第三章 第1节 射影定理-解析版

第3章 解三角形 第1节 射影定理
知识与方法
射影定理：在ABC 中，cos cos cos cos cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
提醒：大题不建议直接使用射影定理，可按此定理的证明过程来书写.
典型例题
【例题】（2017·新课标Ⅱ卷）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2cos cos cos b B a C c A =+，则B =_______. 【解析】解法1：
()()2cos cos cos 2sin cos sin cos sin cos sin sin sin b B a C c A B B A C C A A C B B π=+⇒=+=+=-=，即
2sin cos sin B B B =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故1cos 2
B =
，即3B π=.
解法2：由射影定理，2cos cos cos b B a C c A b =+=，故1cos 2
B =，结合0B π<<知3B π
=.
【答案】3
π
变式1 在ABC
中，)
cos cos c A a C -=，则cos A =______.
【解析】解法1
：
))
cos cos sin cos sin cos c A a C B C A A C -=⇒
-=
cos sin cos sin cos B A C A A C =+
()(
)cos sin sin sin cos B A A C B B A π=+=-=⇒. 解法2
：
)
cos cos cos cos cos c A a C A c A a C -==+，
由射影定理，cos cos c A a C b +=
cos A b =
，故cos A =. 【答案
变式2 在ABC 中，若()sin sin sin cos cos A B C A B +=+，则C =_______.
【解析】解法1：在ABC 中，()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，因为()sin sin sin cos cos A B C A B +=+，
所以sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos B C B C A C A C C A C B +++=+， 化简得：sin cos sin cos 0B C A C +=，所以()sin sin cos 0A B C +=，
因为000A B C π
ππ
<<⎧⎪
<<⎨⎪<<⎩
，所以sin 0sin 0A B >⎧⎨>⎩，故sin sin 0A B +>，从而cos 0C =，所以2C π=.
解法2：
()222222222222
sin sin sin cos cos 2222b c a a c b b c a a c b A B C A B a b c bc ac b a ⎛⎫+-+-+-+-+=+⇒+=+=
+ ⎪⎝⎭
，两端同乘以2ab 得：2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-， 所以3232220a a b b ab ac bc +++--=，
从而()()()2220a a b b a b c a b +++-+=，即()()
2220a b a b c ++-=， 所以2220a b c +-=，故222a b c +=，即2
C π
=
.
解法3：()sin sin sin cos cos cos cos A B C A B a b c A c B +=+⇒+=+，
两端同时加上cos a C 和cos b C 得：
()()cos cos cos cos cos cos a b a C b C c A a C c B b C +++=+++，
结合射影定理可得cos cos a b a C b C b a +++=+，即()cos 0a b C +=，也即cos 0C =，又02
C π
<<，故2
C π
=
.
【答案】2
π
强化训练
1.（2014·广东·★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则a
b
=_______. 【解析】解法1：()cos cos 2sin cos sin cos 2sin sin 2sin b C c B b B C C B B B C B +=⇒+=⇒+=
()sin 2sin sin 2sin 22a
A B A B a b b
π⇒-=⇒=⇒=⇒=. 解法2：由射影定理，cos cos 222a
b C
c B b a b b
+=⇒=⇒=.
【答案】2
2.（★★★）在ABC 中，若cos 2cos 2cos A C c a B b --=，则sin sin C
A
=______.
【解析】解法1：
cos 2cos 22sin sin sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C c a C A
B A B
C C B A B B b B
---==⇒-=-
()()()()sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin sin 2sin B A A B B C C B A B B C C A ππ⇒+=+⇒+=+⇒-=-sin sin 2sin 2sin C
C A A
⇒=⇒
=. 解法2：
cos 2cos 2cos 2cos 2cos cos cos cos 2cos 2cos cos A C c a
b A b C
c B a B b A a B b C c B B b
--=⇒-=-⇒+=+，由射
影定理，2c a =，所以sin 2sin C c
A a
==.
【答案】2
3.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是3a =，4b =，6c =，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值为_______.
【解析】由射影定理，
()2cos cos cos cos cos cos cos bc A ac B ab C c b A a B ab C c ab C ++=++=+
2222222
61222a b c a b c c +-++=+==.
【答案】61
2
4.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin C
A B
=
_______.
【解析】解法1：
cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C
a b c A B C
+=⇒+==， 而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A C A B A B A B A B A B
π+-++====， 所以sin 1sin sin C
A B
=.
解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B c
a b ab ab ++==
，
又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，所以sin c C
ab c
=
，故2sin c C ab =，所以2sin sin sin sin C C A B =， 因为0C π<<，所以sin 0C >，故sin 1sin sin C
A B
=.
【答案】1
5.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a b C B =，则B =_______.
【解析】解法1：cos sin sin sin cos sin a b C B A B C C B =⇒=①， 又()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，
代入式①得：sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=，
所以cos sin sin B C C B =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，cos B B =，故tan B =
，又0180B ︒<<︒，所以30B =︒.
解法2：由射影定理，cos cos a b C c B =+，
又cos sin a b C B =，所以cos cos cos sin b C c B b C B +=，
从而cos sin c B B =，故tan B ，又0180B ︒<<︒，所以30B =︒.
【答案】30°
6.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b a C =，30C =︒，2c =，则ABC 的面积为_______.
【解析】解法1：cos sin sin cos b a C B A C =⇒=， 又()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，
所以sin cos cos sin sin cos A C A C A C +=，从而cos sin 0A C =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，故cos 0A =，
又0180A ︒<<︒，所以90A =︒，因为30C =︒，所以b =1
2
ABC S bc =
解法2：由射影定理，cos cos b a C c A =+，又由题意，cos b a C =，所以cos cos cos a C c A a C +=，从而
cos 0A =，因为0180A ︒<<︒，所以90A =︒，又30C =︒，所以b =1
2
ABC S bc =
【答案7.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos b a C c B =+，且1CA CB ⋅=，则ABC 的面积为_______.
【解析】由射影定理，cos cos b a C c A =+，又cos cos b a C c B =+，所以cos cos cos cos a C c a C c B +=+，
化简得：cos cos A B =，因为(),0,A B π∈，且函数cos y x =在()0,π上，所以A B =，故a b =，又1CA CB ⋅=，
所以cos 1ab C =，从而2222cos 2ab C a b c =+-=，结合2a b c =⎧⎨=⎩
可得a b =，所以11cos 3C ab ==，
sin C ==
1
sin 2
ABC
S ab C ==
【答案。