陕西省榆林市第十二中学2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

陕西省榆林市第十二中学2024届高一数学第二学期期末学业水
平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,1
B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．在ABC ∆中，若3b =，6
A π
=
，4
B π
=
，则a =（ ）
A
B ．
2
C ．
D ．
2
3．若(0,
),(,0)2
2π
π
αβ∈∈-
，1cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则
cos 2βα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ （ ）
A ．
3
B ．3
-
C ．9
-
D 4．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n =+，则72是这个数列的（ ） A ．第7项
B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项
5．已知()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
若将它的图象向右平移6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12
x π
=
B ．3
x π
=
C ．4
x π
=
D ．2
x π=
6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a +=，则
5
S S =（ ）
A ．-11
B ．-8
C ．5
D ．11
7．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 A ．0.35
B ．0.25
C ．0.20
D ．0.15
8．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若
12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
9．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（） A ．
1
8
B ．38
C ．
58
D ．
78
10．如图所示，等边ABC 的边长为2、M 为AB 的中点，且AMN 也是等边三角形，若AMN 以点A 为中心按逆时针方向旋转23
π
后到达AM N ''△的位置，则在转动过程中CM BN ⋅的取值范围是（ )
A ．11,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．13,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．13,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222()tan 3b c a A bc +-=，
则角A 的大小为为____． 12．已知tan 3α=-，2
π
απ<<，那么cos sin αα-的值是________．
13．直线
的倾斜角为________.
14．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被
选中的概率为________．
15．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为
16．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数(
)
2
()33x
f x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；
(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+． 18．已知()cos ,sin a x x =,()1,0b =,()4,4c = （1）若//()a c b -，求tan x ；
（2）求a b +的最大值，并求出对应的x 的值．
19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，66a =. （1）求n a ； （2）求n S .
20．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()
cos cos cos 30B A C C +=.
（1）求A ；
（2）若19a =，5b =，求ABC 面积. 21．设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =. （1）若()//a tb c +，求实数t 的值； （2）求c 在a 方向上的投影.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点等价于函数()f x 在
()[),,,m m -∞+∞均有一个解，再解不等式即可.
【题目详解】
解：因为()(1),(1),m x m x m
f x x m mx m x m x m --≥⎧=--=⎨
-++<⎩
， 由函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点， 则函数()f x 在()[),,,m m -∞+∞均有一个解，
则011m m
m m m
m m ⎧
⎪>⎪⎪≥⎨-⎪⎪<⎪+⎩
，解得：01m <<， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题. 2、D 【解题分析】
由正弦定理构造方程即可求得结果. 【题目详解】
由正弦定理sin sin a b A B =
得：
3
3sin
sin 6sin 2sin 4b A a B π
π==== 本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
【解题分析】
由于02
＜＜
π
α，02π
β-
＜＜，143cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，42cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用“平方关系”可得4sin πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，42sin πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，变形
24
42cos cos βππβαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可得出．
【题目详解】 ∵02
＜＜
π
α，1
043
cos πα⎛⎫+=>
⎪⎝⎭，
∴
4
4
2
π
π
π
α+
＜＜
，∴43sin πα⎛
⎫
+
==
⎪⎝
⎭．
∵02
π
β-
＜＜，∴04
2
4
π
β
π
+
＜
＜
，∵42cos πβ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
∴42sin πβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ ∴
24
42442442cos cos cos cos sin sin βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
13333=⨯+
=． 故选D. 【题目点拨】
本题考查了两角和的余弦公式、三角函数同角基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 4、B 【解题分析】
根据数列的通项公式，令72n a =，求得n 的值，即可得到答案.
由题意，数列{}n a 的通项公式为2
n a n n =+，
令272n n +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（不合题意）， 所以72是数列的第8项， 故选B. 【题目点拨】
本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5、B 【解题分析】
分析：由左加右减，得出()g x 解析式，因为解析式为正弦函数， 所以令()2
x k k Z π
ωϕπ+=
+∈，解出x ，对k 进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 解析式为正弦函数，则令()26
2
x k k Z π
π
π-=
+∈，
解得：()3
2k x k Z π
π=
+
∈，令0Z =，则3
x π
= ，故选B. 点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x 放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令x ωϕ+等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x 解析式，即为对称轴方程. 6、A 【解题分析】
设数列{a n }的公比为q.由8a 2+a 5=0, 得a 1q(8+q 3)=0. 又∵a 1q≠0,∴q=-2.
