高考数学总复习 115古 典 概 型课后作业 北师大版

一、选择题
1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为3 4
C．淋雨的可能性为1
2
D．淋雨的可能性为
1
4
[答案] D
[解析]此次野营共4种结果：下雨，收到帐篷；不下雨，收到帐篷；下雨，未收到帐篷；不下雨，未
收到帐篷．只有“下雨，未收到帐篷”会淋雨，所以P＝1 4 .
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A.1
5
B.
1
4
C.4
5
D.
1
10
[答案] C
[解析]从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记事件A)包
含8个基本事件，所以所求概率为P(A)＝8
10
＝
4
5
.
3．(文)(2012·济南统考)甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A.1
4
B.
1
3
C.1
2
D.
2
3
[答案] C
[解析]记两个房间的号码为1,2，则共有以下4个等可能事件：1甲2乙，1乙2甲，1甲1乙，2甲2
乙．故所求概率为P＝2
4
＝
1
2
.
(理)如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其两个闭合，则电路被接通的概率为( )
A ．1 B.1
2
C.1
4 D ．0 [答案] B
[解析] 四个开关任意闭合2个，有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共6种方案，电路被接通的条件是：①开关d 必须闭合；②开关a ，b ，c 中有一个闭合．即电路被接通有ad 、bd 和cd 共3种方案，所以所求的概率是36＝1
2
.故选B. 4．(2012·深圳模拟)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)．设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是( )
A.16
B.512
C.712
D.13 [答案] B
[解析] 总共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝
5＋4＋3＋2＋136＝5
12
.
5．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( ) A.12 B.1
4 C.38 D.58 [答案] C
[解析] 总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所求事件的概率为38
.
6．(文)在集合⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＝
n π
6，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝1
2的概率是( )
A.15
B.1
10 C.13 D.12 [答案] A
[解析]数字1,2,3，…，10每个数字被取到的可能性一样．其中满足cos x＝1
2
的有n＝2,10两个，故P
＝2
10
＝
1
5
.
(理)从三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )
A.
1
20
B.
1
15
C.
1
5
D.
1
6
[答案] C
[解析]从六条棱中任选两条有C26＝15种，在两条棱中是一对异面直线的有3对，故其概率为
3
15
＝
1
5
.故
选C.
二、填空题
7．(2011·江苏，5)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
[答案]1 3
[解析]用枚举法可以得到基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，其中一
个为另一个两倍的有两种，所求概率大小为1 3 .
8．(文)一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．
[答案]11 12
[解析]基本事件共36个，∵方程有实根，∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，∴m＋n≥4，
其对立事件是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，∴所求概率为P＝1－3
36
＝
11
12
.
(理)(2011·重庆文，14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．
[答案]7 30
[解析]此题考查古典概型的概率问题，特殊元素优先考虑．从10位同学任选3名有C310中选法，即n＝C310＝120.
令A＝“3位中有甲但无乙”，事件A含基本事件数m＝C28＝28.
∴P(A)＝m
n
＝
28
120
＝
7
30
.
三、解答题
9．(2011·山东文，18)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解析]记甲校的两名男教师为A1，A2,1名女教师为B1，记乙校的1名男教师为A3，两名女教师为B2，B3.
(1)从甲校、乙校各选1名教师的所有可能结果为(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共9种，其中性别相同的选法为：(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，
共4种，所求概率为P＝4 9 .
(2)从报名的6名教师中任选2名，所有结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共15种，来自同一学校的情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A2，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共6种，则所求概率为
P＝6
15
＝
2
5
.
一、选择题
1．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A.1
2
B.
1
3
C.1
4
D.
1
5
[答案] A
[解析]甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，所有基本事件的个数为4，甲、乙将
贺年卡送给同一人包含的基本事件的个数为2，故所求概率为2
4
＝
1
2
，选A.
