人教版八年级上册 第十二章 全等三角形的性质与判定(word版,有答案)

全等三角形的性质与判定
一、选择题
1. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2.5
2. 如图所示，ΔABC≌ΔBAD，点A与点B、点C与点D是对应点，如果∠DAB=50∘，
∠DBA=40∘，那么∠DAC的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 10°
D. 5°
3. 如图，AB与CD相交于点E，EA=EC，DE=BE，若使△AED≌△CEB，则 ( )
A. 应补充条件∠A=∠C
B. 应补充条件∠B=∠D
C. 不用补充条件
D. 以上说法都不正确
4. 如图，AC⊥BE于C，DF⊥BC于F，且BC=EF，如果添上一个条件后，可以直接用“HL”来证明RtΔABC≌RtΔDEF，这个条件应该是( )
A. AC= DE
B. AB=DE
C. ∠B=∠E
D. ∠D=∠A
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使
∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为( )
A. BD=CE
B. AD=AE
C. DA=DE
D. BE=CD
6. 如图所示，已知：BD=CE，AB=FD，B，D，C，E共线，选取下列条件中的一个条件，能使△ABC≌△FDE的条件有 ( )
①AB∥DF；②AC∥EF；
③∠A=∠F；④∠A=∠F=90°.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 如图，下面四个条件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′.从中任取三个作为条件，另外一个作为结论，最多可以构成正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 如图，在ΔABC中，CA⊥DB，A为垂足，BF⊥CD，F为垂足，AB=AC，DB=7，DA=2，CA，BF交于E，则EC的长是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断ΔABC≌ΔDEF的是( )
A. AB=DE
B. ∠B=∠E
C. EF=BC
D. EF∥BC
10. 如图所示，在ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，则图中的全等三角形共有( )
A. 5对
B. 4对
C. 3对
D. 2对
11. 在如图所示的图形中，能全等的三角形是( )
A. (1)和(6)
B. (2)和(4)，(3)和(5)
C. (3)和(5)
D. (2)和(4)
12. 如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若
AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于 ( )
∠AFB D. 2∠ABF
A. ∠EDB
B. ∠BED
C. 1
2
二、填空题
13. 如图，△ABC与△BAD全等，可表示为____，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是____，其余的对应边是____.
14. 如图，已知AB=BE，∠1=∠2，∠ADE=120∘，AE，BD相交于点F，则∠3的度数
为 .
15. 如图所示，ΔPAC≌ΔPBD，∠A=45∘，∠BPD=20∘,则∠PCD的度数为 .
16. 如图，AB=AC，要使ΔABE≌ΔACD，应添加的条件可以是 (添加一个条件即可).
17. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____.(只需写出一个)
18. 如图，∠1=∠2，要使ΔABE≌ΔACE，还需要添加的一个条件是____.(只需添加一个条件)
19. 如图，已知∠ABC=∠DCB，现要说明△ABC≌△DCB，则还要添加的一个条件是____(写出一个即可).
20. 等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若ΔABC≌ΔA′B′C′，则在ΔA′B′C′中，A′B′的长等于 .
21. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是____.
三、解答题
22. 如图所示，ΔEFG≌ΔNMH，在ΔEFG中，FG是最长的边，在ΔNMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，且EF=2.4cm，FH=1.9cm，HM=3.5cm.
(1)写出对应相等的边及对应相等的角；
(2)求线段NM及线段HG的长度.
23. 如图所示，已知ΔABE≌ΔACD.
(1)∠BAD与∠CAE有何关系？请说明理由；
(2)BD与CE相等吗？为什么？
24.如图所示，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由.
25. 如图，已知AB=DC，DB=AC.
(1)求证：∠ABD=∠DCA(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据)；
(2)在第1问的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么?
25.如图，已知点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求证：BC=ED.
26.如图，点B,C,D,F在同一直线上，已知AB=EC，AD=FE，BC=DF，探索AB与EC的位置关系，并说明理由.
四、证明题
27.如图所示，已知AB=AD，BC=DC.求证：∠BAC=∠DAC.
28.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.
29.如图，AB=AC，点E,F分别是AB,AC的中点.求证：△AFB≌△AEC.
30.已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.
求证：ΔACD≌ΔCBE.
31.如图，已知BC,EF交于O点，AB∥CD,OA=OD,AE=DF.求证：BE∥CF.
