xjdp4系统模型IIss 共74页
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令x1(t) 和x2(t) 分别表示x (0)，… x(t–2)，x(t– 1)中最大值和最小值，则在时刻t的输出值是
y(t) = max [ x1(t)，x(t) ]– min [ x2(t)，x(t) ] 由于系统在t以前的历史可由两个变量x1(t)
和x2(t)的值完全描述，所以要决定时刻t的输出 值不必知道所有过去的输入值，只需在每个时 刻修正x1(t) 和x2(t) 即可，也就是说，在每个 t+1 时刻：
• X1(t),X2(t)就是描述飞机的飞行状态和状态变 量。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
在状态空间方法中，动态系统在时刻t0的输出 与之前时刻t0，t0–1，t0–2，…的输入值以及一定数量 的状态变量的数值有关。这些在t0的数值总结了系统 的过去历史对时刻t0时输出的影响。
– 机理法：定性+定量
图解法
• 图解法：经济学中的需求曲线D与供给曲线 S之间的关系。略。。
• S=f(p), • D=g(p)
拟合法
• 建模者根据某种假设选择一种模型，用以 解释观察的行为，如果收集到的数据说明 建模者的假设基本合理，则进一步按照某 种法则去选择模型的参数。
• 定量为主，以历史数据为依据建模及量化， 建模根据某种假设，选择一种理论模型和 模式，用以解释所观察行为。如果所收集 到的数据说明建模者的假设基本合理，则 进一步按照某种法则去选择模型参数
（1）Logistic曲线
• 该曲线由德国数学—生物学家P.F.Verhust
于1837年首先提出，之后由美国生物学家、
人口统计学家皮尔（Pearl）用它对生物繁
， 殖和生长过程进行了大量研究，故又称皮
尔曲线。其形式为
yt
K 1aebt
当上式中的t→∞时，yt→K，是达到饱和状态 的极限值，而且可求得yt对t的拐点，即增
第4章节系统模型与模型化
uR
uL
一、系统的状态和状态 变量
那么系统的状态
引入状态量 :
x1
Q ,x2
dQ dt
I
X
x1 x2
Q Q
Q I
X
x 1 x 2
Q Q
Q I
um
1 C
dQ dt
dt
um
d 2Q
dQ 1
L dt 2 R dt C Q u m
引入状态量
:
x1
Q , x2
dQ dt
I
um (t) uL (t) uR (t) uC (t) 0
uL
(t)
L
dI dt
uR (t) RI
uC
(t)
1 C
Idt
第三节
系统定量分析模型
一、系统的状态和状态变量
dx 和 x 是完全描述机械振动 dt
系统行为的最小集合
( 状态 )
令
x2
dx dt
, x1
x
即
x2
dx dt
,
x 2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一.时间序列预测模型
所谓时间序列(Time Series)，是指系统某一 变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排 列成一个数值序列x1，x2，…，xn。例如商场的 月销售额，城市的季度用电量，地区的工业总产 值等等。从系统的角度看，某一时间序列代表着 客观世界的某一动态过程，它是系统中某一变量 受其它各种因素影响的总结果，且表现为动态变 化，因此，时间序列也往往称为“动态数据”。 时间序列预测模型是利用时间序列所建立的数学 模型对未来进行预测的一种趋势法
例如，考虑一个离散系统，它在任一时刻的输出y(t)
定义为:在这以前系统输入的最大值与最小值之差。
显然，此系统是动态的，因为它在时刻t的输出不仅 取决于该时刻的输入x(t)。现在要问：要计算输出 y(t)，应知道系统在过去有多少输入？
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
uL
(t)
L
dI dt
uR (t) RI
uC (t)
1 C
Idt
第4章节系统模型与模型化
第三节 系统定量分析模型
一、系统的状态和状态 变量
uR
uL
根据霍夫电压定律:
um
uC
L dI dt
RI
1 C
Idt
um
令
I
dQ dt
, 2
R
dQ dt
第三节 系统定量分析模型
在前一节中,我们利用ISM方法建立了系统折结构模 型,往往是层次结构模型.在生活中,我们还有另类的模型: 数学模型. 在实际工作中,人们常常需要研究系统的动态品质，这就 需要建立系统的动态数学模型。
建立动态数学模型，研究系统的动态行为，
常采用两种方法：输入—输出法和状态变量法。
X AX BF
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