∴52S S =52
11q q --=()5
1214
---=-11.故选A. 7、B 【解题分析】
解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为5
20
=0.1．故选B 8、B
由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出
12log 30<，由偶函数的性质得出()2
log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12
的大小
关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【题目详解】
()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，
函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，
112
2
log 3log 10<=，由换底公式得122
log 3log 3=-，由函数的性质可得
()2log 3a f =，
对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x
y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.2
1
02
12
-<<
<， 1.221
02log 32
-∴<<
<，因此，b c a >>. 【题目点拨】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9、D 【解题分析】
先求得全是正面的概率，用1减去这个概率求得至少出现一次反面的概率. 【题目详解】
基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为1
8
，所以至少出现一次反面的概率为17
188
-=，故选D. 【题目点拨】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题. 10、D 【解题分析】 设BAN θ∠=，(0)3
π
θ
，则CAM θ∠=，则()(BN CM AN AB ⋅=-⋅)AM AC -，
将其展开，运用向量的数量积的定义，化简得到5
2cos 2
θ-，再由余弦函数的性质，即
可得到范围. 【题目详解】 设BAN θ∠=，(0)3
π
θ，则CAM θ∠=，
则
()(
BN CM AN AB ⋅=-⋅)AM AC AN AM AB AM AN AM AB AC -=⋅-⋅-⋅+⋅=
11cos
=⨯⨯12cos(
3
π
-⨯⨯)21cos(
3
π
-⨯⨯)22cos
3
π
+⨯⨯52(3
2
π
=
-13135cos sin cos sin )2cos 22222
θθθθθ++-=-， 由于03πθ，则
1
cos 12
θ， 则
1
532cos 222
θ-． 故选：D
【题目点拨】
本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
6
π 【解题分析】
由(
)
222
tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221
tan 22
b c a A bc +-=，由余弦定理
可得cos tan A A ⋅=1
1sin ,2
A A ⇒=
是锐角，6
A π
∴=
，故答案为
6
π. 12、13
+ 【解题分析】
首先根据题中条件求出角α，然后代入cos sin αα-即可. 【题目详解】 由题知tan 3α=-，2
π
απ<<，
所以23
πα=
， 故cos sin cos
sin 221313
33222
ππαα+=--=-
-=-. 故答案为：132
+-
. 【题目点拨】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 13、 【解题分析】
将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【题目详解】 因为， 所以，设直线的倾斜角为，
则
，
，故答案为.
【题目点拨】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 14、
3
10
【解题分析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为3
10
. 15、2 【解题分析】
因为该组样本数据的平均数为2017，所以2015201720182016
20175
x ++++=，解
得2019x =，则该组样本数据的方差为
2222221
[(20152017)(20172017)(20192017)(20182017)(20162017)]
5S =-+-+-+-+- 10
25
==. 16、64 【解题分析】
试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，212
1(1)10
{(1)5
a q a q q +=+=，解得18
{12
a q ==.所以2(1)
1712(1)22212
1
18()22n n n n n n n
n a a a a q
--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，
12n a a a 取得最大值6264=.
考点：等比数列及其应用
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2
x x -<<- 【解题分析】
(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案. 【题目详解】
解：（1）∵函数(
)
2
()33x
f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =；
（2）由（1）得()22x x
F x -=-，
∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数； （3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-
，解集为1{|2}2
x x -<<-． 【题目点拨】
本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.
18、（Ⅰ）43
（II ）1,此时x 2k πk Z =∈， 【解题分析】
（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算，利用平行公式求出tanx 的值；
（Ⅱ）利用平面向量的坐标运算，利用模长公式和三角函数求出最大值．
【题目详解】
解：（Ⅰ）计算c -b =（3，4），
由a ∥（c -b ）得4cos x -3sin x =0，
∴tan x =sinx cosx =43
； （Ⅱ）a +b =（cos x +1，sin x ），
∴2()a b +=（cos x +1）1+sin 1x =1+1cos x ，
|a +b
当cos x =1，即x =1k π，k ∈Z 时，|a +b |取得最大值为1．
【题目点拨】
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．
19、（1）n a n =；（2）()12n n n S +=
【解题分析】
（1）由624a a d -=可求得公差，利用等差数列通项公式()n m a a n m d =+-求得结果；
（2）利用等差数列前n 项和公式()12
n n n a a S +=
可求得结果. 【题目详解】
（1）设等差数列公差为d ，则6244a a d -==，解得：1d = ()22n a a n d n ∴=+-=
（2）由（1）知：11a = ()()1122
n n n a a n n S ++∴=
= 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式和前n 项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.
20、（1）3π，（2）4
【解题分析】
（1）利用三角函数的和差公式化简已知等式可得tan A =结合A 为锐角可得A 的值．
（2）由余弦定理可得2560c c -+=，解得c 的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【题目详解】
（1）∵()cos cos cos 0B A C C +-=，
∴cos cos cos sin B A C A C +=
∵cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-
∴sin sin cos cos cos cos sin A C A C A C A C -+=
可得：sin sin sin A C A C =
∵A ，C 为锐角，sin 0C ≠
∴tan A =3A π=
（2）∵,53A a b π
===
∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：219255c c =+-，
即2560c c -+=，解得：2c =或3，
因为ABC 为锐角三角形，所以需满足222a c b +>
所以3c =
所以ABC 的面积为11sin 5322S bc A =
=⨯⨯=【题目点拨】
本题主要考查了三角函数恒等变换及余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21、（1）89
t =-
；（2）. 【解题分析】
（1）计算出a tb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数t 的值；
（2）求出a c ⋅和a ，从而可得出c 在a 方向上的投影为a c a ⋅. 【题目详解】
（1）()1,1a =-，()3,2b =，()31,21a tb t t ∴+=+-，
()//a tb c +，()3,5c =，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得8
9
t =-；
（2）()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-，(21a =+=，
c ∴在a 方向上的投影
22
a c a ⋅-==【题目点拨】 本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.。