32.已知：如图，∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证：AB=AC,AD=AE.
33.如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：AD=CF.
34.如图所示，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点F.求
证：∠BAF=∠CAF.
35.如图，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为G，F，且AG=AF.试证明:线段AD与AE相等.
36.如图，已知∠ACB=90°,AC=BC,AE=CF,AD=DB，求证：DE⊥DF.
37.如图，已知C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED.求证：AC=CD.
38.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，△ACE和△BCF分别是以AC,BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE,DF.求证：DE=DF.
参考答案
1. 【答案】B【解析】因为△ABE≌△ACF，所以AB=AC.因为AB=5，所以AC=5，因为
AC=AE+EC，AE=2，所以EC=AC-AE=3，故选B.
2. 【答案】C【解析】∠DAC=∠DAB−∠BAC，根据全等三角形的对应角相等，得
∠BAC=∠ABD=40∘，所以∠DAC=10∘.
3. 【答案】C【解析】在△AED与△CEB中，∠AED与∠CEB是对顶角，即
∠AED=∠CEB,∵EA=EC，∠AED=∠CEB，DE=BE，∴△AED≌△CEB(SAS),∴不用补充条件即可证明△AED≌△CEB,故选C.
4. 【答案】B【解析】已知一组直角边对应相等，如果添上斜边相等，即可用“HL”证明两直角三角形全等，AB,DE分别为Rt△ABC、Rt△DEF的斜边，故选B.
5. 【答案】C【解析】选项A：添加选项A中条件BD=CE，可根据SAS判定
△ABD≌△ACE，得到∠DAB=∠EAC；
选项B：条件AD=AE，可得∠ADB=∠AEC，可根据AAS判定△ABD≌△ACE，得到
∠DAB=∠EAC；
选项D：条件BE=CD，可推出BD=CE，同选项A，可得∠DAB=∠EAC，故选C.
6. 【答案】B【解析】条件①：AB∥DF,所以∠B=∠FDE，根据SAS可判定两三角形全等；条件②：AC∥EF，所以∠ACB=∠E，条件为SSA不能判定全等；条件③∠A=∠F与条件②相同；条件④，可根据HL判定两三角形全等，故选B.
7. 【答案】B【解析】①②③作为条件，可得结论④；①②④作为条件，可得结论③.
8. 【答案】C【解析】易知∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD=90∘，
∴ΔBAE≌ΔCAD，∴AE=AD=2.∵DB=7，∴AB=5.又∵AB=AC，∴AC=5，
∴CE=AC−AE=5−2=3.
9. 【答案】C【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D.AB=DE，则△ABC和△DEF
中，{AB=DE,
∠A=∠D,
AC=DF,
，∴ΔABC≌ΔDEF，故A选项不符合题意；∠B=∠E，则ΔABC和ΔDEF
中，{∠B=∠E,
∠A=∠D,
AC=DF,
，∴ΔABC≌ΔDEF，故B选项不符合题意；EF=BC，无法证明ΔABC≅ΔDEF，故C选项符合题意；∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则ΔABC和ΔDEF
中，{∠B=∠E,
∠A=∠D,
AC=DF,
，∴ΔABC≌ΔDEF，故D选项不符合题意.
10. 【答案】A【解析】ΔADB≌ΔADC，ΔAGE≌ΔAGF，ΔADE≌ΔADF，ΔBDE≌
ΔCDF，ΔDEG≌ΔDFG.
11. 【答案】D【解析】由“ASA”可判定图(2)和图(4)全等，故选D.
12. 【答案】C【解析】在△ABC和△DEB中，
AC=BD，AB=ED，BC=BE，
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠ACB=∠EBD，
∵∠AFB是△BFC的外
角，∴∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB，∴∠ACB=1
2
∠AFB，故选C.
13. 【答案】△ABC≌△BAD；∠ABC与∠BAD，∠BAC与∠ABD；BC与AD，AB与BA 【解析】用全等符号表示三角形全等时，对应的顶点要写在对应的位置，能够重合的角是对应角，能够重合的边是对应边.也可以运用图形变换的方式进行对应，此题属于翻折变换.
14. 【答案】30°
【解析】由题意知ΔABD≌ΔEBD，则AD=ED，∴∠3=∠4=1
2
×(180∘−120∘)=30∘.