例4-3：一般机电系统由三种基 本元件组成，即电阻、电感和电 容器。
uR
uL
um
uC
第三节 系统定量分析模型
一、系统的状态和状态
变量
uR
uL
第4章节系统模型与模型化
um
uC
根据霍夫电压定律:
um (t) uL (t) uR (t) uC (t) 0
uC
x1 x 2
x 2
1 LC
x1
R L
1 L
um
x 1 x 2
0
1 LC
1
R L
一、系统的状态和状态变量
F(t)
x1 x2 (t)
x2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
x1(t)
x
2
(t
)
0
K m
1 B
m
x1 x2
0
1 m
F
(t
)
常见的与时间有关的模型:
一.常用的趋势曲线模型:
在实际应用中，最常用的是一些比较简单的 函数形式，如多项式函数、指数函数、生 长曲线和包络曲线等。
• 当k=1时，是线性模型；k=2时，为二次抛物线模 型；当k=3时，称为三次抛物线模型。实际上，三 次以上的多项式模型很少应用。线性模型用于描 述随时间均匀发展；二次抛物线模型描述增量ut= yt–yt-1均匀变化的过程，或者说以等加速度增加 或以等加速度减少的过程；三次抛物线描述加速 度与时间成比例增加或减少的过程。
长速度的转折点为，
t
ln
a
b
yt
1K 2
• 2）戈伯资（B.Gompertz）曲线：又称为双
指数模型，是英国统计学家和数学家发现
的，其形式如下
，
yt Kebekt
• 它和Logistic曲线类似，K 是饱和极限值 （t→∞时，yt→K），其拐点为：
t ln a k
yt Ke1
4.其它曲线趋势
• 实际上，预测用的趋势曲线远不止上述几 种，通过适当组合变形，还可以产生很多 可供选择的趋势曲线，如
（修正指数曲线）
•等等。因此，如何根据实际中预测对象的规律来选择合适 的趋势曲线是一个重要的问题。
二.趋势模型的参数辨识
在趋势模型选定后，首要的工作就是要确定 模型中的参数。不同的趋势模型可能会有不同 的参数辨识方法，但在实际应用中较多的是使 用最小二乘法，现简单介绍如下。
经济
外生变量
内生变量
控制
输入变量 决策变量（可控） 干扰变量（不可控）
输出变量
数学
自变量/参数
因变量
• 3 建模方法
– 图解法：定性为主，变量不超过2~3个。
– 拟合法：定量为主，以历史数据为依据建模 及量化，建模根据某种假设，选择一种理论 模型和模式，用以解释所观察行为。如果所 收集到的数据说明建模者的假设基本合理， 则进一步按照某种法则去选择模型参数。
数学模型建模方法概述
• 1数学模型定义
– 数学模型是按照某种数学语言（数学关系式、 拓扑结构、计算机语言等）对研究对象系统的 某些属性抽象描述和定量表达的结果。
• 2 利用数学模型建模的程序
数学模型建模程序
界定问题 （要素及 关系）
变量类型 模型结构
数据 建模
检验
计算 分析
变量类型
领域
类型1
类型2
一、系统的状态和状态 变量
牛顿力学：F(t)=ma
F (t) F1(t) F2 (t) ma
F (t)
k x(t )
B
dx dt
m
d 2x dt 2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
• 一、系统的状态和状态变量
• 1、状态：表示系统运行的特征属性的量。它 是完全描述t>t0时系统行为所需要变量的最小 集合。
• 2、状态变量：系统状态中的每个变量，即能 够完整的确定系统状态所必需的一组最少的变 量。
• 在飞机飞行中，可用飞机所在的位置高度和其 飞行的速度来表示飞机飞行的情况。
2
上式可以用标准的计算方法实现。但在手工运算中，当自变量t取间距相等的自 然数时，矩阵T将变得特殊。而且，一般情况下，k≤3，这就更为运算提供了方 便。
• 间接使用最小二乘法
• 实际应用中有许多趋势曲线不能直接使用最小 二乘法，但是只要经过简单的变换，它们就可 以变换成使用最小二乘的标准形式。如指数曲 线， yˆabt,yˆy0eat
最小二乘法是广泛使用的一种曲线拟合方法。 其优点是运算简单，能很好地平滑趋势中在随 机干扰，对方程式中的参数作出无偏估计。在 实际应用中，有两种情况，一是可以直接应用 最小二乘法，只要作简单的变量替代，就可以 进行，如多项式函数；另一种是方程式需要作 适当的变换，以转换成第一种情形，再作处理。
用最小二乘法估计参数a0，a1， a2，… ，ak 。设表示样本值，为其估 计值，那么其误差序列为
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
输入—输出法:只研究系统的端部特性，不研究 系统的内部结构，常用传递函数来表示。
