2
2.
如图程序中，输入x =ln2，y =log 32，z =1
2，则输出的结果为( )
A. x
B. y
C. z
D. 无法确定
3.
定义运算x ⊗y ={x(x ≤y)
y(x >y)，若|m −1|⊗m =|m −1|，则m 的取值范围
是( )
A. [1
2,+∞)
B. [1,+∞)
C. (−∞,1
2)
D. (0,+∞)
4.
造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有( )
A. 69人
B. 84人
C. 108人
D. 115人
5.
已知△ABC 中，a =4√2，b =4，A =45°，则B 等于( )
A. 30°
B. 30°或150°
C. 60°
D. 60°或120°
6.
若向量a ⃗ =(sin2α,sinα−1)，b ⃗ =(1,1+sinα)，且tan(π
4+α)=−3，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的值是( )
A. 1
B. 3
5
C. 5
3
D. −1
7.
已知实数1，m ，9成等比数列，则双曲线
x 2m
+y 2=1的离心率为( )
A. 2√33
B. 2
C. 2√3
3
或2 D. 2√3
3
或√2 8.
f(x)=3−2|x|，g(x)=x 2−2x ，F(x)={g(x),当f(x)≥g(x)时
f(x),当f(x)<g(x)时
，则F(x)的最值是( )
A. 最大值为3，最小值−1
B. 最大值为7−2√7，无最小值
C. 最大值为3，无最小值
D. 既无最大值，也无最小值
9.
设P 是双曲线C ：x 2
a 2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)右支上的任意一点，已知A(a,b)，B(a,−b)，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =
λOA
⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则λ2+μ2的最小值为( ) A. 1
4ab
B. 1
4
C. 1
2ab
D. 1
2
10. 已知集合A ={x|x 2−4x −5<0}，B ={−1,0，1，2，3，5}，则A ∩B =( )
A. {−1,0}
B. {−1,0，1}
C. {0,1，2}
D. {0,1，2，3}
11. 已知数据x 1，x 2，…，x 2020的方差为4，若y i =2x i (i =1,2，…，2020)，则新数据y 1，y 2，…，
y 2020的方差为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
12. 已知实数x 、y 、z 满足x 2+2y 2+3z 2=4，设T =xy +yz ，则T 的取值范围是( )
A. [−√63,√6
3
]
B. [−√66,2√6
3
]
C. [−√63,√3
3
]
D. [−2√63,2√6
3
]
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若不等式组{x +y −2≤0
x +2y −2≥0x −y +2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于4
3，则m 的值为______ ．
14. 若三角形的三个内角A ：B ：C =1：2：3，则这个三角形三边a ：b ：c =______． 15. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，满足a 1=2，a 7=4a 5，设b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+
log 2a n ，则数列{1
b n
}的前2019项和S 2019______．
16. 某汽车4S 店销售甲品牌A 型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据
统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：
已知A 型汽车的销售量y 与价格x 符合线性回归方程：y ̂=b x ̂+80，若A 型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 己知a ⃗ =(cosα,sinα),b ⃗ =(sinβ,cosβ),|a ⃗ −b ⃗ |=
2√5
5
． (1)求sin(α+β)的值；
(2)若0<α<π2,−π2<β<0,cosβ=12
13，求sinα的值．
18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量m
⃗⃗⃗ =(cosA,cosB)，n ⃗ =(2c +b,a)，且m
⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (Ⅰ) 求角A 的大小；
(Ⅱ) 若a =4√3，求△ABC 面积的最大值．
19. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄
录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y
̂=bx +a ； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问(2)中所得线性回归方程是否理想？ 参考公式：b =i n i=1i −nxy
∑x 2n −n(x)
2=
n i=1i −x)(y i −y)
∑(n x −x)
2，a =y −bx ．
20. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 5=15，数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1=1
2，
2nb n+1=(n +1)b n (n ∈N ∗).
