湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 三角恒等变换 2.2 二倍角的三角函数

最后利用诱导公式化简求值.
成果验收•课堂达标检测
1 2 3 4 5
1.已知 sin
3
3π
α=-5,π<α< 2 ,则
7
A.5
1
B.-5
解析 ∵sin
∴cos
sin 2α 等于( D )
12
C.-25
3
3π
α=- ,π<α< ,
5
2
4
α=-5.
∴sin 2α=2sin αcos α=2×
3
-5
×
4
2sin2 +2sincos
=2cos2 +2sincos
sin
=cos=tan
=
=
2sin2 +sin2
2cos2 +sin2
2sin(sin+cos)
2cos(sin+cos)
θ=右边,所以等式成立.
规律方法 1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分
π
α≠kπ+ 2 (k∈Z).当
π
α=kπ+4 (k∈Z)及
π
α=kπ+ 2 (k∈Z)时,tan
α 的值不存在,故
不能用二倍角公式求 tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求 tan 2α.
3.一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α.
4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如 sin 3αcos
1-cos(2-30°)
原式=
+
+cos
2
2
1
=1+2(cos
θsin θ
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin
=1-sin 2θsin
1
30°+2sin
2θ=1.
1
30°)+2sin
2θ
证明
(1-cos2)+sin2
左边=
(1+cos2)+sin2
1
3α=2sin
6α.
5.二倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换
1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
3
;
2
1 2 3 4 5
1+cos100 °
2 2
4.
=________.
sin20 °cos20 °
1+cos100°
解析 sin20°cos20°
2cos2 50°
2cos50°
= 1
= 1
=2 2.
sin40°
cos50°
2
2
1 2 3 4 5
5.[人教A版教材习题]已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x,
(4)降幂扩角变换
cos
1
α= (1+cos
2
2
2α),sin
2
1
α= (1-cos
2
2α),sin αcos
1
α= sin
2
2α.
过关自诊
1.已知
2.已知
3.已知
24
3
4
sin α= ,cos α= ,则 sin 2α=________.
25
5
5
7
1
cos α= ,则 cos 2α=________.
5 π
π
2α= , <α< ,求sin
13 4
2
4α,cos 4α,tan 4α的
值.
解
π
π
π
由4<α<2,得2<2α<π.又
sin
5
2α=13,所以
于是 sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos
2
cos 4α=cos[2×(2α)]=1-2sin
tan
cos 2α=-
120
12
5
-5
=
24
.
25
24
D.25
1 2 3 4 5
2.已知 tan
12
A. 5
2
α=-3,则
tan 2α 的值为( B )
12
B.- 5
2
2tan
12
3
解析 tan 2α=1-tan2 =
2 =- 5 .
2
1- 3
2× -
12
C.13
12
D.-13
1 2 3 4 5
3
3.下列各式中,值为 的是(
解 (1)1-2sin 15°=cos 30°=
2
1
(2)2cos 30°-1=cos 60°= .
2
π
π
π
2
(3)2sin cos =sin = .
8
8
4
2
2
2tan75°
(4)
=tan
2
1-tan 75°
150°=-
3
.
3
3
.
2
变式训练1求下列各式的值:
(1)cos222.5°-sin222.5°;
(2)cos
4π
12
-sin
4π
12
.
解 (1)cos 22.5°-sin 22.5°=cos
2
(2)原式=(cos
2
2π
-sin
45°= .
2
+sin
12
2π
)=cos
12
2π
2π
-sin
12
π
=cos
12
6
=
3
.
2
探究点二
利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】[人教A版教材例题]已知sin
2α=2sin2α;
cos
1+cos2
1-cos2
2
α=
;sin α=
.
2
2
2
(3)二倍角的余弦公式有三种形式:
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.
【典例】 求值:sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°.
解 原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当
π
x∈[0, ]时,求
2
f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的集合.
解 f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x)-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x= 2cos 2
2
2
2
2
(1)最小正周期是π.
(2)由
即
π
x∈[0, ]得
公式
简记
sin 2α=_________________
2sin αcos α
cos 2α=cos2α-sin2α
2cos2α-1
=________
=___________
1-2sin2α
S(2α)
tan 2α=
T(2α)
C(2α)
注:二倍角的三角函数即为两角和的三角函数的特例.
