人教版九年级数学上《一元二次方程》拔高练习

《一元二次方程》拔高练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9 2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞
3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）
A．0B．1C．3D．﹣3
4．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
5．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝．
7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝．
8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为．
9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为．
10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．
12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC＝a，AC＝4．
①若AD＝EC，求a的值．
②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．
《一元二次方程》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣2，﹣9，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，可以得到△＜0，从而可以求得a 的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，
解得，a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，知道方程无实数根时△＜0．
3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）
A．0B．1C．3D．﹣3
【分析】根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．
【解答】解：由方程不含x的一次项，得到m﹣3＝0，
解得：m＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．4．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：
1+m﹣2＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
5．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038
【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣2m＝2019，把2m2﹣4m化成2（m2﹣2m）代入求出即可．
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，
则m2﹣2m＝2019，
∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）
＝2×2019
＝4038，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣2m当作一个整体来代入．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝2．
【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，
∴2+2k+1+[﹣（4k﹣1）]＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝3．【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．
【解答】解：∵关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，
∴a﹣1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为2019．【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，再利用整体代入的方法变形原式得到结论．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2019a+1＝0，
∴a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，
∴a+＝a+＝a+＝＝＝2019，
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为10．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝4代入方程求出m得到原方程为x2﹣6x+8＝0，再解此方程得到得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为4，底边为2，再计算三角形的周长．
【解答】解：把x＝4代入方程得x2﹣3mx+4m＝0，解得m＝2，
则原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为2，则△ABC的周长为4+4+2＝10；
②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．
10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为2019．
【分析】把x＝m代入已知方程可以求得m2﹣3m＝﹣5，然后将其整体代入所求的代数式并求值．
【解答】解：∵实数m是关于x方程x2﹣3x+5＝0的一根，
∴m2﹣3m+5＝0，
∴m2﹣3m＝﹣5，
∴2m2﹣6m+2029
＝2（m2﹣3m）+2029
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得到关于a的一元二
次方程1﹣2a+a2＝0，然后解此一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得1﹣2a+a2＝0，
解得a1＝a2＝1，
所以a的值为1
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型
12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【分析】把x＝1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：把x＝1代入x2+ax﹣2＝0，得
12+a﹣2＝0，
解得a＝1．
根据根与系数的关系得到方程的另一根为：＝﹣2．
综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，
∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．
【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的
值；
（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m 的值．
【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，方程是一元二次方程；
（2）∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，
解得m＝3或m＝±2或m＝±
故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC＝a，AC＝4．
①若AD＝EC，求a的值．
②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BCD，再求∠ACD的度数；
（2）①利用勾股定理得到关于a的方程，求解即可；
②利用勾股定理用含a的代数式表示出AD，把AD代入方程验证是不是方程的根即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝90°﹣28°＝62°
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝＝59°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD
＝90°﹣59°＝31°
（2）①∵AD＝EC，AD＝AE，AC＝4，
∴AD＝EC＝AE＝2
∵BC＝BD＝α，
∴AB＝2+α
∵AB2＝BC2+AC2，
即（a+2）2＝a2+42，
∴a＝3
②∵BC＝α，AC＝4，
∴AB＝
∴AD＝﹣α
∵当x＝AD＝﹣α时，
x2+2ax﹣16＝（﹣α）2+2α（﹣α）﹣16
＝16+a2﹣2a+a2+2a﹣2α2﹣16
＝0
∴AD的长是该方程的一个根．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理．。