江苏省苏州市高三数学12月月考试题

江苏省苏州市2017届高三数学12月月考试题
2016.12
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃=则= ▲ ． 2．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++的虚部为零，则a = ▲ ． 3．设命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋1>0，则⌝p 为 ▲ ． 4
．函数()f x 的定义域为 ▲ ．
5．若函数()
π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω 的值为
▲ ．
6．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ ．
7．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则
2
1
a a = ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线
30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．
9．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ▲ ．
10．在椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>中, 斜率为()0k k >的直线交椭圆于左顶点A 和另一点B ,点
B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若椭圆离心率1
3
e =,则k 的值为 ▲ ．
11．已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22
x x f x x x ⎧∈⎪
=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是
▲ ．
12．在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上,则2
+⋅
的最小值是 ▲ ． 13．已知ABC ∆的内角,A B 满足
sin cos()sin B
A B A
=+，则tan B 的最大值为 ▲ ． 14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，则
222
2242a ab ac bc
b b
c c +++-+的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知向量(cos ,cos ),m A B =
(2,),n b c a m n =+⊥且．
（1）求A 的大小；
（2）若a =8b c +=，求ABC ∆的面积．
16．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝e x
＋e －x
，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；
(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x
＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，
BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下
电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．
（1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值； （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π
3)，
试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．
18．（本小题满分16分）
椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
过点1
)2
P , 记椭圆的左顶点为A . （1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于,B C 两点, 试求ABC ∆面积的最大值；
（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆于,D E 两点，且122k k =, 求证: 直线DE 恒
过一个定点.
19．（本小题满分16分）
已知函数()x x ax x f ln 222
12
++-=，a ∈R . (1) 当3-=a 时，求()f x 的单调增区间；
(2)
当1≥a ，对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取
值范围；
（3）若函数()x f 的图象始终在直线23+-=x y 的下方，求实数a 的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1) (*n ∈N )． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b 1＝1
，n b (2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项和T n ；
（3）若数列{c n }满足11lg 3
c =
，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，q （其中
1 < p < q ），使c 1，c p ，c q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．
出卷人：王娅 审卷人：
张红娟
苏州五中2016-2017学年第一学期12月月考测试
高三数学附加题
2016.12
21B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵1101,20201A B ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，若矩阵AB 对应的变换把直线:20l x y +-=变为直线l '，求直线l '的方程．
21C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy 中，圆C
的参数方程为cos ,(sin x r y r θθθ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数，0)r >，以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()14
π
ρθ+=，若圆C 上的点
到直线l 的最大距离为3，求r 的值.
22.（本小题满分10分）
袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为1
7
. 现有甲、乙两
人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望()
E X；
（2）求甲取到白棋的概率.
23.（本小题满分10分）
设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：
①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；
（2）求f(n)的表达式．
高三数学（参考答案）
2016.12
1．3 2．1- 3．∃x ∈R ，x 2
＋1≤0 4．(0,2) 5．π2 6．3- 7．1或3 8．e -
9．10 10．23 11．37
[log ,1]3
12．
13．4
14．1-
15．解：（1）由m ⊥n 得()2cos cos 0b c A a B +⋅+= 再由正弦定理得()sin 2sinC cos sin cos 0B A A B +⋅+=化简得 即sin 2cos sin 0
C A C +=1
sin 0cos 2
C C >∴=-，所以120A ︒=.……………… 7分
（2）由余弦定理得222
2cos a b c bc A =+-，整理()2
222cos a b c bc bc A =+--，
将8,120a b c A ︒=+==代入得16bc =，1
sin 2
ABC S bc A ∆== 14分
16. (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e x ＝e －x ＋e x
＝f (x )，
所以f (x )是R 上的偶函数．
……………… 6分
(2)由条件知 m (e x
＋e －x
－1)≤e －x
－1在(0，＋∞)上恒成立．………………8分 令 t ＝e x
(x >0)，则 t >1，所以 m ≤－
t －1
t 2
－t ＋1
＝－
1
t －1＋1
t －1
＋ 1
对任意 t >1成
立．……………… 10分
因为t －1＋1
t －1
＋ 1≥2 （t －1）·
1
t － 1
＋1＝3, ……………… 12分 所以 －
1t －1＋1t －1
＋ 1
≥－1
3
，
当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．……………… 13分
因此实数 m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－13.……………… 14分 17．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .
