新疆昌吉市教育共同体高二下学期期中考试数学(理)试题

新疆昌吉市教育共同体【最新】高二下学期期中考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设函数()f x 可导，则()()011lim
x f x f x ∆→+∆-∆等于（ ） A ．()1f ' B ．()31f ' C ．()113f ' D ．()3f ' 2．若复数(1)(1)i ai ++（,a R i ∈是虚数单位）是纯虚数，则a =（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
3．现有4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（ ）
A ．27
B ．54
C ．108
D ．144 4．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③
B ．②③①
C ．①②③
D ．③①② 5．()3204x dx -=⎰（ ）
A ．-5
B ．-3
C ．3
D ．5 6．曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭处的切线的倾斜角为（ ） A ．135︒-
B ．45°
C ．45︒-
D ．135° 7．如图，阴影区域的边界是直线020y x x ===，，及曲线23y x =，则这个区域的面积是（ ）
A ．8
B ．4
C ．12
D ．13
8．从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（ ）
A ．6
B ．10
C ．16
D ．20
9．函数32()267f x x x =-+在R 上的单调递减区间是（ ）
A ．(],0-∞
B ．[]0,2
C ．[)2,+∞
D ．(],0-∞和[)2,+∞
10．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()cos sin x x '=
B ．()1ln 2x x '=
C ．()333log x x e '=
D ．()
22x x x e xe '= 11．若二次函数2f
x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)f -0=，则不等式()()0f x g x <的解集为
A ．(3,0)(3,)-⋃+∞
B ．(3,0)(0,3)-⋃
C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞
D ．(,3)(0,3)-∞-
二、填空题 13．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点()()
1
1f ，处的切线方程为_______． 14．用反证法证明“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设____________．
15．在复平面内，复数2334i i
-+-所对应的点位于第_______象限 16．设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________.
三、解答题
17．实数m 取什么值时，复数22(56)(215)z m m m m i =+++--
（1）与复数212i -相等
（2）对应的点在x 轴上方.
18．已知函数3()2f x x x =-+，其导函数为()f x '.
（Ⅰ）求()f x 在1x =处的切线l 的方程;
（Ⅱ）求直线l 与()f x '图象围成的图形的面积.
19．已知函数2()1f x ax bx =+-图象上在点(1,3)P -处的切线与直线3y x =-平行， 求（1）函数()f x 的解析式；
（2）求f （x ）的单调递减区间．
20．已知数列112⨯，123⨯，134
⨯，…，1n(n 1)+，…， （1）计算123,,S S S ；
（2）由以上结果推测计算n S 的公式，并用数学归纳法给出证明.
21．已知函数31()443
f x x x =-+． 求：（1)函数的极值；
（2)函数在区间[]3,4-上的最大值和最小值．
22．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-
与1x =时都取得极值． （1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；
（2）若对[]
1,2x ∈，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据导数的定义，直接得出结果.
【详解】
根据导数的定义，有()()011lim
(1)x f x f f x ∆→+∆-'=∆.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的定义，属于基础题.
2．C
【分析】
根据复数的乘法计算，求得结果，再由纯虚数的定义，列出不等式组，求得a 的值.
【详解】 (1)(1)1(1)i ai a a i ++=-++
∴当1010
a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =时，该复数为纯虚数. 故选：C.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，纯虚数的定义，属于基础题.
3．C
【分析】
首先给最左边一个字涂色，有4种结果，再给左边第二个字涂色有3种结果，以此类推第三个字，第四个字分别都有3种结果，根据分步计数原理得到结果.
【详解】
按从左到右的顺序，逐个字涂色，
第一个字有4种结果，
因为相邻字不同色，
故第二个字，第三个字，第四个字各有3种结果，
所以，根据分步计数原理知，共有4333108⨯⨯⨯=种结果.
故选：C.
【点睛】
本题考查分步计数原理的应用，注意涂色的限制条件，属于基础题.
4．D
【分析】
根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.
【详解】
由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：
大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；
小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；
结论：②安梦怡是独生子女，故选D.
【点睛】
本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
5．B
【分析】
先利用导函数的公式求出24x -的原函数，再结合定积分定理进行求解即可.
【详解】
()
332034(4)912303x x dx x -=-=-=-⎰. 故选：B.
【点睛】
本题考查了定积分的简单应用，利用导函数的公式研究原函数，考查运算求解能力，属于基础题.