(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和为T n ；
(3)记集合A ={n|2S n (2−T n )≥λ(n +2),n ∈N ∗}，若集合A 中有且仅有5个元素，求实数λ的取值
范围．
21. 某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况
的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在
170～175cm的男生人数有16人．
(I)试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
(II)根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大(百分几)的把握认为“身高与性别有关”？
≥170cm<170cm总计
男生身高
女生身高
总计
(Ⅲ)在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
P(K2≥k0)0.0100.0050.001
k0 6.6357.87910.828
,n=a+b+c+d
参考公式：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
22. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+c．
(Ⅰ)求c的值并求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若b n=S n+2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：因为向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(3,6)，且a⃗⊥b⃗ ，
所以可得3x+6=0，
∴x=−2，
故选B．
因为向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(3,6)，且a⃗⊥b⃗ ，所以根据向量垂直的坐标表示可得方程，进而解方程即可得到答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握利用向量的坐标表示解决向量的夹角、求模、共线与垂直等问题，并且加以正确的计算．
2.答案：A
解析：解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出x、y、z中最大的数；
∵x=ln2，
<ln2，
y=log32=ln2
ln3
，
且log32>log3√3=1
2
z=lg√10=1
，
2
∴x>y>z；
∴输出的结果为x．
故选：A．
分析程序的运行知该程序运行后输出x、y、z中最大的数，比较x、y与z的大小即可．
本题考查了程序语言的应用问题，也考查了函数值大小比较问题，是基础题．
3.答案：A
解析：解：由|m−1|⊗m=|m−1|可得：|m−1|≤m，
∴m≥0，两边平方得：m2−2m+1≥m2，
．
即：m≥1
2
故选A
由题意知，|m−1|⊗m的结果是取|m−1|和m中的较小者，故得到|m−1|和m的不等关系，最后解此绝对值不等式即得m的取值范围．
本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，解题的关键是准确理解已知的定义，把所给的式子转化为不等式进行求解
4.答案：D
解析：
本题考查简单随机抽样，理解分层抽样的特点是解题的关键，属于基础题．
根据随机调查的学生总数，以及能说出两种发明的人数和能说出3种及以上的人数，可得出只能说出一种或一种也说不出的人数，再按照比例计算即可．
解：在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100−45−32=23人，
设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，
则100
23=500
x
，解得x=115人，
故选：D．
5.答案：A
解析：解：在△ABC中，∵a=4√2，b=4，A=45°，
∴由正弦定理可得：sinB=bsinA
a =4×
√2
2
4√2
=1
2
，
又∵a>b，B为锐角，
∴B=30°．
故选：A．
由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合大边对大角可得B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可解得．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6.答案：B
解析：
本题考查了平面向量数量积的性质及运算、构造齐次式求解，属简单题．
由两角和的正切公式得1+tanα
1−tanα
=−3，所以：tanα=2，由数量积公式及构造齐次式得sin2α+(sinα−
1)(sinα+1)=sin2α−cos2α=2sinαcosα−cos2α
sin2α+cos2α=2tanα−1
tan2α+1
，代入可求解．
解：由tan(π
4+α)=−3，求得1+tanα
1−tanα
=−3，所以：tanα=2，
a⃗⋅b⃗ =sin2α+(sinα−1)(sinα+1)=sin2α−cos2α=2sinαcosα−cos2α
sin2α+cos2α=2tanα−1
tan2α+1
=3
5
，
故选B ．
7.答案：B
解析：解：实数1，m ，9成等比数列可得m 2=1×9，所以m =±3， 由双曲线的方程可知m =−3， 所以双曲线的方程为y 2−
x 23
=1，所以a 2=1，b 2=3，
所以c 2=a 2+b 2=1+3=4，即c =2， 所以离心率e =c
a =2， 故选：B ．
由等比数列可得m 的值，再由双曲线的方程可得a ，b 的值，由a ，b ，c 的关系求出c 的值，进而求出离心率的值．
本题考查等比数列的性质及双曲线的性质，属于基础题．
8.答案：B
解析：