状态变量法:可揭示系统的内部特征，可用于表 示线性或非线性、时变或时不变、多输入多输 出等系统，且更适合于计算机仿真与应用，故 得到广泛的应用。
在系统工程中，主要涉及离散系统的状态空间 模型。
• 模型中的系数可用最小二乘法得到。而多项式次 数，可根据残差平方和最小的原则确定，其算法 在相关的书籍中都可查到。
• 2. 指数函数:
•它适应于变化率和变量本身y成比 例的对象。如人口或生物种群的繁 殖生长，研究质变前的发展速度， 新产品在成长期的销售量等等。
3.生长曲线
生长曲线是用来描述生物生长过程的一种特殊曲 线。这是因为，生物生长过程一般经历发生、发展、 成熟和衰亡四个阶段，每个阶段的成长速度各不相同： 发生初期成长速度较慢，由慢渐快；发展时期成长速 度则较快；成熟时期，其成长速度则由最快开始变慢， 进入饱和状态。由于其曲线形如S，故又称为S曲线。 将这一过程推广到一般事物，它比较客观地描述了事 物演变规律。用它进行中长期预测比较可靠，因而该 方法得到广泛应用。S型曲线又叫Logistic曲线，它有 多种数学形式，这里简单介绍其中两种。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
在每个t+1 时刻：
x1(t+1) = max [x1(t)，x(t)] x2(t+1) = min [x2(t)，x(t)] 故，在t+1 时刻，y(t+1)的值可由x(t+1)，x1(t+1) 和x2(t+1)完全决定。依次类推，上述方程完全 描述了系统的行为。
• 以及Logistic,Gompartz曲线等，都可以使用最 小二乘法。下面仅以指数曲线为例。如
yˆ abt
• 最小的a0和a1，进而求得y0和a。需要说明的 是，这里求得是关于y0和a的有偏估计。因 此，当样本值之间变化幅度很大时，可以考 虑采用非线性的最小二乘法。
• 除了最小二乘法以外，参数辨识还可采用三 段和值法和三点法，具体算法可参见有关的 参考书籍，此处就不再赘述。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
例4-2：一般机械（振动）系统 由三种基本元件组成，即质量块、 弹簧和阻尼器。
设振动系统M的位移为x,并令
K
x1(t)=x(t),速度为x2(t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
F(t)
·m
B
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
y(t) = max [ x1(t)，x(t) ]– min [ x2(t)，x(t) ] 由于系统在t以前的历史可由两个变量x1(t)
和x2(t)的值完全描述，所以要决定时刻t的输出 值不必知道所有过去的输入值，只需在每个时 刻修正x1(t) 和x2(t) 即可，也就是说，在每个 t+1 时刻：
• X1(t),X2(t)就是描述飞机的飞行状态和状态变 量。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
在状态空间方法中，动态系统在时刻t0的输出 与之前时刻t0，t0–1，t0–2，…的输入值以及一定数量 的状态变量的数值有关。这些在t0的数值总结了系统 的过去历史对时刻t0时输出的影响。
– 机理法：定性+定量
图解法
• 图解法：经济学中的需求曲线D与供给曲线 S之间的关系。略。。
• S=f(p), • D=g(p)
拟合法
• 建模者根据某种假设选择一种模型，用以 解释观察的行为，如果收集到的数据说明 建模者的假设基本合理，则进一步按照某 种法则去选择模型的参数。
• 定量为主，以历史数据为依据建模及量化， 建模根据某种假设，选择一种理论模型和 模式，用以解释所观察行为。如果所收集 到的数据说明建模者的假设基本合理，则 进一步按照某种法则去选择模型参数
（1）Logistic曲线
• 该曲线由德国数学—生物学家P.F.Verhust
于1837年首先提出，之后由美国生物学家、
人口统计学家皮尔（Pearl）用它对生物繁
， 殖和生长过程进行了大量研究，故又称皮
尔曲线。其形式为
yt
K 1aebt
当上式中的t→∞时，yt→K，是达到饱和状态 的极限值，而且可求得yt对t的拐点，即增
第4章节系统模型与模型化
uR
uL
一、系统的状态和状态 变量
那么系统的状态
引入状态量 :
x1
Q ,x2
dQ dt
I
X
x1 x2
Q Q
Q I
X
x 1 x 2
Q Q
Q I
um
1 C
dQ dt
dt
um
d 2Q
dQ 1
L dt 2 R dt C Q u m
引入状态量
:
x1
Q , x2
dQ dt
I
um (t) uL (t) uR (t) uC (t) 0
uL
(t)
L
