福建省泉州实验中学2020年中考数学质检试卷(二) 解析版

2020年福建省泉州实验中学中考数学质检试卷（二）
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1．下列运算正确的是（）
A．（﹣2）2÷B．3x2﹣4x2＝﹣1
C．D．（x﹣2）﹣3＝x6
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（）
A．0.11048×104B．1.1048×1011
C．0.11048×1012D．1.1048×103
3．如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1D．
5．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
6．《九章算术》中有这样一段表述：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其意大致为：今有上等稻七捆，减去一斗，加入下等稻二捆，共计十斗；下等稻八捆，加上一斗、上等稻二捆，共计十斗．问上等稻、下等稻一捆各几斗？
设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为（）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）
A．18°B．27°C．36°D．54°
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）
A．B．C．D．2
9．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2
﹣＝的解为正数的a共有（）
A．2个B．3个C．4个D．1个
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．把多项式4x﹣4x3因式分解为：．
12．不等式组的最大整数解为．
13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点B，若BC＝CE，则∠B的正弦值为．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．计算：﹣（π﹣3）0﹣cos45°．
18．先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣1＝0．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝2，cos A＝，求点B到点E的距离．
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
21．已知如图是边长为10的等边△ABC ．
（1）作图：在三角形ABC 中找一点P ，连接P A 、PB 、PC ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 面积相等．（不写作法，保留痕迹．） （2）求点P 到三边的距离和P A 的长．
22．某公司根据市场计划调整投资策略，对A 、B 两种产品进行市场调查，收集数据如下表：
项目 产品 年固定成本 （单位：万元）
每件成本 （单位：万元）
每件产品销售价 （万元） 每年最多可生产的件数 A 20 m 10 200 B
40
8
18
120
其中，m 是待定系数，其值是由生产A 的材料的市场价格决定的，变化范围是6＜m ＜8，销售B 产品时需缴纳
x 2万元的关税．其中，x 为生产产品的件数．假定所有产品都能
在当年售出，设生产A ，B 两种产品的年利润分别为y 1、y 2（万元）． （1）写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式，注明其自变量x 的取值范围． （2）请你通过计算比较，该公司生产哪一种产品可使最大年利润更大？
23．某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量
（单位：
个），整理得下表：
日需求量1518212427
频数108732（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；
（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个？
24．已知：AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，连接AD，OC．
（1）如图1，求证：AD∥OC；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：AD＝2OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OF＝BE，连接DF并延长交⊙O于点G，过点G作GH⊥AD于点H，连接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的长．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．
（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；
（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．
2020年福建省泉州实验中学中考数学质检试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（）
A．（﹣2）2÷B．3x2﹣4x2＝﹣1
C．D．（x﹣2）﹣3＝x6
【分析】利用实数的运算法则对A进行判断；利用合并同类项对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝4×＝5，所以A选项错误；
B、原式＝﹣x2，所以B选项错误；
C、原式＝﹣＝5﹣，所以C选项错误；
D、原式＝x6，所以D选项正确．
故选：D．
2．截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（）
A．0.11048×104B．1.1048×1011
C．0.11048×1012D．1.1048×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1104.8亿＝110480000000，所以将1104.8亿用科学记数法表示为1.1048×1011，
故选：B．
3．如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的俯视图为
故选：D．
4．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1D．
【分析】由抛物线y＝2（x﹣1）2可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴x＝＝1即可求解；
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，
∴m＝﹣；
将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；
故选：A．
5．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD等边三角形，再利用垂直平
分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解答】解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，
故选：D．
