1-4运动学中的两类问题
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解: (1)因为
dv adt kv2 dt
dv kdt 2 v
分离变量得 积分得
1 kt c1 v
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
1 因为t＝0时， .代入， v v0 ， 所以 c1 v0 并整理得 v0 v 1 v0 kt
再由 dx vdt ，将v的表示式代入，并取积分
这是顶点在原点的抛物线.
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例1.5 一质点沿半径为1m的圆周运动，它通 过的弧长s按 s t 2t 2 的规律变化.问它在2s末 的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？ ds v 1 4t 解: 由速率定义，有 dt
将t＝2代入，得2 s末的速率为
vdv kv 2 dx
所以有
分离变量，并取积分
dv kdx c3 v
kx ln v c3 v v0 ，所以 c3 ln v0 .代入，并整理得 因为x＝0时，
v v0e
kx
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例题 一质点沿半径为1 m的圆周转动，其角量运 动方程为 2 3t 4t 3 (SI)， 求质点在2 s末的速率和切向加速度. d 2 解：因为 3 12t dt 将t＝2 代入，得2 s末的角速度为
d 24 dt
3 12 (2)2 45 rad / s 2 2s末的角加速度为 24 2 48 rad / s
在距轴心1 m处的速率为 v R 45 m / s 2 a R 48 m / s 切向加速度为
v0 dt 1 x c2 ln(1 kv0t ) c2 1 v0 kt k
因为t＝0时，x＝0，所以 c 2 ＝0.于是
1 x ln(1 kv0t ) k
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
(2)因为
dv dv dx dv a v dt dx dt dx
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
运动学中的两类问题 1 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 2 已知质点的加速度以及初始速度和初始位 置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t导
积分
a (t )
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
v 1 4 2 9 m / s
其法向加速度为
v2 an 81 m / s 2 R d 2s 2 a 4 m / s . 由切向加速度的定义，得 2 dt
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例1.6 一质点沿x轴运动，其加度 a kv2，式中 k为正常数，设t=0时，x=0，v=v0；（1）求v和x作为 t 的函数的表示式； （2）求v作为x函数的表示式。
2 例1.4 已知一质点的运动方程为 r 3ti 4t j ， 式中r以m计，t以s计，求质点运动的轨道、速度、加 速度. 解: 将运动方程写成分量式
x 3t
y 4t
2
图1-13
消去参变量t，得轨道方程：
4x 9 y 0
2
由速度定义得 由加速度的定义得
dr v 3i 8tj dt dv a 8 j dt
dv adt kv2 dt
dv kdt 2 v
分离变量得 积分得
1 kt c1 v
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
1 因为t＝0时， .代入， v v0 ， 所以 c1 v0 并整理得 v0 v 1 v0 kt
再由 dx vdt ，将v的表示式代入，并取积分
这是顶点在原点的抛物线.
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例1.5 一质点沿半径为1m的圆周运动，它通 过的弧长s按 s t 2t 2 的规律变化.问它在2s末 的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？ ds v 1 4t 解: 由速率定义，有 dt
将t＝2代入，得2 s末的速率为
vdv kv 2 dx
所以有
分离变量，并取积分
dv kdx c3 v
kx ln v c3 v v0 ，所以 c3 ln v0 .代入，并整理得 因为x＝0时，
v v0e
kx
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例题 一质点沿半径为1 m的圆周转动，其角量运 动方程为 2 3t 4t 3 (SI)， 求质点在2 s末的速率和切向加速度. d 2 解：因为 3 12t dt 将t＝2 代入，得2 s末的角速度为
d 24 dt
3 12 (2)2 45 rad / s 2 2s末的角加速度为 24 2 48 rad / s
在距轴心1 m处的速率为 v R 45 m / s 2 a R 48 m / s 切向加速度为
v0 dt 1 x c2 ln(1 kv0t ) c2 1 v0 kt k
因为t＝0时，x＝0，所以 c 2 ＝0.于是
1 x ln(1 kv0t ) k
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
(2)因为
dv dv dx dv a v dt dx dt dx
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
运动学中的两类问题 1 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 2 已知质点的加速度以及初始速度和初始位 置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t导
积分
a (t )
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
v 1 4 2 9 m / s
其法向加速度为
v2 an 81 m / s 2 R d 2s 2 a 4 m / s . 由切向加速度的定义，得 2 dt
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例1.6 一质点沿x轴运动，其加度 a kv2，式中 k为正常数，设t=0时，x=0，v=v0；（1）求v和x作为 t 的函数的表示式； （2）求v作为x函数的表示式。
2 例1.4 已知一质点的运动方程为 r 3ti 4t j ， 式中r以m计，t以s计，求质点运动的轨道、速度、加 速度. 解: 将运动方程写成分量式
x 3t
y 4t
2
图1-13
消去参变量t，得轨道方程：
4x 9 y 0
2
由速度定义得 由加速度的定义得
dr v 3i 8tj dt dv a 8 j dt