2．(文)设a、b分别是是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程x2＋ax＋b ＝0有两个不相等的实数根的概率为( )
A.2
3
B.
1
3
C.1
2
D.
5
12
[答案] A
[解析] 由已知得b ＝2，则Δ＝a 2－4b ＝a 2
－8>0，解得a >22，故a ＝3,4,5,6，故所求概率为46＝23，
选A.
(理)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →
|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A.17 B.27 C.37 D.47 [答案] C
[解析] 由|AB →|＝k 2
＋1≤10，解得－3≤k ≤3，
又k ∈Z ，故k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.BC →＝AC →－AB →
＝(2,4)－(k,1)＝(2－k,3)
若A 是直角，则AB →·AC →＝(k,1)·(2,4)＝2k ＋4＝0，得k ＝－2；若B 是直角，则AB →·BC →
＝(k,1)·(2－k,3)＝(2－k )k ＋3＝0，得k ＝－1或3；
若C 是直角，则BC →·AC →
＝(2－k,3)·(2,4)＝2(2－k )＋12＝0，得k ＝8(不符合题意)． 故△ABC 是直角三角形的概率为3
7，选C.
二、填空题
3．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________． [答案] 12
[解析] 本题主要考查古典概型的知识，题目情境简单，难度不大，是最基础的概率应用问题． 设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1
2
.
4．(文)甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
[答案] 4
9
[解析] 数字a ，b 的所有取法有62
＝36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49.
(理)(2011·福建理，13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
[答案] 3
5
[解析]从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)，故所求概率
为6
10
＝
3
5
.
三、解答题
5．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
[解析](1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，
红)、(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.
事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为
P(A)＝3 8 .
6．(文)(2011·江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析]将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)可见共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝1 10，
(2)P(E)＝3
5
，P(F)＝P(D)＋P(E)＝
7
10
.
(理)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
高校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C
54
y
(1)求x ，y ；
(2)若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． [解析] 本题考查分层抽样的概念及应用、等可能事件的概率等基础知识．
(1)由题意可得，x 18＝236＝y
54
，所以x ＝1，y ＝3.
(2)记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共10种．
设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共3种．因此P (X )＝3
10
.
故选中的2人都来自高校C 的概率为3
10
.
7．(文)把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2
，解答下列各题：
(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．
[解析] 事件(a ，b )的基本事件共有36个． 由方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，
可得⎩
⎪⎨
⎪
⎧
2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3.
(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，
即b ≠2a ，而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率为P 1＝3336＝1112.
(2)方程组只有正数解，需b －2a ≠0且
⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝
6－2b
2a －b
>0，y ＝2a －32a －b >0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >b ，a >32，
b <3
或⎩⎪⎨⎪⎧
2a <b ，
a <32，
b >3.
其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率为13
36
.
(理)已知实数a 、b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率； (2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点的概率．
[分析] 本题主要考查直线、圆及古典概型等基础知识，考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法，以及简单的推理论证能力．
[解析] 由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点”为事件B .
(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≥0，
b ≥0.
即满足条件的实数对(a ，b )的取值为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种． ∴P (A )＝416＝1
4
.
故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为1
4
.
(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则必须满足
|b |
a 2＋1
≤1，即b 2≤a 2
＋1.
若a ＝－2，则b 的值可以为－2，－1,1,2此时实数对(a ，b )有4种不同取值； 若a ＝－1，则b 的值可以为－1,1，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝2时，则b 的值可以为－2，－1,1,2，此时实数对(a ，b )有4种不同取值；
若a ＝1，则b 的值可以以－1,1，此时实数对(a ，b )有2种不同取值．∴满足条件的实数对(a ，b )共有12种不同取值，
∴P (B )＝1216＝3
4
.
故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2
＝1有公共点的概率为34
.
[点评] 古典概型是高考重点的内容之一，古典概型求解的关键是找到试验的基本事件的总数和要求事件所包含的基本事件数．。