6．《九章算术》中有这样一段表述：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其意大致为：今有上等稻七捆，减去一斗，加入下等稻二捆，共计十斗；下等稻八捆，加上一斗、上等稻二捆，共计十斗．问上等稻、下等稻一捆各几斗？
设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为（）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意表示出7捆上等稻+2捆下等稻＝11，8捆下等稻+1+2捆上等稻＝10，分别得出等式即可．
【解答】解：设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为：
．
故选：A．
7．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）
A．18°B．27°C．36°D．54°
【分析】连接BC，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到∠ABP＝90°，求出∠BAP，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵BP是⊙O的切线，
∴AB⊥BP，
∴∠ABP＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）
A．B．C．D．2
【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
9．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有（）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【分析】根据关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，可得抛物线对称轴小于﹣1，根据关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，可得x＞0，解得a＞﹣3，进而可得a的取值范围，得结论．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，
∴抛物线对称轴方程x＝，
即≥﹣1，
解得a≥1，
∵关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，
∴x＞0，
解分式方程，得x＝6﹣2a，
∴6﹣2a＞0，
解得a＜3，
∴1≤a＜3，
∵从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，
∵解分式方程，得x＝6﹣2a，
当a＝时，x＝3，原分式方程的分母为0，
∴a≠，
∴符合条件的正数a共有2个，为1，．
故选：A．
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2020次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2020÷3＝673…1，
∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．把多项式4x﹣4x3因式分解为：4x（1+x）（1﹣x）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4x（1﹣x2）
＝4x（1+x）（1﹣x）．
故答案为：4x（1+x）（1﹣x）．
12．不等式组的最大整数解为2．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集是﹣6＜x≤2，
则它的最大整数解是2，
故答案为：2．
13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是0．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a ﹣1）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范围内的最大整数即可．
【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0，
解得a≤且a≠1，
所以整数a的最大值为0．
故答案为0．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交于D，交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为+﹣1．
【分析】连接OD，根据已知条件得到OC＝BC＝OB＝OC，求得∠ODC＝30°，CD ∥OA，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵OB＝OA＝OD，点C是OB的中点，
∴OC＝BC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠OCD＝∠BCD＝∠AOB＝90°，
∴∠ODC＝30°，CD∥OA，
∴∠AOD＝∠CDO＝30°，CE＝OA＝1，
∴CD＝OC＝，
∴阴影部分的面积为+1×﹣（1+2）×1+1×1＝+﹣1，
故答案为：+﹣1．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点B，若BC＝CE，则∠B的正弦值为．
【分析】延长AE交BC于F，过点F作FH⊥AB于H，由角平分线的性质可求CF＝FH，由余角的性质可得∠AFC＝∠AED＝∠CEF，可得CE＝CF＝FH，利用锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，延长AE交BC于F，过点F作FH⊥AB于H，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF，
又∵FH⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CF＝FH，
∵∠ACF＝∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°＝∠BAF+∠AED，
∴∠AFC＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF＝FH，
∵BC＝CE，
∴BC＝CF，
∴BF＝CF，
∴sin B＝＝＝，
故答案为．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为2或．
【分析】分两种情况讨论，当点A'落在BD上时，由折叠的性质可得AH＝A'H，由平行线分线段成比例可求AE的长；
当点A'落在BC上时，由勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求AN的长，由勾股
定理可求AE的长．
【解答】解：如图，当点A'落在BD上时，连接AA'交EF于H，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AH＝A'H，
∵EF∥BD，
∴，
∴AE＝DE＝AD＝2；
若点A'落在BC上时，
如图，当点A'落在BC上时，连接AA'交EF于点H，过点A'作A'N⊥AD于N，
∵A'N⊥AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝A'N＝3，AN＝A'B，
∵AB＝3，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝＝5，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AA'⊥EF，AE＝A'E，AF＝A'F，
∵EF∥BD，
∴AA'⊥BD，
∴∠AA'B+∠A'BD＝90°，
又∵∠ABD+∠A'BD＝90°，
∴∠ABD＝∠AA'B，