6．D
【分析】
对函数进行求导得2y x '=-，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角.
【详解】
2122
y x x =-， 2y x '∴=-，
1|121x y ='∴=-=-， 即曲线2122
y x x =
-在点3(1,)2-处切线的斜率为1-， 故曲线2122y x x =-在点3(1,)2-处切线的倾斜角为135︒， 故选：D ．
【点睛】
本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.
7．A
【解析】
试题分析：由题意得，阴影部分的面积可看成函数在
上的定积分的值，即
，故选A.
考点：定积分在求面积中的应用.
8．C
【解析】
试题分析：先选副组长，114416C C =．故选C ． 考点：组合的应用．
9．B
【分析】
先对()f x 求导，再令()0f x '<，即可求出单调递减区间.
【详解】
32()267f x x x =-+，
2()6126(2)f x x x x x '∴=-=-，
令()0f x '<，得02x <<，
()f x ∴的单调递减区间为[0,2].
故选：B.
【点睛】
本题考查了求函数的导函数，运用导数研究函数的单调性，属于中档题.
10．B
【解析】
分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =
⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
11．A
【解析】
分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．
详解：∵函数2f x ax bx c （
）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002b a b a
＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b （），'=+
∴函数f x '（）的图象经过一，三，四象限，
∴选项A 符合，
故选：A ．
点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题． 12．D
【分析】
由题，构造新函数()()()h x f x g x =，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.
【详解】
由题意令()()()h x f x g x =，则当0x <时，()()()()()0h x f x g x f x g x ''+'=>，所以当0x <时，函数()h x 为单调递增函数，又由()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以()h x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x >时，函数()h x 为单调递增函数，且(3)(3)0f f -=-=，当0x <时，不等式()()0f x g x <的解集是(,3)x ∈-∞-；当0x >时，不等式()()0f x g x <的解集是(0,3)x ∈，所以不等式()()0f x g x <的解集是
(,3)(0,3)-∞-，故选D ．
【点睛】
本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．本题的解答中根据题设条件，得出函数()()()h x f x g x =的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
13．1y x =-
【分析】
先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.
【详解】
由321y x x =-+，得232y x '=-，
∴在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，
又(1)0f =，
所以所求切线方程为：01y x -=-，
即1y x =-.
故答案为：1y x =-.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.
14．11x x ≠-≠且．
【解析】
1x =-或1x =的否定是1x ≠-且1x ≠-
15．二
【分析】
先利用复数的除法运算化简，再根据复数的几何意义得出结论.
【详解】 23(23)(34)18134(34)(34)2525
i i i i i i i -+-++==-+--+， ∴该复数在复平面内对应的点为181(,)2525
-
，是第二象限的点. 故答案为：二.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义.属于基础题.
16．3
【分析】
由题意得知，函数()ln 1y ax x =-+在0x =处的导数值为2，由此可求出实数a 的值.
【详解】 ()ln 1y ax x =-+，11
y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：
（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值. 考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．（1）1m =-；（2）3m <-或5m >
【分析】
（1）根据复数相等的定义，实部、虚部分别相等，列出方程组，即可解得m 的值；
（2）根据复数的几何意义，写出该复数在复平面内对应的点的坐标.由该点在x 轴上方可知，其纵坐标大于零，解不等式即可.
解：（1）
22(56)(215)212m m m m i +++--=-，
2256221512m m m m ⎧++=∴⎨--=-⎩ ， 1m ∴=-；
（2）
22(56)(215)z m m m m i =+++--，
其在复平面对应的点为2
2
(56,215)m m m m ++--， 该点在x 轴上方，则22150m m -->
3m ∴<-或5m >.
【点睛】
本题考查了复数相等的定义，以及复数几何意义的应用，属于基础题. 18．（Ⅰ） 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求函数()f x 的导数，由切线的斜率(1)2k f ='=，求出(1)2f =，由点斜式可写出切线的方程；（Ⅱ）先求出切线与函数()y f x ='图象交点的坐标，再由积分公式直接计算即可. 试题解析： （Ⅰ）
(1)2l k f ∴'==又(1)2f =
:22(1)l y x ∴-=-即：2y x =
（Ⅱ）由1
2221
{,1313
y x x x y x =⇒=-==- 1
2321113
3
32[2(31)]|27S x x dx x x x --∴=--=-++=
⎰
考点：1.导数的几何意义；2.积分的几何意义及运算法则. 19．（1）()2
51f x x x =---；（2）5
[,)2
-+∞
【分析】
（1）利用函数的导数求出切线的斜率，再结合函数经过的点的坐标，列出方程组，解得,a b
（2）先对()f x 求导，再令()0f x '
≤，即可求出单调递减区间.
