汝南县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

汝南县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A．2B．C．D．4
2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）
A．B．C．D．
3．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
4． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
5． 已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．（x ≠0）
B ．（x ≠0）
C ．
（x ≠0）
D ．
（x ≠0）
6． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜　
7． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16163π-
32163π-1683π-3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．8． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
9． 已知点A （0，1），B （3，2），向量
=（﹣4，﹣3），则向量
=（
）
A ．（﹣7，﹣4）
B ．（7，4）
C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
10．集合,是的一个子集,当时,若有,则称为的一个“孤立{}5,4,3,2,1,0=S A S A x ∈A x A x ∉+∉-11且x A 元素”.集合是的一个子集, 中含4个元素且中无“孤立元素”,这样的集合共有个B S B B B A.4 B. 5 C.6 D.7
11．已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∧（￢q ）是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
二、填空题
13．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．
14．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
15．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
16．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ．17．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
18．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
三、解答题
19．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{
}n
n
a b 的前项和n S .20．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．　
21．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
0.005
0.02a
频率组距
千克
（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值，并估计每天销售量的中位数；
a （Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
22．已知命题p ：x 2﹣3x+2＞0；命题q ：0＜x ＜a ．若p 是q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．　
23．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角AC 边长为BC 边长的,C θ=()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.
试用和表示；
θa S （2）若恰好当时，S 取得最大值，求的值.
60θ= a
24．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41- 如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD , 交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
汝南县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
2．【答案】B
【解析】解：===；又，，，
∴．
故选B．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．
3．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.
法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，
a＝2 016，b＝54，r＝18，
a＝54，b＝18，r＝0.
∴输出a＝18，故选D.
4．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
5．【答案】B
【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a=6，c=4∴b 2=20，∴椭圆的方程是故选B ．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．　
6． 【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D ．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．　
7． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为，故选D ．21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-8． 【答案】C 【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误； B.
时，y=
，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R 上为减函数，∴该选项正确； D.
；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R 上不是减函数，∴该选项错误．故选：C ．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．　
9． 【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．　
10．【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：，，，，，共6个。

故{}0,1,3,4{}0,1,3,5{}0,1,4,5{}0,2,3,5{}0,2,4,5{}1,2,4,5选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

11．【答案】B
【解析】解：先做出y=2x 的图象，在向下平移两个单位，得到y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．故选B
【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．　
12．【答案】 C
【解析】解：命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，是真命题，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，即﹣x 0+2＜0，
即：
+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
二、填空题
13．【答案】　6　
【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，
所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．
故答案为：6．
14．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），
=
=（0，﹣1），
=
=（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难
题．　
15．【答案】　（1，2）　．
【解析】解：∵f （x ）=log a x （其中a 为常数且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），∴0＜a ＜1，x ＞0，若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），则
，
解得：1＜x ＜2，故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．　
16．【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101
log log log log 33log 33a b b b b
b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），
因此
3a b =，因为b a a b =，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==a b +=考点：指对数式运算17．【答案】　2　．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a ﹣1=0，∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f （﹣x ）==﹣
，
即b •2x ﹣1=﹣b+2x ，∴b=1．即a+b=2，
故答案为：2．　
18．【答案】　3　．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．　
三、解答题
19．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
2
3
26-+-=n n n S .【解析】
（2）
12
1
2--=n n n n b a ，………………6分
12212
1223225231---+-++++
=n n n n n S ，①n
n n n n S 2
1
2232252321211321-+-++++=- .②……………8分①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 2311222221
1222222n
n n n S --=++++-，…………10分
所以1
2
3
26-+-
=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {
n
n
b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即
=
，
∴M=
．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=
；
（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则
=M ﹣1
=
，
即，
∴代入4x+y ﹣1=0，得
，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．　
21．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数．（Ⅰ）由得 （3分）
(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=0.035a = 每天销售量的中位数为千克 （6分）0.15
701074.30.35
+
⨯=（Ⅱ）若当天的销售量为，则超市获利元；
[50,60)554202180⨯-⨯= 若当天的销售量为，则超市获利元；[60,70)654102240⨯-⨯= 若当天的销售量为，则超市获利元， （10分）[70,100)754300⨯=∴获利的平均值为元. （12分）0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=22．【答案】
【解析】解：对于命题p ：x 2﹣3x+2＞0，解得：x ＞2或x ＜1，∴命题p ：x ＞2或x ＜1，
又∵命题q ：0＜x ＜a ，且p 是q 的必要而不充分条件，当a ≤0时，q ：x ∈∅，符合题意；
当a ＞0时，要使p 是q 的必要而不充分条件，需{x|0＜x ＜a}⊊{x|x ＞2或x ＜1}，∴0＜a ≤1．
综上，取并集可得a ∈（﹣∞，1]．
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．　
23．【答案】（1） （2）21sin 212cos a S a a θ
θ
=
⋅
+-2a =+【解析】试
题解析：
（1）设边，则，BC x =AC ax =在三角形中，由余弦定理得：
ABC ，
22212cos x ax ax θ=+-所以，22
1
12cos x a a θ
=+-
所以，211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=
⋅⋅=⋅
+-（2）因为，()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1
212cos a a a a a S a a θθθθθ
+--⋅=+-'⋅，()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-令，得0S '=02
2cos ,1a
a
θ=
+且当时，，，
0θθ<022cos 1a
a θ>+0S '>当时，，，0θθ>02
2cos 1a
a
θ<+0S '<所以当时，面积最大，此时，所以，0θθ=S 0060θ=22
1
12
a a =
+解得2a
=因为，则1a >2a =
点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．。