过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分 又CD ＝1，DE ＝3
2
，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋
3
2
×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π 3
) ∴CE ＝EB ＝1
cos θ
，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ. 则y ＝
1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θ
cos θ
＋2 3 ……9分 令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π 3
)
则f ，
(θ)＝－cos 2
θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1
cos 2
θ
，……11分 ∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π
3)
当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f ，
(θ)＜0
当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32
，∴f ，
(θ)＞0
∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π
3
]上单调递增．……13分
∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－
1322
3＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝2
4，
答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝2
4
. ……14分
18．
[解析]（1）由22
22211124c a a b a b c
ìïïï=ïïïïïï+=íïïïï
ïïïï=+
ïî，解得1,22a b c ===
所以椭圆C 的方程为x 2＋2y 2
＝1. ……………… 4分
（2） 解：设B (m ，n )，C (－m ，n )，则S △ABC ＝1
2×2|m |×|n |＝|m |·|n |，
又1＝m 2
＋2n 2
≥22m 2n 2
＝22|m |·|n |，所以|m |·|n |≤2
4
， 当且仅当|m |＝2|n |时取等号， 从而S △ABC ≤
24，即△ABC 面积的最大值为2
4
.……………… 8分 （3）证明：因为A (－1,0)，所以AB ：y ＝k 1(x ＋1)，AC ：y ＝k 2(x ＋1)，
由122(1)21y k x x y ì=+ïïíï+=ïî
消去y ，得(1＋2k 21)x 2＋4k 21x ＋2k 21－1＝0，解得x ＝－1或21211212k x k -=+ ∴ 点2112211122(,)1212k k B k k -++，同理，有2
22
22
22
122(,)1212k k C k k -++，而k 1k 2＝2， ∴ 211
22
1184(
,)88k k C k k -++ ∴ 直线BC 的方程为11
222
11112222
11112
2
1142281212()8121212812k k k k k k y x k k k k k k -++--=---++-++ 即2111222
1112312()122(2)12k k k y x k k k --=-+++，即11
2211352(2)2(2)k k y x k k =+++，
所以，得直线BC 恒过定点5
(,0)3
-.……………… 16分
20、解：（1）当3-=a 时，x
x x f 1
23)(+--='，……………1分 令0)(>'x f ，解出：3
1
0<<x ，……………2分
所以()f x 的单调增区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0……………3分 (2) 当12x x =，显然满足，以下讨论12x x ≠的情况。

当1a ≥时，22
'11()1
21()a x ax x a a f x x x
--+-+==
，
1
(0,1],(0,1]x a
∈∈∴2111()110a x a a a --+≥-≥，得到'()0f x ≥，即()f x 在(0,1]上单调递
增。

对于任意12,(0,1]x x ∈，不妨设12x x <，则有12()()f x f x <，且21x x >代入不等式
1212|||()()|x x f x f x -≤-⇔2121()()f x f x x x -≥-⇔2211()()f x x f x x -≥-，
……………5分
引入新函数：2
1()()()32ln 2
h x f x x f x ax x x =-==
-++，……………6分 2'
131
()3ax x h x ax x x
-+=-+=
所以问题转化为'()0,(0,1]h x x ≥∈上恒成立
⇔2310ax x -+≥⇔231x a x -≥
⇔
max 2
31
()x a x -≥……………8分 令2
31
()x l x x -=
，通过求导或配方都可以： '3
23()x l x x -=
，当'20,()03x l x <<>；'2
1,()03x l x <<<， 所以当max 229,()()334
x l x l ===， 所以9
4a ≥
.
