2020学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷(附详解——

2020学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1.设a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的()
A. 充分必要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
2.幂函数y=x−2的大致图象是()
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)={3x+1 x≤0
log2x x>0若f(x0
)>3，则x0的取值范围是()
A. x0>8
B. x0<0或x0>8
C. 0<x0<8
D. x0<0或0<x0<8
4.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1
f(x)
，且当x∈[−3,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=()
A. 10
B. 1
10C. −10 D. −1
10
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
5.已知集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，则A∩B=______．
6.不等式x2−4x+3≤0的解集是______．
7.函数y=√log2x的定义域为：______ ．
8.已知函数f(x)=x√x−1,g(x)=
√x−1
，则f(x)⋅g(x)=______．
9.函数f(x)=2
x−1
的值域是______．
10.函数f(x)=x2−1(x<0)的反函数f−1(x)=______．
11.已知函数f(x)=−x2+2ax+3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是
______．
12.已知条件p：2k−1≤x≤−3k，条件q：−1<x<3，p是q的必要条件，则实数
k的取值范围为______．
13.函数f(x)=|x2−4|−a恰有两个零点，则实数a的取值范围为______．
14.已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(−x)=f(x).若方程f(x)=0有2019个实数解，
则这2019个实数解之和为______．
15.已知a+b=100，b>0，则1
|a|+|a|
b
的最小值为______・
16.已知函数f(x)=log3(x+√x2+1)+2e x
e x+1
在[−k,k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=
______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.已知集合A={x|3x+4
x−2
>4,x∈R}，集合B={x||x−3|≤1,x∈R}，求集合A∪B．
18.已知函数f(x)=(a2−a+1)x a+2为幂函数，且为奇函数，函数g(x)=f(x)+x．
(1)求实数a的值及函数g(x)的零点；
(2)是否存在自然数n，使g(n)=2020？若存在，请求出n的值；若不存在，请说
明理由．
19.已知k∈R，a>0，且a≠1，b>0且b≠1，函数f(x)=a x+k⋅b x．
(1)如果实数a、b满足a>l，ab=l，试判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)设a>l>b>0，k≤0，判断函数f(x)在R上的单调性并加以证明．
20.已知函数f(x)=log a(8−2x)(a>0且a≠1)．
(1)若函数f(x)的反函数是其本身，求实数a的值；
(2)当a>1时，求函数y=f(x)+f(−x)的值域．
21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用
1单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的1
，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总
2
还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
(2)设f(x)=1
，现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均1+x2
分成2份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当a=1，b=−2时，满足a>b但“a2>b2”不成立，
当a=−3，b=−2时，满足“a2>b2”但a>b不成立，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，
故选：B．
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
2.【答案】C
，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
【解析】解：幂函数y=x−2=1
x2
可排除A，B；
值域为(0,+∞)可排除D，
故选：C．
利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．
考查了负指数幂的定义和函数定义域以及利用排除法做选择题．常用技巧，应属于掌握．3.【答案】A
【解析】解：①当x≤0时，f(x0)=3x0+1>3，
∴x0+1>1，
∴x0>0这与x≤0相矛盾，
∴x∈⌀．
②当x>0时，f(x0)=log2x0>3，
∴x0>8
综上：x0>8
故选A．
通过对函数f(x)在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础
题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中f(x+3)=−1f(x)的关系式．在解题过程中，条件f(x+a)=−1f(x)通常是告诉我们函数的周期为2a．
先通过f(x+3)=−1f(x)，可推断函数f(x)是以6为周期的函数．进而可求得f(107.5)=
f(5.5)，再利用f(x+3)=−1
f(x)
以及偶函数f(x)和x∈[−3,−2]时，f(x)=4x即可求得f(107.5)的值．
【解答】
解：因为f(x+3)=−1f(x)，故有f(x+6)=−