dI dt
uR (t) RI
uC
(t)
1 C
Idt
第三节
系统定量分析模型
一、系统的状态和状态变量
dx 和 x 是完全描述机械振动 dt
系统行为的最小集合
( 状态 )
令
x2
dx dt
, x1
x
即
x2
dx dt
,
x 2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一.时间序列预测模型
所谓时间序列(Time Series)，是指系统某一 变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排 列成一个数值序列x1，x2，…，xn。例如商场的 月销售额，城市的季度用电量，地区的工业总产 值等等。从系统的角度看，某一时间序列代表着 客观世界的某一动态过程，它是系统中某一变量 受其它各种因素影响的总结果，且表现为动态变 化，因此，时间序列也往往称为“动态数据”。 时间序列预测模型是利用时间序列所建立的数学 模型对未来进行预测的一种趋势法
例如，考虑一个离散系统，它在任一时刻的输出y(t)
定义为:在这以前系统输入的最大值与最小值之差。
显然，此系统是动态的，因为它在时刻t的输出不仅 取决于该时刻的输入x(t)。现在要问：要计算输出 y(t)，应知道系统在过去有多少输入？
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
uL
(t)
L
dI dt
uR (t) RI
uC (t)
1 C
Idt
第4章节系统模型与模型化
第三节 系统定量分析模型
一、系统的状态和状态 变量
uR
uL
根据霍夫电压定律:
um
uC
L dI dt
RI
1 C
Idt
um
令
I
dQ dt
, 2
R
dQ dt
第三节 系统定量分析模型
在前一节中,我们利用ISM方法建立了系统折结构模 型,往往是层次结构模型.在生活中,我们还有另类的模型: 数学模型. 在实际工作中,人们常常需要研究系统的动态品质，这就 需要建立系统的动态数学模型。
建立动态数学模型，研究系统的动态行为，
常采用两种方法：输入—输出法和状态变量法。
X AX BF
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
例4-3：一般机电系统由三种基 本元件组成，即电阻、电感和电 容器。
uR
uL
um
uC
第三节 系统定量分析模型
一、系统的状态和状态
变量
uR
uL
第4章节系统模型与模型化
um
uC
根据霍夫电压定律:
um (t) uL (t) uR (t) uC (t) 0
uC
x1 x 2
x 2
1 LC
x1
R L
1 L
um
x 1 x 2
0
1 LC
1
R L
一、系统的状态和状态变量
F(t)
x1 x2 (t)
x2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
x1(t)
x
2
(t
)
0
K m
1 B
m
x1 x2
0
1 m
F
(t
)
常见的与时间有关的模型:
一.常用的趋势曲线模型:
在实际应用中，最常用的是一些比较简单的 函数形式，如多项式函数、指数函数、生 长曲线和包络曲线等。
• 当k=1时，是线性模型；k=2时，为二次抛物线模 型；当k=3时，称为三次抛物线模型。实际上，三 次以上的多项式模型很少应用。线性模型用于描 述随时间均匀发展；二次抛物线模型描述增量ut= yt–yt-1均匀变化的过程，或者说以等加速度增加 或以等加速度减少的过程；三次抛物线描述加速 度与时间成比例增加或减少的过程。
长速度的转折点为，
t
ln
a
b
yt
1K 2
• 2）戈伯资（B.Gompertz）曲线：又称为双
指数模型，是英国统计学家和数学家发现
的，其形式如下
，
yt Kebekt
• 它和Logistic曲线类似，K 是饱和极限值 （t→∞时，yt→K），其拐点为：
t ln a k
yt Ke1
4.其它曲线趋势
• 实际上，预测用的趋势曲线远不止上述几 种，通过适当组合变形，还可以产生很多 可供选择的趋势曲线，如
（修正指数曲线）
•等等。因此，如何根据实际中预测对象的规律来选择合适 的趋势曲线是一个重要的问题。
二.趋势模型的参数辨识
在趋势模型选定后，首要的工作就是要确定 模型中的参数。不同的趋势模型可能会有不同 的参数辨识方法，但在实际应用中较多的是使 用最小二乘法，现简单介绍如下。
经济
外生变量
内生变量
控制
输入变量 决策变量（可控） 干扰变量（不可控）
输出变量
数学
自变量/参数
因变量
• 3 建模方法
– 图解法：定性为主，变量不超过2~3个。
– 拟合法：定量为主，以历史数据为依据建模 及量化，建模根据某种假设，选择一种理论 模型和模式，用以解释所观察行为。如果所 收集到的数据说明建模者的假设基本合理， 则进一步按照某种法则去选择模型参数。
