最新-高考数学冲刺复习 精练39 精品

数学冲刺复习
数学精练（39）
1.在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
sin 510
A B =
=
（I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。

2. 已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈ ．
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）当02
x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，时，求函数)(x f 的取值范围．
3. 已知函数()cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫
⎛⎫=++
+-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭（0>ω，R x ∈）
，且函数()f x 的最小正周期为π．
(1)求函数()f x 的解析式并求()f x 的最小值；
(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若()f B =1，9
2
BA BC ⋅=
,且
3a c +=b ．
4．已知函数()223sin cos 5cos f x x x x x =++． （1）若()5f α=，求tan α的值；
（2）设ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2222222a c b c
a b c a c
+-=
+--，求()f x 在(]0,B 上的值域．
5. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
6 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距
40
海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中
sin θ=
26
，090θ<<)且与点A 相距C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
7 .设点F(0,
2
3),动圆P 经过点F 且和直线y=23
-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W.
⑴求曲线W 的方程；⑵过点F 作相互垂直的直线1l ，2l ，分别交曲线W 于A,B 和C,D.①求四边形ABCD 面积的最小值；②分别在A,B 两点作曲线W 的切线，这两条切线的交点记为Q,
求证：QA ⊥QB,且点Q 在某一定直线上。

8．已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
1，离心率e ．
(Ⅰ) 求椭圆E的方程；
(Ⅱ) 过点（1,0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M， 为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．使MP MQ
参考答案
1.（I ）∵A B 、为锐角，sin 510
A B =
=
∴ cos 510
A B ==
==
cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B +=-=
= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin 2
C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==得==，即,a c =
又∵ 1a b -=
1b -= ∴ 1b = ,∴ a c
2.：（1）因为 ()sin 2cos 21f x x x =-- )14x π=
--． 所以 22
T π
==π．
（2）())14f x x π=
--当 0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， 32444x πππ-≤-≤，
所以 当242x ππ-
=，max ()1f x =， 当244
x ππ
-=-，min ()2f x =-．
所以)(x f 的取值范围是21⎡⎤-⎣⎦
．
3. （１）()cos 12sin 16f x x x x πωωω⎛⎫+-=+- ⎪⎝
⎭，
由
2π
πω=得2ω=，所以()2sin(2)16
f x x π
=+-，
所以min (),()33
x k k Z f x π
π=-
∈=-时
（２）由f (B)= 1得2sin(2)116B π
+
-=，解得6
B π
=
又由92BA BC ⋅=知9
cos 2
ac B =，所以ac =由余弦定理知
22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--
=(2
3223-⨯⨯=
所以b =
(或由3a c +=ac =3,33,3====b a b a 或
2222cos 39233b a c ac B =+-=+-⋅=,3=∴b )
77．（1）由()5f α=，得223sin cos 5cos 5αααα++=．
∴1cos 21cos 23
25522
αα
α-+++=． 2cos21αα+=，
21cos2αα=- 2cos 2sin ααα⇒=
sin 0αα==或tan ∴tan 0tan αα==或
（2）由
2cos ,2cos 2ac B c ab C a c =-即cos 1,cos 2B b C a c =-得cos 1
,sin cos 2sin sin B B C A C =- 则1cos 2B =即3
B π
=，
又()22
3sin cos 5cos f x x x x x =++2cos24x x =++＝
π
2sin(2)46x +
+ 由03x π<…，则1π
sin(2)
126x +剟，故5()
6f x 剟，即值域是[]5,6.
78.（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=
1
2sin()1,sin().66
2
A A ππ-=-=
由A 为锐角得,.663
A A πππ
-==
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
4 （I ）如图，AB
,sin BAC θθ∠==
由于090θ<<,所以cos θ
26
= 由余弦定理得
=
3
=/小时）. （2） 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .
在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-∠=⋅
=222
.
从而sin ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，
AQ=
sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠
=157.=< 所以船会进入警戒水域. 5 .⑴由切线性质及抛物线定义知W 的方程:y x 62
= ⑵①设1l 方程：23+=kx y ，2l 方程：2
3
1+-=k y ，由弦长公式易知：四边形ABCD 的面积S=
21CD AB =18()
⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++21181112222K K K K ≥72，K=±1时，72min =S . ②由⑴知W 的方程为：x y x y 31,61,2==，故19
1
21-==x x K k QB QA ，则：QA ⊥QB.联立方程2116131x x x y -=
和2226131x x x y -=得交点Q ,23,2
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 即Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-23,3k ，当k 取
任何非零实数时，点Q 总在定直线2
3
-
=y 上。

6
解：
(1)111
2a a c c c e b a ⎧⎧=-=⎪⎪⇔=⎨⎨==⎪⎪=⎩⎩
，∴所求椭圆E 的方程为：22
12x y += (2)当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：1x ky =+
22221x y x ky ⎧+=⎨
=+⎩ (1)(2)
， 把（2）代人（1）整理得：()22
k 2y 2ky 10++-= ∴1221222k y y k 21y y k 2
⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-
⎪⎩+， 假设存在定点(,0)M m ，使得MP MQ ⋅为定值
11221212MP MQ (,)(,)()()x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+
=1212(1)(1)ky m ky m y y +-+-+()2
2
1212(1)(1)()1k y y k m y y m =++-++-
()22222(1)2(1)1k 2k 2
k k m m +-=--+-++ 2222
22
(23)1(23)(2)(54)(1)(1)22
m k m k m m m k k ---++-=+-=+-++ 当且仅当540m -=，即54m =
时，7
MP MQ 16
⋅=-（为定值）．这时()54,0M 再验证当直线l 的倾斜角0α=
时的情形，此时取(P
，Q
54(,0)MP =，54(2,0)
MQ =
557MP MQ 4416⎛
⎫⎫⋅=⋅=- ⎪⎪⎝
⎭⎭
∴存在定点()54,0M 使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l 均有7
MP MQ 16
⋅=-
（恒为定值）．。