15. 【答案】65°
【解析】ΔPAC≌ΔPBD，根据全等三角形对应角相等得，∠APC=∠BPD=20∘，所以
∠PCD=∠A+∠APC=45∘+20∘=65∘.
16. 【答案】∠B=∠C(答案不唯一)
【解析】∵AB=AC，∠A是公共角，∴要使ΔABE≌ΔACD，添加的条件可以是∠B=∠C 或者∠AEB=∠ADC或者AE=AD，但不能是BE=CD.
17. 【答案】CA=FD(答案不唯一)
【解析】因为∠1=∠2，BC=EF，故考虑添加一组对应角根据AAS，ASA判定全等，或添
加一组对应边根据SAS判定全等，如添加CA=FD，可利用SAS判定△ABC≌△DEF.
18.【答案】∠BAE=∠CAE或∠B=∠C或BE=CE
【解析】因为∠1=∠2，所以∠AEB=∠AEC.又因为AE=AE，所以要使ΔABE≌ΔACE，
需添加∠BAE=∠CAE或∠B=∠C或BE=CE之一即可.
19. 【答案】∠A=∠D(答案不唯一)
【解析】根据图形可知：已知条件为∠ABC=∠DCB，隐含条件为BC=CB，所以添加一组角
对应相等或添加一组邻边(AB=CD)对应相等都可以说明两个三角形全等.
20. 【答案】2cm或5cm或8cm
【解析】需要分情况讨论，①当BC为底边时，AB=5cm，则A′B′=5cm；②当BC为腰时，另外两边长分别为8cm和2cm，所以AB的长等于8cm或2cm，即A′B′的长等于8cm或2cm.
21.【答案】50°
【解析】在△EBD和△DCF中，{BE=CD,
∠B=∠C,
BD=CF,
∴△EBD≌△DCF(SAS).
∴∠DEB=∠FDC，∠EDB=∠DFC.
在△BDE中，因为∠B=50°，所以∠DEB+∠EDB=180°-50°=130°，
∴∠EDB+∠FDC=130°，
∴∠EDF=180°-(∠EDB+∠FDC)= 180°-130°=50°.
22.【答案】
(1) 对应相等的边有FG=MH，EF=NM，EG=NH.
对应相等的角有∠F=∠M，∠E=∠N，∠EGF=∠NHM.
(2) 根据全等三角形的性质，得
MN=EF=2.4cm，HG=FG−FH=HM−FH=3.5−1.9=1.6(cm).
23.【答案】
(1) 相等，理由如下：∵ΔABE≌ΔACD,∴∠BAE=∠CAD.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. (2) 相等.∵ΔABE≌ΔACD,∴BE=CD,∴BD+DE=CE+ED,∴BD=CE.
24. 【答案】可添加条件BC =EF 或∠A =∠D 或∠B =∠E .
若添加条件BC =EF 使得△ABC ≌△DEF ，证明如下：
∵AF =DC ，∴AF +FC =DC +FC ，即AC =DF .
∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE .
在△ABC 和△DEF 中，{AC =DF,
∠ACB =∠DFE,BC =EF,
∴△ABC ≌△DEF (SAS).
25.【答案】
(1) 连接AD.
∵AB =DC (已知)，DB =AC (已知)，AD =AD (公共边)，
∴△ABD ≌△DCA (SSS),∴∠ABD =∠DCA (全等三角形的对应角相等).
(2) 作辅助线的目的：构造全等三角形.
26. 【答案】
∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠ECD.
在△ABC 与△CED 中，{AB =CE,
∠BAC =∠ECD,AC =CD,
∴△ABC ≌△CED (SAS)，
∴BC =ED (全等三角形的对应边相等).
27. 【答案】AB 与EC 的位置关系是AB ∥EC.
理由：∵BC =DF ，∴BC +CD =DF +CD ，即BD =CF .
在△ABD 和△ECF 中，{AB =EC,
AD =EF,BD =CF,
∴△ABD ≌△ECF (SSS).
∴∠B =∠ECF (全等三角形的对应角相等).
∴AB ∥EC (同位角相等，两直线平行).
28. 【答案】在△ABC 和△ADC 中，{AB =AD,
BC =DC,AC =AC,
∴△ABC ≌△ADC (SSS)，
∴∠BAC =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
29. 【答案】
∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ，即∠BAC =∠EAD .
