2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：三角形全等的判定

2023北京重点校初二（上）期末数学汇编
三角形全等的判定
A ．SAS
B ．SSS
C ．AAS 二、解答题
3．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）如图ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥垂足为点C ，且AE BD =，AE 交线段BC 于点F ．
(1)在图1中画出符合题意的图形，并证明CE AD =；
(2)当CFE ADB ∠=∠时，求证：BD 平分ABC ∠．
4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，A ，D 两点在BC 所在直线同侧，,AB AC BD CD ⊥⊥，垂足分别为A ，D ．AC BD ，的交点为E ，AB DC =．求证：BE CE =．
5．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，已知BC DE =．
6．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：如图，=BC DE ．
7．（2023秋·北京通州·∠DCE =∠A ．求证：DE
三、填空题
8．（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，高,AD CE 交于点H ．若15AB =，9CE =，则CH =_________．
≌．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是一个条件，使得ACB DEF
北京密云·八年级统考期末）已知：如图，
11．（2023秋·北京通州
方法进行测量，其中
证明AOB DOC
△≌△．
参考答案 1．C 【分析】根据题意和图形可以得到BC CB =，ACB DBC ∠=∠，然后再写出添加各个选项中的条件时能否得到ABC 和DCB △全等即可．
【详解】解：由图可得，
BC CB =，
EB EC =，
ACB DBC ∴∠=∠．
∴添加ABC DCB ∠=∠时，(ASA)ABC DCB △≌△，故选项A 不符合题意；
添加AC BD =时，(SAS)ABC DCB △≌△，故选项B 不符合题意；
添加AB CD =时，不能证明ABC DCB △≌△，故选项C 符合题意；
添加A D ∠=∠时，(AAS)ABC DCB △≌△，故选项D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法． 2．B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作A O B AOB '''=∠∠”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全等的判定定理即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作A O B AOB '''=∠∠”的尺规作图的依据是SSS ， 故选：B ．
【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出图形，证明()Rt Rt HL ACE BAD ≌，即可得出CE AD =；
（2）根据Rt Rt ACE BAD ≌得出E ADB =∠∠，根据CFE ADB ∠=∠，得出CFE E ∠=∠，根据平行线的判定和性质，证明CE AB ∥，得出E FAB ∠=∠，从而证明BAF AFB ∠=∠，得出AB BF =，证明AE BD ⊥，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
在Rt ACE 和Rt BAD 中，
AE BD AC AB =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt Rt HL ACE BAD ≌，
∴CE AD =；
（2）证明：∵Rt Rt ACE BAD ≌，
∴E ADB =∠∠，
∵CFE ADB ∠=∠，
∴CFE E ∠=∠，
∵EC AC ⊥，
∴90ACE ∠=︒，
∴180ACE DAB ∠+∠=︒，
∴CE AB ∥，
∴E FAB ∠=∠，
∴CFE AFB E ∠=∠=∠，
∴BAF AFB ∠=∠，
∴AB BF =，
∵ADB E EAB ∠=∠=∠，90EAB DAF ∠+∠=︒，
∴90ADB DAF ∠+∠=︒，
∴90AGD ∠=︒，
∴AE BD ⊥，
∵BA BF =，
∴BD 平分ABC ∠．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明Rt Rt ACE BAD ≌． 4．见解析
【分析】根据垂直的定义得出A D ∠=∠，再由全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】证明：∵,AB AC BD CD ⊥⊥，垂足分别为A ，D ，
∴90,90
A D ∠=︒∠=︒．
∴A D ∠=∠．
在ABE 和DCE △中，
,,,A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE DCE △≌△．
∴BE CE =．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 5．见解析
【分析】先求出BAC DAE ∠=∠，再利用“边角边”证明ABC 和ADE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，
∴BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，
即BAC DAE ∠=∠，
在ABC 和ADE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS ABC ADE △≌△，
∴BC DE =．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 6．见解析
【分析】先证明∠=∠BAC DAE ，再根据SAS 得出BAC DAE ≅，即可证明=BC DE ．
【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，
∴=BAD DAC CAE DAC ∠+∠∠+∠，
∴∠=∠BAC DAE
在BAC △和DAE △中，
===AB AD BAC DAE AC AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴BAC DAE ≅()SAS
∴=BC DE ．
【点睛】本题考查三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法有：SSS ASA SAS AAS HL 、、、、，选用合适的判定定理是解题的关键．
7．证明见解析
【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．
【详解】证明：∵DE ∥AB ，
∴∠EDC =∠B ．
又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，
∴△CDE ≌△ABC (ASA)．
∴DE =BC ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
8．3
【分析】先由已知得到CE AE =，即可证明AEH CEB ≅△△，即可求得BE EH =继而可得答案．
【详解】∵45BAC ∠=︒，CE AB ⊥，
∴9CE AE ==，
∵90EAH AHE ∠+∠=︒，90BCE CHD ∠+∠=︒， AHE CHD ∠=∠，
∴BCE EAH ∠=∠，
在BCE 和HAE △中，
BCE HAE CE AE
CEB AEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴(ASA)AEH CEB ≅，
∴BE EH =，
∵15BE AE AB +==，
∴6BE EH ==，
∴963CH CE HE =−=−=，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质，解决本题的关键是证明AEH CEB ≅△△．
9．ABC E ∠=∠（答案不唯一）
【分析】由AD BE =得到AB DE =，由AC DF ∥得到A FDB ∠=∠，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用ASA AAS 、判定ACB DEF ≌；要么选择AC DF =，利用SAS 判定ACB DEF ≌，从而得到答案．
【详解】解：AD BE =，
∴AB DE =，
AC DF ∥，
∴A FDB ∠=∠，
∴根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：
①ASA ：取ABC E ∠=∠，
在ACD 和DEF 中，
A FD
B AB DE AB
C E
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()ASA ACB DFE ≌；
②AAS ：取C F ∠=∠，
在ACD 和DEF 中，
A FD
B
C F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AAS ACB DFE ≌；
③SAS ：取AC DF =，
在ACD 和DEF 中，
AB DE A FDB AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS ACB DFE ≌；
故答案为：ABC E ∠=∠或C F ∠=∠或AC DF =．
【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
10．AC AD =（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【详解】解：根据AAS 判定ABC ABD △△≌，可以添加C D ∠=∠，
根据ASA 判定ABC ABD △△≌，可以添加ABC ABD ∠=∠，
根据SAS 判定ABC ABD △△≌，可以添加AC AD =，
故答案为：AC AD =（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
11．SAS
【分析】利用三角形全等的SAS 定理证明AOB DOC △≌△，根据全等三角形的性质可得CD AB =．
【详解】解∶在BOA △和COD △中，
OD OA COD BOA OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS AOB DOC △≌△，
∴CD AB =，
故答案为∶SAS ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．。