∴tan∠ABD＝tan∠AA'B＝＝，
∴BA'＝＝，
∵A'E2＝A'N2+NE2，
∴AE2＝9+（AE﹣）2，
∴AE＝，
综上所述：AE＝2或，
故答案为：2或．
三．解答题（共1小题）
17．计算：﹣（π﹣3）0﹣cos45°．
【分析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简进而答案．
【解答】解：原式＝
＝．
18．先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣1＝0．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+3x﹣1＝0即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝3x（x+3）
＝3x2+9x，
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴原式＝3x2+9x＝3（x2+3x）＝3×1＝3．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝2，cos A＝，求点B到点E的距离．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到DE＝BC，DE∥BC，于是得到四边形BCED是平行四边形；
（2）连接BE，根据已知条件得到AD＝BD＝DE＝2，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE＝90°，AE＝4，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：连接BE，
∵DA＝DB＝2，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝2，
∴∠ABE＝90°，AE＝4，
∵cos A＝，
∴AB＝1，
∴BE＝＝．
20．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．
（1）填空：一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2，反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点A（m，1）和B（1，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，1），
∴反比例函数解析式为：y＝；
∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），
∴﹣3＝﹣1+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；
故答案为：y＝﹣x﹣2，；
（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B 作BD⊥CD于D，
设点P的坐标为（x，0），
∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∵∠APC+∠CAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
又∵∠C＝∠BDP＝90°，
∴△ACP∽△PBD，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴点P（﹣1+，0）；
当∠ABP＝90°时，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），
∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，
∵cos∠OCD＝，
∴，
∴CP＝6，
∵点C（﹣2，0），
∴点P（4，0），
综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．
21．已知如图是边长为10的等边△ABC．
（1）作图：在三角形ABC中找一点P，连接P A、PB、PC，使△P AB、△PBC、△P AC 面积相等．（不写作法，保留痕迹．）
（2）求点P到三边的距离和P A的长．
【分析】（1）依据△P AB、△PBC、△P AC面积相等，可得点P为△ABC的内心，作△ABC的内角平分线，交点P即为所求；
（2）依据∠DBP＝30°，∠ADB＝90°，BD＝BC＝5，即可得到点P到三边的距离为，进而得出AP＝AD﹣PD＝．
【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）由（1）可得，点P为△ABC的内角平分线的交点，
∴∠DBP＝30°，∠ADB＝90°，BD＝BC＝5，
∴PD＝tan30°×BD＝，
∴点P到三边的距离为，
∵Rt△ABD中，AD＝tan60°×BD＝5，
∴AP＝AD﹣PD＝5﹣＝．
22．某公司根据市场计划调整投资策略，对A、B两种产品进行市场调查，收集数据如下表：
项目产品
年固定成本
（单位：万元）
每件成本
（单位：万元）
每件产品销售价
（万元）
每年最多可生产
的件数
A20m10200
B40818120
其中，m是待定系数，其值是由生产A的材料的市场价格决定的，变化范围是6＜m＜8，销售B产品时需缴纳x2万元的关税．其中，x为生产产品的件数．假定所有产品都能在当年售出，设生产A，B两种产品的年利润分别为y1、y2（万元）．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式，注明其自变量x的取值范围．
（2）请你通过计算比较，该公司生产哪一种产品可使最大年利润更大？
【分析】（1）根据A产品的年利润＝每件售价×年销售量﹣（年固定成本+每件成本×销售量），B产品的年利润＝每件售价×年销售量﹣（年固定成本+每件成本×销售量）﹣特别关税，分别求出y1，y2与x的函数关系式，根据表格写出自变量x的取值范围；（2）利用函数的性质求得最大值，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y1，y2分别为：
y1＝10x﹣（20+mx）＝（10﹣m）x﹣20（0≤x≤200），
y2＝18x﹣（40+8x）﹣x2＝﹣x2+10x﹣40（0≤x≤120）．
（2）∵6＜m＜8，
∴10﹣m＞0，
∴y1＝（10﹣m）x﹣20随着x的增大而增大，
当m＝6，x＝200时，利润最大为780万元；
∵y2＝﹣x2+10x﹣40＝﹣（x﹣100）2+460，
∴当x＝100时，利润最大为460万元，
∴该公司生产A种产品可使最大年利润更大．
23．某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量1518212427
频数108732（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；
（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个？
【分析】（1）日需求量为15个，新款面包的日利润X＝15×（10﹣4）+（20﹣15）×（2﹣4）＝80（元）；
（2）新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为18个，新款面包的日利润为X＝18×（10﹣4）+（20﹣18）×（2﹣4）＝104（元），日需求量不少于20个，新款面包的日利润为X＝20×（10﹣4）＝120（元），则该店新款面包出炉的个数均为20个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（80×10+104×8+120×12）＝102.4（元）；若新款面包出炉的个数均为21个，日需求量为15个，新款面包的日利润为X＝15×（10﹣4）+（21﹣15）×（2﹣4）＝78（元），日需求量为18个，新款面包的日利润为X＝18×（10﹣4）+（21﹣18）×（2﹣4）＝102（元），日需求量不少于21个，新款面包的日利润为X＝21×（10﹣4）＝126（元），则该店新款面包出炉的个数均为21个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（78×10+102×8+126×12）≈103.6（元）；即可得出结果．