在△BAC 与△EAD 中，{∠B =∠E,
AB =AE,∠BAC =∠EAD,
∴△BAC ≌△EAD (ASA)，∴BC =ED (全等三角形的对应边相等).
30. 【答案】
∵点E ,F 分别是AB ,AC 的中点，
∴AE =12AB ,AF =12
AC ，
又∵AB =AC ，∴AE =AF ，
在△AFB 和△AEC 中，
{AF =AE,
∠A =∠A,AB =AC,
∴△AFB ≌△AEC (SAS).
31. 【答案】
∵C 是AB 的中点(已知)，
∴AC =CB (线段中点的定义).
∵CD ∥BE (已知)，
∴∠ACD =∠B (两直线平行，同位角相等).
在ΔACD 和ΔCBE 中，
{AC =CB,
∠ACD =∠CBE,CD =BE,
∴ΔACD ≌ΔCBE.
32. 【答案】
∵AB ∥CD,∴∠3=∠4，
在ΔCOD 和ΔBOA 中，∵{∠1=∠2,
OA =OD,∠3=∠4,
∴ΔCOD ≌ΔBOA(ASA),∴OC =OB .
∵OA =OD,AE =DF,∴OE =OF .
在ΔCOF 和ΔBOE 中，∵{OF =OE,
∠1=∠2,OC =OB,
∴ΔCOF ≌ΔBOE(SAS),∴∠E =∠F,∴BE ∥CF .
33. 【答案】
∵∠BAC =∠DAE ，
∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC ，即∠BAD =∠CAE .
在ΔBAD 和ΔCAE 中，∵{∠BAD =∠CAE,
∠ABD =∠ACE,BD =CE,
∴ΔBAD ≌ΔCAE(AAS)，
∴AB =AC,AD =AE .
34. 【答案】
∵E 是AC 的中点，∴AE =CE .
∵CF ∥AB ，∴∠A =∠ECF ，
在△ADE 与△CFE 中，{∠A =∠ACF
AE =CE ∠AED =∠CEF
,
∴△ADE ≌△CFE (ASA)，
∴AD =CF .
35. 【答案】
∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，
∴∠ADB =∠AEC =90°.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠BAD =∠CAE ，∠ADB =∠AEC ，AB =AC ，
∴Rt △ABD ≌Rt △ACE (AAS)，
∴AD =AE .(全等三角形的对应边相等).
在Rt △AEF 和Rt △ADF 中，
AE =AD ,AF =AF ，
∴Rt △AEF ≌Rt △ADF (HL)，
∴∠BAF =∠CAF (全等三角形的对应角相等).
36. 【答案】
因为AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，所以∠AGB =∠AFC =90°.
在Rt △ABG 和Rt △ACF 中，AB =AC ，AG =AF ，
所以RtΔABG ≌RtΔACF(HL)，所以∠BAG =∠CAF .
所以∠BAG −∠FAG =∠CAF −∠FAG ，即∠EAF =∠DAG .
又因为AF =AG ， ∠AFE =∠AGD =90°，所以RtΔAFE ≌RtΔAGD ， 所以AE =AD .
37. 【答案】如图，连接CD ，
在ΔACD 与ΔBCD 中，∵{AC =BC,
AD =DB,CD =CD,
∴ΔACD ≌ΔBCD(SSS)，
∴∠ADC =∠BDC =90°,∠1=∠2.
∵∠ACB=90°,∴∠1=∠2=45°，∴∠A=∠1=45°，∴AD=CD.
在ΔADE和ΔCDF中，∵{AE=CF,
∠A=∠2,
AD=CD,
∴∠3=∠5.∵∠3+∠4=90°，∴∠5+∠4=90°，
∴DE⊥DF.
38. 【答案】
∵AB∥ED，∴∠B=∠E(两直线平行，内错角相等).
在△ABC和△CED中，{AB=CE,
∠B=∠E,
BC=ED,
∴△ABC≌△CED(SAS).
∴AC=CD(全等三角形的对应边相等).
39. 【答案】证明:分别取AC,BC的中点M,N，连接MD,ND,EM,FN,
∵D为AB的中点，∴DM=1
2BC，DM∥BC，DN=1
2
AC，DN∥AC，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD=∠CND.
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，即∠EMD=∠FND，
∵∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=DN=1
2AC，FN=MD=1
2
BC，
∴△EMD≌△DNF.∴DE=DF.。