1
f(x+3)
=−1
−1
f(x)
=f(x).函数f(x)是以6
为周期的函数．
f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1
f(2.5)=−1
f(−2.5)
=−1
4×(−2.5)
=1
10
．
故选：B．
5.【答案】{−1,2}
【解析】解：∵集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，
∴A∩B={−1,2}，
故答案为：{−1,2}．
根据已知集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，以及集合交集运算法则我们易得出A∩B．本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．
6.【答案】[1,3]
【解析】解：不等式x2−4x+3≤0可化为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤3，
所以不等式的解集是[1,3]．
故答案为：[1,3]．
把不等式化为(x−1)(x−3)≤0，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
7.【答案】[1,+∞)
【解析】解：要使函数y=√log2x有意义，需
log2x≥0
解得x≥1
所以函数y=√log2x的定义域为：[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)
要使函数y=√log2x有意义，需log2x≥0解得x≥1，写出区间或集合的形式，即为函数的定义域．
本题主要考查函数的定义域的求法，这是给定解析式的类型，定义域涉及到对数函数要求真数大于零且底数大于零不等于1；开偶次方根的被开方数大于等于0；分母不等于0．
8.【答案】x(x>1)
，
【解析】解：因为f(x)=x√x−1,g(x)=
x−1
则f(x)⋅g(x)=x，
因为x−1>0，即x>1．
故答案为：x(x>1)
根据已知函数解析式代入即可直接求解．
本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础试题．
9.【答案】(−∞,0)∪(0,+∞)
【解析】解：结合反比例函数的性质可知，函数的值域(−∞,0)∪(0,+∞)．
故答案为：(−∞,0)∪(0,+∞)．
结合反比例函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数值域的求解，属于基础试题．
10.【答案】−√x+1(x>−1)
【解析】解：∵函数f(x)=x2−1(x<0)，
∴值域为(−1,+∞)，
y=x2−1，
∴反函数f−1(x)=−√x+1(x>−1)，
故答案为：−√x +1(x >−1)
求出值域值域为(−1,+∞)，根据得出x =−√y +1，转化变量求解反函数即可． 本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．
11.【答案】[4,+∞)
【解析】解：由题意可知，二次函数的对称轴x =a ， 由f(x)=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数， 结合二次函数的性质可知，a ≥4． 故答案为[4,+∞)
由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解． 本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．
12.【答案】(−∞,−1]
【解析】解：若p 是q 的必要条件， 则q ⇒p ，
即{−3k ≥−32k −1≤−1，得{k ≤−1k ≤0，得k ≤−1， 即实数k 的取值范围是(−∞,−1]， 故答案为：(−∞,−1]
根据必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合必要条件的定义转化为不等式关系是解决本题的关键．比较基础．
13.【答案】a =0或a >4
【解析】解：函数g(x)=|x 2−4|的图象如图所示，
∵函数f(x)=|x 2−4|−a 恰有两个零点， ∴a =0或a >4．
故答案为：a =0或a >4．
画出函数y =|x 2−4|，与y =a 的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可． 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数
判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．
14.【答案】0
【解析】解：因为函数f(x)满足f(−x)=f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，
若方程f(x)=0有2019个实数解，函数图象关于y 轴对称， 则这2019个实数解之和为0． 故答案为：0
由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于y 轴对称，从而可求． 本题主要考查了偶函数对称性性质的应用，属于基础试题．
15.【答案】19
100
【解析】解：显然a ≠0． ①当a >0时，1|a|
+|a|b =1a +a
b =1
100
(a+b)a
+a
b =
1100
+(
b 100a
+a b
)≥
1
100
+2√
b 100a
⋅a b
=
21100
，
当且仅当{a +b =100
b =10a
，即a =10011，b =100011时等号成立；
②当a <0时，1|a|+|a|b
=1−a +
−a b
=
1
100
(a+b)−a +
−a b
=−
1100
+(
b −100a
+
−a b
)≥−1100
+2√b −100a
+
−a b
=
19100
，
当且仅当{a +b =100
b =−10a
，即a =−1009，b =10009时等号成立．
综上，1|a|+
|a|
b
的最小值为19
100． 故答案为：19
100．
由题意可知a ≠0，分a >0和a <0两类取绝对值，结合a +b =100，利用基本不等式求最值．
本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．
16.【答案】2
【解析】解：∵f(x)+f(−x)=log3(x+√x2+1)+2e x
e x+1+log3(−x+√x2+1)+2e−x
e−x+1
=log3[(√x2+1+x)(√x2+1−x)]+2e x
e x+1+
2
