2024河南中考数学二轮复习微专题 “手拉手”模型——相似 模型探究系列 课件

“手拉手”模型——相似 模型探究系列
以题串模型
例 一题多问 如图（1），在 △

中，

= ， ∠ = ，点 ，
分别为 ， 的中点.将 △ 绕点 旋转，连接 ， .
图（1）
图（2）
图（3）

=
（1）图（1）中， ， 的数量关系为_______.

图（4）
（2）在图（2）的情形下，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请加以证
明；若不成立，请说明理由.
[答案] 成立.
证明： ∵


=


=


，∴


=

.

又 ∠ = ∠ − ∠ = ∠ − ∠ = ∠ ，
∴△ ∼△ ， ∴


=


= .
（3）图（2）中,延长 交 于点 ，求 ∠ 的度数.
[答案] 设 , 交于点 .
∵△ ∼△ ， ∴ ∠ = ∠ .
又 ∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ， ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ，
∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = .
（4）当 = 90∘ 时，如图（3）.

=
① 与 的数量关系为_______.

∘

②延长 交 于点 ，则 ∠ 的度数为_____.
（5）当 = 45∘ ， = 时，如图（4）.
.
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 △ ∼△ ；
2. ⊥ ；
3.点 在 △ 的外接圆上.
类型2 直角三角形的锐角顶点为公共点
△ ， △ 是直角三角形， 是直角顶点，
△ ∼△ < ， ∠ = ；将
号）
2.[2023新乡一模] 已知点 为 △ 和 △ 的公共顶点，将 △ 绕
点 顺时针旋转 0∘ < < 360∘ ，连接 ， .
图(1)
图(2)
图(3)
问题发现：
（1）如图（1），若 △ 和 △ 均为等边三角形.
=

；②成立．

理由：如图，延长 交 的延长线于点 ．
∵ ∠ = ∠ = ∘ ， ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ∼△ ， ∠ = ∠ ，
∴


∴


=


=


=

， ∴△

=

， ∠

∼△ ，


=
① 与 的数量关系为________.


∘

②设 ， 交于点 ，则 ∠ 的度数为_____.
模型总结
类型1 直Байду номын сангаас三角形的直角顶点为公共点
△ ， △ 是直角三角形， 是直角顶点，
△ ∼△ < ；将 △ 绕点 旋转，直线 ， 交于点
△ 绕点 旋转，直线 ， 交于点 ，所夹
锐角为 .
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 △ ∼△ ;
2. = ；
3.点 在 △ 的外接圆上.
强化训练
1.如图，在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠ = 90∘ ，
∠ = ∠ = 60∘ ， = 2 cm ， = 1 cm ．有下
列四个结论： ① △ ∼△ ； ② ⊥ ；
③∠ + ∠ = 45∘ ；④在 △ 绕点 旋转的过程中， △ 面积
①②④
的最大值为 2 3 + 2 cm2 .其中正确的是________.（填写所有正确结论的序
= ∠ ， ∴ =

．

∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∘ ．
即 =

，直线 与直线 相交所夹锐角的度数是 ∘

.
拓展应用：
（3）如图（3），若 ∠ = ∠ = 90∘ ， = ， = ，
①线段 与线段 的数量关系是__________；
∘

②直线 与直线 相交所夹锐角的度数是_____.
类比探究：
（2）如图（2），若 ∠ = ∠ = 90∘ ， ∠ = ∠ = 60∘ ，其他
条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由.
[答案] ①不成立， =
= 2 = 2 2 ，则当点 ， ， 共线时，请直接写出 的长．
[答案] 的长为 − 或 + ．
作业：
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