【详解】
解：（1）由2
()1f x ax bx =+-得()2f x ax b =+'，
在点(1,3)P -处的切线与直线3y x =-平行，
(1)3(1)3f f -=⎧∴⎨'-=-⎩，即1323a b a b --=⎧⎨-+=-⎩，
解得1
5a b =-⎧⎨=-⎩
， 2()51f x x x ∴=---；
（2）由（1）知，()25f x x '=--， 令()0f x '
≤，即250x --≤，则5
2
x ≥-， 故函数的单调递减区间为：5[,)2
-+∞ 【点睛】
本题考查了导函数的几何意义，导函数的计算，利用导函数求单调区间，属于中档题. 20．（1）123123=,,234
S S S ==；（2）1n n S n =+，证明见详解
【分析】
（1）逐个计算123,,S S S 即可； （2）根据（1）猜想1
n n
S n =+，再按照数学归纳法的步骤，证明结论. 【详解】
解：（1）11=
2S ， 211112
+=23263S S =+=⨯，
321213
+=+=343124
S S =⨯；
（2）由（1）猜想1
n n
S n =+ ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立.
①1n =时，111
==112
S +，成立； ②假设n k =时，有1
k k
S k =+成立，
则当1n k =+时，
11
(1)(2)
k k S S k k +=+
++
11(1)(2)
k k k k =
++++ 221(1)(2)k k k k ++=++ 2
(1)(1)(2)
k k k +=++ 1
(1)1
k k +=
++，
1n k ∴=+时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对n *∈N 都成立. 【点睛】
本题考查了逻辑推理，数学归纳法证明命题，属于中档题. 21．（1)函数有极大值，1
(2)13
f =-；（2)最大值是
，最小值是．
【解析】
试题分析:(1)对函数求导,通过分解因式解出导函数为0的方程根,并根据二次函数的图象判断出导函数的正负,即原函数的单调增减区间,列出表格,进而求出极值;(2)根据定义域结合函数图象,比较端点值的大小确定出函数的最大值,极小值即为最小值. 试题解析:(1)
()31
443
f x x x =-+
()()()2
422f x x x x ∴=-=+-'
令()0f x '=，得2x =或2x =-
令()0f x '>，得2x >或2x <-，令()0f x '<，得22x -<< 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
)
2x ∴=-当时，()f x 取极大值()2823f -=
， 2x =当时，()f x 取极小值()4
23
f =-，
（2）()37f -=，()28
43
f =，
由（1）可知()f x 的极大值为()2823f -=，极小值为()4
23f =-，
∴函数()f x 在[]3,4-上的最大值为283，最小值为4
3
-.
点睛: 导数与极值点的关系：(1)定义域D 上的可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，并且f ′(x )在x 0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f (x )在点x 0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y ＝|x |，结合图象，知它在x ＝0处有极小值，但它在x ＝0处的导数不存在；(3)f ′(x 0)＝0既不是函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．
22．（1）122
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭；
（2）1c <-或2c <．
【分析】
（1）求出()f x 的导数，由题可知2
3
x =-与1x =是()0f x '=的两个根，即可求出,a b ，再利用导数即可求出单调区间；
（2）根据（1）中的单调性，求出()f x 在[]
1,2x ∈的最大值，令()2
max f x c <，即可求出
c 的范围.
【详解】 （1）
()232f x x ax b =++'，
∴()212403931320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩
，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴()()()332321f x x x x x '=--=+-，
令()0f x '>，解得23
x <-
或1x >；令()0f x '<，解得2
13x -<<，
所以函数()f x 的递增区间是2,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． （2）因为()3
2
122
f x x x x c =-
-+，[]1,2x ∈， 根据（1）函数()f x 的单调性，得()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
上递减，在()1,2上递增， 所以当23x =-时，()22
27f x c =+为极大值，而()222227
f c c =+>+，所以()22f c
=+为最大值．
要使()2
f x c <对[]1,2x ∈-恒成立，须且只需()2
22c f c >=+，解得1c <-或2c <．
【点睛】
本题考查已知极值点求参数，考查利用导数求单调性，考查不等式的恒成立，属于中档题.。