毕奥-萨伐尔定律 (1)

半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
B
o
R
r
dB
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
dq 2π rdr
dB 0 dr
2
v r
B 0
R
dr
0R
20
2
• 磁场
小结
电流 磁 运动电荷 场
电流 运动电荷
磁铁
• 毕奥－萨伐尔定律
B
o 4
qv r
r3
B
onI
2
(cos 2
cos 1)
dB
磁
0 4
铁 Idl r
r3
B
oI 4ro
(cos 1
cos2 )
Bx
oR2I
2(R2
B 0I
4π r0 B 的方向沿
2 sind
1
x 轴的负方向.
4π0长直导线的磁场.
B
0
4π
Ir0（cos1
cos
）
2
I
o
1 0 B 0I
x 1
B
+
P
y
2 π
2π r0
C
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2π r
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+
7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
二、毕奥－萨伐尔定律应用举例
解题步骤
1.选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位置； 2.选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特点来 选取坐标系，其目的是要使数学运算简单； 3.写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律； 4.计算磁感应强度的分布——叠加原理； 5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取 合适的积分变量，来统一积分变量。
B 0nI
1
π 2
,
2
0
或由 1 π , 2 0 代入
B
0nI
2
cos2
c os 1
B
1 2
0nI
1 2
0nI
B 0nI
O
x
四
运动电荷的磁场 毕— 萨定律
dB
0
4π
Idl r
r3
j
S
Idl jSdl nSqvdl
nSdlqv r dl 0
dB 3 4π r dN nSdl 运动电荷的磁场
为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转
动 ，求圆盘中心的磁感强度.
o
R
r
解法一 圆电流的磁场
dI 2π rdr rdr
2π
dr
0, B 向外 0, B 向内
dB 0dI 0 dr
2r 2
B 0
R
dr
0R
20
2
解法二 运动电荷的磁场
o
R
r
dr
dB0
0
4π
dqv r2
x2
)
3 2
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14-2毕奥-萨伐尔定律
一 毕奥－萨伐尔定律 二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
三 磁偶极矩
四 运动电荷的磁场
一、毕奥－萨伐尔定律
1、引入 dq→dE→E Idl→dB→B
毕奥－萨伐尔根据电流磁作用的实验 结果分析得出，电流元产生磁场的规 律称为毕奥－萨伐尔定律。
v c 实用条件
在载流导体中取一电流元，它的
截面积为S，单位体积内有n个带
电粒子，每个粒子带有电荷量为
q，以平均速率v沿电流流向运动，
则单位时间内通过截面S的电荷
量为nqvS，即I=nqvS，代入
d B 毕—沙定律可得： B
dN
0
4π
qv
r
r3
q + r
v
+B
q
r
v
B
例4 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度
例1 载流长直导线的磁场.
dB 方向均沿
z
D 2
dz
r
Iz
x
C
o
1
r0
dB *P y
x 轴的负方向
解 dB 0 Idz sin
4π r 2
B
dB 0
4π
Idz sin
CD r 2
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin2
B 0I 2 sind
4π r0 1
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
dB 0 2
R 2 Indx R2 x2 3/2
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 x2 3/2
R2 x2 R2 csc2
B 0nI
2
2 R3csc2 d 1 R3 csc3 d
0nI
2
2 sin d
1
讨论
B
0nI
2
cos2
c os 1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos2
l/2
l / 22 R2
B
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
若 l R
B 0nI
(2) 无限长的螺线管
（3）半无限长螺线管
例3 载流直螺线管的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o
p*
dx x
x
+++++++++++++ +
解 由圆形电流磁场公式
B
0IR 2
（2 x2 R2）3/ 2
1
x1 o p 2
2、内容 电流元Idl在空间P点产生的磁场B：
Idl r
P
I dB
dB
r
Idl
(电流元在空间产生的磁场)
dB
dB
0
4π 0
4π
Idl sin
r
2
Idl r
r3
真空磁导率0 4π 107 N A2
dB
P * r
Idl dB
r
I
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
3、 叠加原理
任一电流产生的磁场
论
B
N （2 x2
0 IR2
R2）32
2）x 0 B 的方向不变( I 和 B成右螺旋关系）
3）x 0 4）x R
B 0I
2R
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
(5) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
B 0I 0I
2R 2 4R
（1） I
R B0
o
x
B0
0 I
2R
I
（2 ）
I
R o
Idl
cos R r
R
r
dB r2 R2 x2
o
x
*p x
B 0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I cosdl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0IR2
（2 x2 R2）32
I
R
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
讨 1）若线圈有 N 匝
B
dB
0 4
Idl r
r3
4、说明
dB
P
Id l r
•该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明，
但是由该定律出发得出的一些结果，却能很好地与实验符合。
•电流元Idl 的方向即为电流的方向；
•dB的方向由Idl 确定，即用右手螺旋法则确定；
•毕奥－萨伐尔定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律，
B0
0I
4R
（3） I R o
B0
0I
8R
（4）
（5） I
BA
0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
三 磁偶极矩
Pm ISen
例2中圆电流磁感强度公 式也可写成
I
Pm
S en
B
0 IR 2
2x3
B
0 Pm
2 π x3
B
0 Pm
2 π x3
en
Pm en
I S
说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.