华南农业大学2007高等代数(上)考试卷(A)

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2007学年第一学期 考试科目： 高等代数（上）
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟
一、填空题（2⨯5=10分）
1、设
()()()()1f x u x g x v x +=，则()()()(),f x f x g x +=
2、设121
11
1,2
1
2
A =--则112131A A A -+=
3、若方程组 12312312
3000
ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 只有零解，则a。

4、设()()()1231,1,2,1,1,0,0,1,1,2,,1k ααα===的一极大无关组是它本身，
则
k。

5、若二次型()()11212211,,22x f x x x x x ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则二次型的秩是：
二、单项选择题（2⨯5=10分）
1、设非零多项式
()f x 不整除()g x ，则必有（ ）
()()()
()()()()()()
()
()()(),1A g x f x B f x g x g x C D f x g x f x =也不整除不是多项式与没有公共根
2、设,A B 均为n 阶方阵，则220002000n n
A B ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）
()
()()()2222n
n
A A B
B A
B
C A B
D A B
3、设有矩阵方程：
2AX E A X
+=+，其中A E -可逆，则（ ） ()
()()
()
A X A
B X E
C X A E
D X A E
===-=+
4、设三元非齐次线性方程组AX B =的系数矩阵每一行的元素之和都为零，则（ ）
()()1,
1,1A '是0AX =的解向量 ()
()1,
1,1B '是A X B =的解向量
()()()()13C R A D R A ==
5、设二次型
()12,,...n f x x x 经非退化线性变换后化为标准形：
22
21122...r r a y a y a y +++，当且仅当（ ）时，二次型是正定的。

()()()()()()()()
01,2,...,01,2,...,01,2,...,01,2,...,i i i i A a i r r n B a i r r n
C a i r r n
D a i r r n >==≥==>=≤≥=≤
三、判别题（2⨯5=10分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）若
()()()(),1f x f x g x '=，则()f x 没有重根。

2、（ ）
()()()2
22
1
11
a a
b b
c a c b b a c c =--- 3、（ ）设A 、B 都是n 阶方阵，若有2
A E =，则必有A E =或A E =- 4、（ ）设向量组()()12,,...,1,2,...,i
i i in a a a i s α==线性无关，则向量组
()
()12,,...,,1,2,...,i i i in i a a a b i s β==也线性无关。

5、（ ）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性。

四、计算题（7⨯5=35分）
1、求多项式
()4322344f x x x x x =--++的在复数域上的标准分解式。

2、计算行列式
1111
110010101001。

3、已知()*3,3,1η'=-是方程组12312312
3441624
x x x x ax x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 之一解，求此方程组用其导出组的 基础解系表示的一般解。

4、设()1,1,1,T A ααα=-=，求2A 及()1
A E -- 。

5、设实二次型()123,,f x x x 的矩阵A 与012111210B -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
合同，求该二次型的秩和
正惯性指数。

五、证明题（7⨯5=35分）
1、证明：如果()
()1n x f x -，则()()1n n x f x -；
2、 设n 阶方阵A 的行列式0A =，且它的一代数余子式110A ≠，证明： （1）()11121,,...,n A A A '是齐次线性方程组0AX =的一个非零解； （4分） （2）0AX =的通解为()11121,,...,n k A A A '，其中k 为任意常数。

（3分）
3、证明n 维向量组12,,......,n ααα线性无关的充要条件是：任一n 维向量β都可由
12,,......,n ααα线性表示。

4、设 A 是 n 阶可逆方阵，证明：()()1
1
**A A --=
5、设A 是正定矩阵，证明：
（1）2
A 是正定矩阵； （4分） （2）()A A E +是正定矩阵。

（3分）。