本题以含有绝对值的函数和分段函数为载体，考查了函数的值域与最值的求法、基本初等函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．
将函数f(x)化简，去掉绝对值后，分别解不等式f(x)≥g(x)和f(x)<g(x)，得到相应的x 的取值范围，最后得到函数F(x)在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F(x)在R 上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值． 解：f(x)=3−2|x|={3−2x (x ≥0)
3+2x (x <0)
，
①当x ≥0时，解f(x)≥g(x)，得3−2x ≥x 2−2x ⇒0≤x ≤√3； 解f(x)<g(x)，得3−2x <x 2−2x ⇒x >√3．
②当x <0，解f(x)≥g(x)，得3+2x ≥x 2−2x ⇒2−√7≤x <0； 解f(x)<g(x)，得3+2x <x 2−2x ⇒x <2−√7； 综上所述，得F(x)= {3+2x (x <2−√7)
x 2−2x (2−√7≤x ≤√3) 3−2x (x >√3)，
分三种情况讨论：
①当x <2−√7时，函数为y =3+2x ，在区间(−∞,2−√7)是单调增函数，故F (x)<F(2−√7)=7−2√7；
②当2−√7≤x ≤√3时，函数为y =x 2−2x ，在(2−√7,1)是单调递减函数，在(1,√3)是单调递增函数，
故−1≤F(x)≤7−2√7；
③当x >√3时，
函数为y =3−2x ，在区间(√3,+∞)是单调减函数，故F (x)<F(√3)=3−2√3<0； ∴函数F(x)的值域为(−∞,7−2√7]，可得函数F(x)最大值为F(2−√7)=7−2√7，没有最小值． 故选B ．
9.答案：D
解析：解：由题意，设P(x,y)，则 ∵OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =(λ+μ)a ，y =(λ−μ)b ∵P 为双曲线C 右支上的任意一点， ∴(λ+μ)2−(λ−μ)2=1 ∴4λμ=1 ∴λ2+μ2≥2λμ=1
2 ∴λ2+μ2的最小值为12． 故选：D ．
确定A ，B 的坐标，根据OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．
本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
10.答案：D
解析：解：∵A ={x|−1<x <5}，B ={−1,0，1，2，3，5}， ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：D ．
可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
11.答案：D
解析：解：根据题意，样本数据x 1，x 2，…，x 2020的方差为4， y i =2x i (i =1,2，⋅⋅⋅，2020)，
所以y 1，y 2，…，y 2020的方差为
D(Y)=D(2x)=22×D(X)=4×4=16． 故选：D ．
根据样本数据x 1，x 2，…，x 2020的方差，求出y i =2x i (i =1,2，⋅⋅⋅，2020)的方差为D(Y)=D(2x)的值．
本题考查了根据一组数据的方差计算另一组数据的方差问题，是基础题．
12.答案：D
解析：解：由题意，4=x 2+3
2y 2+1
2y 2+3z 2≥√6|xy +yz|， ∴|xy +yz|≤
2√6
3
， ∴T =xy +yz 的取值范围是[−2√63,2√6
3]. 故选D ．
由题意，4=x 2+32y 2+1
2y 2+3z 2≥√6|xy +yz|，即可求出T 的取值范围 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确变形是关键．
13.答案：1
解析：解：作出不等式组{x +y −2≤0
x +2y −2≥0x −y +2m ≥0对应的平面区域，
如图中阴影部分所示：
由题意，不等式组表示的平面区域为三角形， 由{x +y −2=0x +2y −2=0，得{x =2y =0，即A(2,0)，
则A(2,0)在直线x −y +2m =0的下方， 即2+2m >0， 则m >−1，
则A(2,0)，D(−2m,0)，
由{x −y +2m =0x +y −2=0{x −y +2m =0x +y −2=0，解得{x =1−m y =1+m ，即B(1−m,1+m)，
由{x −y +2m =0x +2y −2=0，解得{x =2−4m
3y =2+2m 3，即C(2−4m 3,2+2m 3). 则三角形ABC 的面积S △ABC =S △ADB −S △ADC
=1
2
|AD||y B−y C|
=1
2
(2+2m)(1+m−
2+2m
3
)
=(1+m)(1+m−2+2m
3)=4
3
，
即(1+m)×1+m
3=4
3
，
即(1+m)2=4
解得m=1或m=−3(舍)．
作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
14.答案：1：√3：2
解析：解：由于A：B：C=1：2：3，
由三角形内角和定理可得A=30°，B=60°，C=90°
因此，Rt△ABC中，sinA=a
c =1
2
，cosA=b
c
=√3
2
，
由此可得a：b：c=1：√3：2
故答案为：1：√3：2．
由三角形内角和定理，可得三个内角分别为30°、60°、90°，可得此三角形为含有30°的直角三角形，利用三角函数的定义即可算出此三角形的三边之比．
本题给出三角形的三个内角之比，求它的三条边的比．着重考查了三角形内角和定理、直角三角形的三角函数定义等知识，属于基础题．
15.答案：2019
1010
解析：
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设等比数列{a n}的公比为q>0，根据a1=2，a7=4a5，可得q2=4，解得q.利用通项公式、对数运算性质可得b n，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出．