……………10分 (3)由题可得23ln 222
12
+-<++-x x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 即
0ln 2
12
<++x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 整理可得2
ln 21x
x
x a +>-在),0(+∞∈x 上恒成立……………11分 令2ln )(x x x x h +=3
ln 21)(x
x
x x h --='∴……………12分
()()()0
10)(,ln 21=∞+--=g x g x x x g 单调递减，，在令
()10=='x x h 得所以……………14分
12
>-
∴a 即2-<a ……………16分
20．解（1）由题意a n a n +1＝2(S n ＋1)， ①
a n+1a n +2＝2(S n+1＋1)， ② 由①-②得到：a n+1(a n +2-a n )＝2a
n+1， ③ 因为a n+1>0，则a n +2-a n ＝2，
④
又a 1＝2，由④可知212k a k -=；a 2＝3，由④可知221k a k =+； 因此，1n a n =+．………………4分 （2）当n=1时…… 当2n ≥
时，n
b
11
n n a a -
-
；
则1(
n T n =++++-＝1+．……… 8分 （3）假设存在正整数数对(p ，q )，使c 1，c p ，c q 成等比数列，即c 1c q ＝c p 2，
则lg c 1＋lg c q ＝2 lg c p 成等差数列，于是，21333p q
p q
=+(＊)． 当2p =时，
21333q p q p =-19
=，此时，3q =； 可知(p ，q )=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解． 又当p ≥3时，112(1)224333p p p p p p +++--=
<0，故数列{23p
p
}(p ≥3)为递减数列． 于是
3q q =2133p p -≤3231
33
⨯-<0，所以此时方程(＊)无正整数解． 综上，存在惟一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使c 1，c p ，c q 成等比数列．…………16分
21B 解：∵1101,20201A B ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴111011=22020
10
2AB ⎡
⎤⎡
⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
. ……………………………4分 在直线l '上任取一点(,)P x y ，它是由l 上的点000(,)P x y 经矩阵AB 所对应的变换所得， 则一方面，∵点000(,)P x y 在直线:20l x y +-=上，∴0020x y +-=.……①
00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即0
011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，∴000122x y x y y ⎧+=⎪⎨
⎪=⎩， …………………………7分 ∴001412x x y y y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
……② 将②代入①得11
2042
x y y -
+-=，即480x y +-=， ∴直线l '的方程为480x y +-=. ……………………………10分
21C 解：圆C
的参数方程为cos ,(sin x r y r θθθ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
为参数，0)r >，消去参数θ得
()2
2
2
0x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎭⎝⎭
，所以圆心C ⎛ ⎝⎭
，半径为r .…………3分 直线l 的极坐标方程为sin()14
π
ρθ+
=
，化为普通方程为0x y +. ……………6分
圆心C ⎛
⎝⎭
到直线0x y +=
的距离为2d ==，……8分
∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴3321r d =-=-=．
…………………………………10分
22.解：设袋中白棋共有x 个，*x N ∈，则依题意知：227
17x C C =，∴(1)
12176721
x x -⨯=⨯⨯，
即 260x x --=，解之得3x =（2x =-舍去）. ………………………………………1分 （1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5.
13173(1)7A P x A ===，1143272(2)7A A P x A ===，2143376
(3)35A A P x A ===，
3143473(4)35A A P x A ===，4143571
(5)35
A A P x A ===.
……………………………………………………………5分
（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.） 随机变量X 的概率分布列为：
所以32631
()12345277353535
E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………6分
（2）记事件A =“甲取到白棋”，则事件A 包括以下三个互斥事件： 1A =“甲第1次取棋时取出白棋”； 2A =“甲第2次取棋时取出白棋”； 3A =“甲第3次取棋时取出白棋”.
依题意知：131173()7A P A A ==，21432376()35A A P A A ==，41
433571
()35
A A P A A ==，………………9分
（注：此段3分的分配是每错1个扣1分，错到3个即不得分.） 所以，甲取到白棋的概率为
12312336122
()()()()()7353535
P A P A A A P A P A P A =++=++=
++=. …………………10分 23.解：（1）因为f (1)f (4)＝f (4)＋f (4)，所以5 f (1)＝10，则f (1)＝2．……………1分 因为f (n )是单调增函数，
所以2＝f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＝5．
因为f (n )∈Z ，所以f (2)＝3，f (3)＝4． …………………………3分 （2）解：由（1）可猜想f (n )＝n +1．
证明：因为f (n )单调递增，所以f (n+1)＞f (n )，又f (n )∈Z ， 所以f (n+1)≥f (n )+1．
首先证明：f (n)≥n+1．
因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．
则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．
综上，f (n)≥n+1．……………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．
下面证明：f (n)＝n+1．
因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，
则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，
又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．
即n＝k+1时，命题也成立．
所以f (n)＝n+1 ………………………………10分。