数学模型建模方法概述
• 1数学模型定义
– 数学模型是按照某种数学语言（数学关系式、 拓扑结构、计算机语言等）对研究对象系统的 某些属性抽象描述和定量表达的结果。
• 2 利用数学模型建模的程序
数学模型建模程序
界定问题 （要素及 关系）
变量类型 模型结构
数据 建模
检验
计算 分析
变量类型
领域
类型1
类型2
一、系统的状态和状态 变量
牛顿力学：F(t)=ma
F (t) F1(t) F2 (t) ma
F (t)
k x(t )
B
dx dt
m
d 2x dt 2
d 2x dt 2
B m
dx dt
B m
x
1 m
F (t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
• 一、系统的状态和状态变量
• 1、状态：表示系统运行的特征属性的量。它 是完全描述t>t0时系统行为所需要变量的最小 集合。
• 2、状态变量：系统状态中的每个变量，即能 够完整的确定系统状态所必需的一组最少的变 量。
• 在飞机飞行中，可用飞机所在的位置高度和其 飞行的速度来表示飞机飞行的情况。
2
上式可以用标准的计算方法实现。但在手工运算中，当自变量t取间距相等的自 然数时，矩阵T将变得特殊。而且，一般情况下，k≤3，这就更为运算提供了方 便。
• 间接使用最小二乘法
• 实际应用中有许多趋势曲线不能直接使用最小 二乘法，但是只要经过简单的变换，它们就可 以变换成使用最小二乘的标准形式。如指数曲 线， yˆabt,yˆy0eat
最小二乘法是广泛使用的一种曲线拟合方法。 其优点是运算简单，能很好地平滑趋势中在随 机干扰，对方程式中的参数作出无偏估计。在 实际应用中，有两种情况，一是可以直接应用 最小二乘法，只要作简单的变量替代，就可以 进行，如多项式函数；另一种是方程式需要作 适当的变换，以转换成第一种情形，再作处理。
用最小二乘法估计参数a0，a1， a2，… ，ak 。设表示样本值，为其估 计值，那么其误差序列为
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
输入—输出法:只研究系统的端部特性，不研究 系统的内部结构，常用传递函数来表示。
状态变量法:可揭示系统的内部特征，可用于表 示线性或非线性、时变或时不变、多输入多输 出等系统，且更适合于计算机仿真与应用，故 得到广泛的应用。
在系统工程中，主要涉及离散系统的状态空间 模型。
• 模型中的系数可用最小二乘法得到。而多项式次 数，可根据残差平方和最小的原则确定，其算法 在相关的书籍中都可查到。
• 2. 指数函数:
•它适应于变化率和变量本身y成比 例的对象。如人口或生物种群的繁 殖生长，研究质变前的发展速度， 新产品在成长期的销售量等等。
3.生长曲线
生长曲线是用来描述生物生长过程的一种特殊曲 线。这是因为，生物生长过程一般经历发生、发展、 成熟和衰亡四个阶段，每个阶段的成长速度各不相同： 发生初期成长速度较慢，由慢渐快；发展时期成长速 度则较快；成熟时期，其成长速度则由最快开始变慢， 进入饱和状态。由于其曲线形如S，故又称为S曲线。 将这一过程推广到一般事物，它比较客观地描述了事 物演变规律。用它进行中长期预测比较可靠，因而该 方法得到广泛应用。S型曲线又叫Logistic曲线，它有 多种数学形式，这里简单介绍其中两种。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
在每个t+1 时刻：
x1(t+1) = max [x1(t)，x(t)] x2(t+1) = min [x2(t)，x(t)] 故，在t+1 时刻，y(t+1)的值可由x(t+1)，x1(t+1) 和x2(t+1)完全决定。依次类推，上述方程完全 描述了系统的行为。
• 以及Logistic,Gompartz曲线等，都可以使用最 小二乘法。下面仅以指数曲线为例。如
yˆ abt
• 最小的a0和a1，进而求得y0和a。需要说明的 是，这里求得是关于y0和a的有偏估计。因 此，当样本值之间变化幅度很大时，可以考 虑采用非线性的最小二乘法。
• 除了最小二乘法以外，参数辨识还可采用三 段和值法和三点法，具体算法可参见有关的 参考书籍，此处就不再赘述。
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化
一、系统的状态和状态变量
例4-2：一般机械（振动）系统 由三种基本元件组成，即质量块、 弹簧和阻尼器。
设振动系统M的位移为x,并令
K
x1(t)=x(t),速度为x2(t)
F(t)
·m
Kx(t))
Bv(t)
F(t)
·m
B
第三节 系统定量分析模型
第4章节系统模型与模型化