名师点睛
α
1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如 4α 是 2α 的二倍,α 是 的二倍
9
3
24
4
tan α= ,则 tan 2α=________.
7
3
重难探究•能力素养全提升
探究点一
利用二倍角公式解决给角求值问题
【例1】 [北师大版教材习题]求下列各式的值:
(1)1-2sin215°;
(2)2cos230°-1;
π
π
(3)2sin8 cos8 ;
2tan75 °
(4)1-ta n 2 75°.
2
B )
A.2sin 15°cos 15°
B.cos215°-sin215°
C.2sin215°
D.sin215°+cos215°
解析 2sin 15°cos 15°=sin
2
1
30°=2;
2
cos 15°-sin 15°=cos 30°=
2
2sin 15°=1-cos 30°=1-
3
;
2
sin215°+cos215°=1.故选 B.
课 程 标 准
1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式,了解它们的内在联系.
2.能利用公式进行简单的应用.
目录索引
基础落实•必备知识全过关
重难探究•能力素养全提升
成果验收•课堂达标检测
基础落实•必备知识全过关
知识点
三角
函数
正弦
余弦
正切
二倍角的正弦、余弦、正切公式
证明
1+cos (2+2)
1-cos (2-2)
左边=
−
2
2
cos (2+2)+cos (2-2)
=
2
1
=2(cos
2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于
2α=2× ×(- )=- ;
169
13
13
5 2 119
2α=1-2×(13) =169;
169 120
sin4 120
4α=cos4=-169 × 119=-119.
5 2 12
1-(13) =-13.
规律方法 解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
2
=
4 3-3
.故选
10
10
10
A.
2
=
4
.
5
探究点三
利用二倍角公式解决化简与证明
【例3】 (1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
1+sin2 -cos2
(2)证明:
=tan
1+sin2 +cos2
解(1)
θ.
1+cos(2+30°)
∴cos 2
10
π
,α∈(0,
),则
10
2
π
+
6
=
π
0,
2
π
cos(2α+6 )的值为(
4-3 3
C. 10
A )
3 3-4
D. 10
,
3 10
,
10
10 3 10
α=2× 10 × 10
3
cos
2
1
2α- sin
2
=
3
,cos
5
2α=1-2sin α=1-2×
3 4
1 3
2α= × − ×
2
5
2 5
化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是
分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;
有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联
系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公
式”,在证明中应灵活选择.
2
等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.
2.对于 S(2α)和 C(2α),α∈R,但是在使用 T(2α)时,要保证分母 1-tan2α≠0 且 tan α 有
意义,即
π
α≠kπ+ 4 (k∈Z)且
π
α=kπ-4 (k∈Z)时,tan
π
α≠kπ- 4 (k∈Z)且
2α 的值不存在;当
逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.
2sin αcos α=sin 2α;sin αcos
cos
1
α= sin
2
sin2
α=2sin ;cos2α-sin2α=cos
2tan
=tan
1-ta n 2
2α.
2α;
2α;
(2)公式的逆向变换及有关变形.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化.
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用.注意常见角的变换和
角之间的二倍关系.
变式训练 2 已知 sin α=
4 3-3
A. 10
4 3+3
B. 10
解析 ∵sin
∴cos α=
10
α= ,α∈
10
1-sin2
=
∴sin 2α=2sin αcos
1-cos40 °
.
2
变式训练 3(1)化简: 1-sin40° +
(2)求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
2
解 (1) 原式= (sin20°-cos20°) +
1-(1-2si n 2 20°)
2
=|sin 20°-cos 20°|+ sin2 20°=cos 20°-sin 20°+sin 20°=cos 20°.
2
π
π 5π
2x+ ∈[ , ],所以当
4
4 4
3π
x= 8 时,f(x)取得最小值,为-
f(x)取得最小值时 x 的集合为
2.
3π
8
.
π
2x+ =π,
4
π
+
4
.
析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、
消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公
式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.
在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦
互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角
24 sin6 °cos6 °cos12 °cos24 °cos48 °
=
24 cos6 °
23 sin12 °cos12 °cos24 °cos48 °
=
16cos6 °