e x
1
e x
+1
=log31+2(e x+1)
e x+1
=2，
∴f(x)关于(0,1)中心对称，
可得f(x)取得最值的两点也关于点(0,1)对称，则M+m=2．
故答案为：2．
由已知结合f(x)+f(−x)=2可得f(x)关于(0,1)中心对称，由此可得M+m的值．
本题考查函数对称性的性质的应用，考查计算能力，是中档题．
17.【答案】解：∵A={x|x−12
x−2
<0}={x|2<x<12}，B={x|2≤x≤4}，
∴A∪B={x|2≤x<12}．
【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=(a2−a+1)x a+2为幂函数，
所以a2−a+1=1，所以a2−a=0，解得a=0或a=1，
又f(x)为奇函数，所以a=1，f(x)=x3，
所以函数g(x)=x3+x，
令g(x)=0，得x3+x=0，解得x=0，
所以函数g(x)的零点为0；
(2)函数g(x)=x3+x的定义域为R，
任取x1，x2∈R，且x1<x2，则
g(x1)−g(x2)=(x13+x1)−(x23−x2)=(x13−x23)+(x1−x2)
=(x1−x2)(x12+x1x2+x22+1)=(x1−x2)[(x1+1
2x2)2+x22
4
+1]，
由x1<x2，得x1−x2<0，(x1+1
2x2)2+x22
4
+1>0，
所以g(x1)<g(x2)，所以函数g(x)=x3+x在R上单调递増，
又计算g(12)=1740，g(13)=2210，
所以不存在符合题意的n值．
【解析】(1)由幂函数和奇函数的定义，列方程求出a的值，再求函数g(x)的零点；(2)用定义证明函数g(x)在R上单调递増，计算g(12)<2020、g(13)>2200，即可得
出结论．
本题考查了幂函数的定义与应用和利用定义法证明函数的单调性，是中档题．
19.【答案】解：(1)由已知，b=1
，于是，
a
f(x)=a x+ka−x，则
f(−x)=a−x+ka x，
若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)，即a x+ka−x=a−x+ka x，
所以(k−1)(a x−a−x)=0对任意实数x恒成立，所以k=1，
若函数f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即a−x+ka x=−(a x+ka−x)，
所以(k+1)(a x+a−x)=0对任意实数x恒成立，所以k=−1，
综上，当k=1时，f(x)是偶函数，
当k=−1时，f(x)是奇函数，
当k≠±1时，f(x)不是奇函数也不是偶函数．
(2)因为a>1，0<b<1，所以函数y=a x是增函数，y=b x是减函数，
由k≤0知，y=a x+kb x是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数，
证明：设x1，x2∈R且x1<x2，
则f(x2)−f(x1)=a x2+kb x2−a x1−kb x1=(a x2−a x1)+k(b x2−b x1)，
因为a>1，0<b<1，x1<x2，k≤0，
所以a x2−a x1>0，k(b x2−b x1)≥0，
所以f(x2)−f(x1)>0，
所以函数f(x)在R上是增函数．
，于是，f(x)=a x+ka−x，f(−x)=a−x+ka x，由奇偶性【解析】(1)由已知，b=1
a
的定义可得出结论．
(2)根据题意得，函数y=a x是增函数，y=b x是减函数，由k≤0知，y=a x+kb x是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数，再用单调性的定义证明即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为y=f(x)=log a(8−2x)，
∴8−2x=a y，即x=log2(8−a y)，
所以反函数y=log2(8−a x)，
故a=2；
(2)当a>1时，由8−2x>0可得x<3，
故y=f(x)+f(−x)的定义域(−3,3)，
∵y=f(x)+f(−x)=log a(8−2x)+log a(8−2−x)=log a[65−8(2x+2−x)]，
因为8(2x+2−x)≥16，当且仅当x=0时取等号，
所以0<65−8(2x+2−x)≤49，
故函数的值域(−∞,log a49]
【解析】(1)先求反函数的解析式，利用反函数与函数解析式相同可求a；
(2)先求出函数的定义域，化简函数解析式，然后利用基本不等式，结合对数函数的性质可求．
本题主要考查了反函数的求解及利用基本不等式及对数函数的性质求解函数值域，属于中档试题．
21.【答案】解：(1)f(0)=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化;
(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1=1×f(a)=1
1+a
，
又如果用a
2单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f(
a
2
)=1
1+(a
2
)2
，
此后再用a
2单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=
1
1+(a
2
)2
⋅f(a
2
)=[1
1+(a
2
)2
]2=
16
(4+a2)2
，
由于W1−W2=1
1+a2−16
(4+a2)2
=a2(a2−8)
(1+a2)(4+a2)2
，
当a>2√2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后清洗两次，残留的农药量较少;
当a=2√2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同;
当0<a<2√2时，W1<W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少．
【解析】(1)f(0)表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f(0)=1；
(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：1
1+a2
①；
用a
2单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：
1
1+(a
2
)2
⋅1
1+(a
2
)2
②；作差①−②比较即可．
本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．。