【解答】解：（1）该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（20﹣15）×（2﹣4）＝90﹣10＝80（元）；
（2）新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（20﹣18）×（2﹣4）＝108﹣4＝104（元），
日需求量不少于20个，新款面包的日利润为：X＝20×（10﹣4）＝120（元），
∴该店新款面包出炉的个数均为20个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（80×10+104×8+120×12）＝＝102.4（元）；
若新款面包出炉的个数均为21个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（21﹣15）×（2﹣4）＝90﹣12＝78（元），
日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（21﹣18）×（2﹣4）＝108﹣6＝102（元），
日需求量不少于21个，新款面包的日利润为：X＝21×（10﹣4）＝126（元），
∴该店新款面包出炉的个数均为21个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（78×10+102×8+126×12）＝≈103.6（元）；
∵103.6＞102.4
∴这款面包日均出炉个数定为21个比20个利润大，
∴这款面包日均出炉个数定为21个．
24．已知：AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，连接AD，OC．
（1）如图1，求证：AD∥OC；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：AD＝2OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OF＝BE，连接DF并延长交⊙O于点G，过点G作GH⊥AD于点H，连接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的长．【分析】（1）证明∠DAB＝∠COB即可．
（2）由于O是圆心，也就是直径的中点，于是延长CO交⊙O于F，延长CE交圆O于G，连接FG，BD，则OE为中位线，再证AD＝FG即可．
（3）连接BD交OC于N，则OC垂直平分BD，注意到OCB是等腰三角形，于是可得
△COE≌△BON，从而DN＝BN＝CE，CN＝BE＝OF＝x，在Rt△OCE中利用勾股定理可以求出x，延长CO交HG于R，交⊙O于P，可得△RFG是等腰直角三角形，于是FG＝RF，对于交点F使用相交弦定理可以算出RF长度，再算出HR长度即可由勾股定理得出CH长度．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，
∵BC＝CD，
∴∠COD＝∠COB＝∠BOD，
∵∠DAB＝∠BOD，
∴∠DAB＝∠COB，
∴AD∥OC．
（2）如图2，延长CO交圆O于F，延长CE交圆O于G，连接FG，BD，
则∠CGF＝∠BDA＝90°，
∵CE⊥AB于E，
∴CG＝2CE，∠OEC＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠COE＝∠DAB，∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠OCE＝∠DBA，
∴AD＝FG
∵CO＝FO，
∴OE＝FG，
∴AD＝2OE．
（3）如图3，延长CO交圆O于P，连接BD交OC于N，作PM⊥AD于M，连接BC、BF．
则∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴DN＝BN，
∵CE⊥AB于E，
∴∠OEC＝∠ONB＝90°，
∵OB＝OC，∠COE＝∠BON，
∴△COE≌△BON（AAS），
∴BN＝CE＝3，ON＝OE，
∴DN＝BN＝3，CN＝BE＝OF，
∵∠CFG＝135°，
∴∠DFC＝∠PFG＝45°，
∴FN＝DN＝3，DF＝DN＝3，
设BE＝x，则OC＝3+2x，OE＝3+x，
在Rt△OCE中：
OE2+CE2＝OC2，所以（3+x）2+9＝（3+2x）2，解得x＝1，
∴CF＝4，OC＝OB＝5，AB＝CP＝10，PF＝6，
∵FM⊥AD，
∴∠FMD＝∠FMH＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠MDF＝∠DFC＝45°，
∴MF＝DM＝DF＝3，
设CP交HG于R，
∵HG⊥AD，
∴CP⊥HG，
∴∠GRF＝∠HRF＝90°，
∴RF＝RG，FG＝RF，HR＝MF＝3，
又∵CF•PF＝DF•FG，
∴24＝6RF，
∴RF＝4，
∴CR＝CF+RF＝8，
在Rt△CHR中：CH2＝HR2+CR2＝9+64＝73，
∴CH＝．
25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．
（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；
（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．
【分析】（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；
（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；
（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：
由y＝x2﹣2x＝x•（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
所以其顶点坐标是（2，﹣2）．
∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，
∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．
对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；
（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），
令y＝ax2+bx+c＝0，
∴x＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝| |．
又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴＝．
∵4﹣4ac≠0，
∴||＝，
∴ac＝﹣2；
（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，
∴c＝，
∴C3：y＝x2+bx+，
∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），
∴该等边抛物线过（1，1），
∴1+b+＝1，
解得b＝﹣6或b＝2，
又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，
∴b＜﹣2，
∴b＝﹣6，
∴y＝x2﹣6x+6，
联立，
解得x＝1或x＝6，
∴m的最大值为6．。