解：设等比数列{a n}的公比为q>0，
∵a1=2，a7=4a5，
∴q2=4，解得q=2．
∴a n =2n ，log 2a n =n ．
∴b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n =1+2+⋯…+(n −1)+n =n(n+1)2
．
∴
1b n
=2(1n −
1
n+1
)．
则数列{1
b n
}的前2019项和S 2019=2(1−1
2+1
2−1
3+⋯…+1
2019−1
2019+1)
=2(1−12020)=2019
1010． 故答案为2019
1010．
16.答案：42
解析：
本题考查线性回归方程的运用，考查计算能力，是基础题．
由已知求得x,y ，代入线性回归方程求得b ，得到线性回归方程，取x =19求得y 值得答案． 解：由图表可得，x =25+23.5+22+20.5
4
=22.75，
y =
30+33+36+39
4
=34.5．
代入线性回归方程y
̂=b x ̂+80，得b =−2． ∴y
̂=−2x ̂+80，当x =19时，y =42． ∴预测它的销售量大约是42辆． 故答案为：42．
17.答案：解：(1)由a ⃗ =(cosα,sinα),b ⃗ =(sinβ,cosβ),|a ⃗ −b ⃗ |=2√5
5
， 得√(cosα−sinβ)2+(sinα−cosβ)2=
2√5
5
， ∴cos 2α+sin 2β+sin 2α+cos 2β−2cosαsinβ−2sinαcosβ=4
5．
∴−2(cosαsinβ+sinαcosβ)=−6
5，即sin(α+β)=3
5；
(2)∵0<α<π
2，−π
2<β<0，
∴−π
2<α+β<π2， 又sin(α+β)=3
5， ∴cos(α+β)=45．
∵cosβ=12
13，−π
2
<β<0，
∴sinβ=−5
13
．
∴sinα=sin[(α+β)−β]
=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ
=3
5×12
13
−4
5
×(−5
13
)=56
65
．
解析：本题考查向量模的求法，考查三角函数的恒等变换应用，考查计算能力，是中档题．
(1)利用向量模的公式结合同角三角函数的基本关系式即可求得sin(α+β)；
(2)由已知α，β的范围得到α+β的范围，求得sin(α+β)，再由已知求得sinβ=−5
13
，利用sinα= sin[(α+β)−β]，展开两角差的正弦求解．
18.答案：解：(Ⅰ)∵向量m⃗⃗⃗ =(cosA,cosB)，n⃗=(2c+b,a)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，
∴cosA(2c+b)+acosB=0，
∴由正弦定理可得：2sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA+sin(A+B)=2sinCcosA+ sinC=0，
∵C∈(0,π)，sinC≠0，可得：cosA=−1
2
，
∴由A∈(0,π)，可得：A=2π
3
．
(Ⅱ)∵A=2π
3
，a=4√3，
∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：48=b2+c2+bc≥3bc，即：bc≤16，(当且仅当b= c=4时等号成立)
∴S△ABC=1
2bcsinA≤1
2
×16×√3
2
=4√3，(当且仅当b=c=4时等号成立)，
∴△ABC面积的最大值为4√3．
解析：(Ⅰ)根据m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，化简得到2sinCcosA+sinC=0，由sinC≠0可得cos A，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．
(Ⅱ)利用余弦定理，基本不等式可求bc≤16，利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
19.答案：解：(1)设柚到相邻两个月的教据为事件A.因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，
每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以P(A)=5
15=1
3
．
(2)由教据求得x =11,y =24，由公式求得b =18
7
，再由a =y −bx =−30
7． 所以y 关于x 的线性回归方程为y ̂=187
x −
307
．
(3)当x =10时，y
̂=1507
,|
1507
−22|<2；同样，当x =6时，y ̂=787
,|
787
−12|<2，
所以该小组所得线性回归方程是理想的．
解析：(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C 62
种情况，
满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果． (2)根据所给的数据，求出x ，y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b ，把b 和x ，y 的平均数，代入求a 的公式，做出a 的值，写出线性回归方程．
(3)根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y 的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
本题考查线性回归方程的求法，考查了线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于中档题．
20.答案：解：(1)由等差数列性质可知，S 5=5a 3=15，即a 3=3，由d =a 3−a 2=1，
∴a n =a 2+(n −2)d =n ，…(2分) ∴S n =n 2+n 2
.…(4分)
(2)由
b n+1b n
=12
⋅
n+1n
得b 2b 1
=12⋅21,b 3b 2
=12⋅32,b 4
b 3
=12⋅4
3,…,b n
b
n−1
=12
⋅
n
n−1
，
∴当n ≥2时，b n
b 1
=(12)n−1n ，即b n =n
2n ，
当n =1时，b 1=1
2，适合上式， ∴b n =n
2n .…(6分) T n =1
21+2
22+3
23+⋯+n
2n ， ①1
2T n =1
22+2
23+3
24+⋯+
n−12n +n
2n+1，②
①−②得，1
2T n =1
21+1
22+2
23+3
24+⋯+1
2n −n
2n+1=12(1−12
n )1−12
−
n 2n+1
=1−
n+22n+1
，
∴T n =2−
n+22n
.…(10分)
(3)∵A ={n|2S n (2−T n )≥λ(n +2),n ∈N ∗}={n|2S n (2−T n )n+2
≥λ,n ∈N ∗}…(11分)
由上面得
2S n (2−T n )n+2
=
n 2+n 2n
，令f(n)=
n 2+n 2n
，
∵f(n +1)−f(n)=
(n+1)2+n+1
2n+1
−
n 2+n 2n
=
(n+1)(2−n)
2n+1
，
∴当n ≥3时，f(n +1)−f(n)<0，即f(n +1)<f(n)…(12分)
又f(1)=1，f(3
2)=3
2，f(3)=3
2，f(4)=5
4，f(5)=15
16，f(6)=21
32…(14分) ∵集合A 中有且仅有5个元素， ∴
n 2+n 2n ≥λ，n ∈N ∗解的个数为5，
∴21
32<λ≤15
16.…(16分)
解析：(1)由等差数列的性质S 5=5a 3=15，求得a 3=3，由d =a 3−a 2=1，a n =a 2+(n −2)d =n ，根据等差数列前n 项和公式即可求得S n ； (2)
b n+1b n
=12
⋅
n+1
n
，采用“累乘法”即可求得b n =n
2n ，“错位相减法”即可求得前n 项和为T n ；
(3)由集合A 可知：A ={n|2S n (2−T n )n+2
≥λ,n ∈N ∗}，令f(n)=
n 2+n 2n
，利用函数的单调性建立不等进行
求解，实数λ的取值范围．
本题考查等差数列的性质，等差数列前n 项和公式，考查“累乘法”及“错位相减法”的应用，考查数列与不等式相结合，考查计算能力，属于难题．
21.答案：解：(Ⅰ)直方图中，因为身高在170～175cm 的男生的频率为0.08×5=0.4，
设男生数为n 1，则0.4=16
n 1
，得n 1=40．
由男生的人数为40，得女生的人数为80−40=40．
(Ⅱ)男生身高≥170cm 的人数=(0.08+0.04+0.02+0.01)×5×40=30， 女生身高≥170cm 的人数为0.02×5×40=4， 所以可得到下列列联表：
K 2
=
80×(30×36−10×4)2
40×40×34×46
≈34.58>10.828，所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；
(Ⅲ)在170～175cm 之间的男生有16人，女生人数有4人，按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人．
设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B ．
从5人任选3名有：(A1,A2,A3)，(A1,A2,A4)，(A1,A2,B)，(A1,A3,A4)，(A1,A3,B)，(A1,A4,B)，(A2,A3,A4)，(A2,A3,B)，(A2,A4,B)，(A3,A4,B)，共10种可能，
3人中恰好有一名女生有：(A1,A2,B)，(A1,A3,B)，(A1,A4,B)，(A2,A3,B)，(A2,A4,B)，(A3,A4,B)，共6种可能，
故所求概率为6
10=3
5
．
解析：(Ⅰ)直方图中，求出身高在170～175cm的男生的频率，利用身高在170～175cm的男生人数有16人，可求男生数、女生的人数．
(Ⅱ)男生身高≥170cm的人数=(0.08+0.04+0.02+0.01)×5×40=30，女生身高≥170cm的人数为0.02×5×40=4，
从而可得列联表，利用公式，求得K2=80×(30×36−10×4)2
40×40×34×46
≈34.58>10.828，即可得到结论；(Ⅲ)在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有4人，按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人．
利用列举法确定从5人任选3名的所有可能，3人中恰好有一名女生的所有可能，即可求得概率．本题考查统计知识，考查独立性检验，考查古典概型，解题的关键是读懂直方图，正确计算基本事件的个数．
22.答案：解：(Ⅰ)由S n=2n+c得，
当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，…(2分)
当n=1时，S1=21+c=2+c=a1，
∵数列{a n}为等比数列，
∴a2
a1=2
2+c
=a3
a2
=2…(4分)
解得c=−1，则a1=1…(5分)
∴数列{a n}的通项公式：a n=2n−1…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n=2n−1，∴b n=S n+2n+1=2n+2n…(8分)则T n=(21+22+23+⋯+2n)+2(1+2+3+⋯+n)…(9分)
=2(1−2n)
1−2+2×n(1+n)
2
=2n+1−2+n(n+1)
=2n+1+n2+n−2…(12分)
解析：(Ⅰ)由已知令n=1可求a1，利用n≥2时，a n=s n−s n−1，再由等比数列的定义求出c，则求出首项，再求出数列{a n}的通项公式a n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)和b n=S n+2n+1求出b n，再由分组求和法和等比(等差)数列的前n项和公式，求出数列{b n}的前n项和T n．
本题考查等比数列的定义、通项公式，等比(等差)数列的前n项和公式，以及分组求和法，属于中档题．。