黑龙江省肇东一中2022年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）
A ．1
B ．e
C ．1e -
D ．2e -
4．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）
A ．5i ≤
B ．6i ≤
C ．7i ≤
D ．8i ≤
5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
6．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()2
1m n -+的最小值为（ ） A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
7．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
8．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ） A ．
689
8
B ．
689
6
C ．
26
8
D ．
526
6
9．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
10．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2
012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，
若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n
n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．8l
D ．－81
11．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其
中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，
113
3
QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫
-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．(
0,62⎤-⎦
C ．2,312⎛⎤
- ⎥ ⎝⎦
D ．(
0,31⎤-⎦
12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则
R
r
=__________．
15．设命题p ：0x R ∃∈，001222x x -+<，则p ⌝：__________．
16．设变量x ，y 满足约束条件2024030x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值为______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22
249
x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.
18．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为23，左右焦点分别为1F ，2F ，点B 是椭圆上位于第一
象限的任一点，且当2120BF F F ⋅=时，23
2
BF =. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交C 于另一点
M ，交y 轴于点N .
（ⅰ）求ODN △面积最大值；
（ⅱ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足
12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．
20．（12分）已知首项为2的数列{}n a 满足1
1221n n n na a n +++=
+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列．
（2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 21．（12分）如图，在直角ACB △中，2
ACB π
∠=
，3
CAB π
∠=
，2AC =，点M 在线段AB 上.
（1）若3
sin 3
CMA ∠=
，求CM 的长；
（2）点N 是线段CB 上一点，MN =
1
2
BMN ACB S S =
△△，求BM BN +的值. 22．（10分）已知函数()e 2x
f x m x m =--.
（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】
当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈
时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D
【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 2、A 【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】
当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m ”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m ”充分不必要条件， 故选：A . 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 3、C 【解析】
根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】
由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1
y e -=，故选C ． 【点睛】
本题考查程序框图，是基础题． 4、B 【解析】
根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，
第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；
第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】
本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 5、B 【解析】
由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =， ∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==35log 910==．
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 6、B 【解析】
利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()2
1m n -+的最小值． 【详解】
数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<， 由等比数列的通项公式得1
1111122
210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，
10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，
求()2
1m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值.
∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()2
3115-+=.
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题． 7、D 【解析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、A 【解析】
设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及
DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可
【详解】
设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r . 因为4BO =，所以2
2
2
(4)3r r -+=，解得258
r =
.
因为321OD OC CD =-=-=，所以DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.
因为QP QB ==
即2
2113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A
【点睛】
本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 9、C 【解析】
分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A
B =.
详解：
{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==,
{}3,5A B ∴⋂=,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 10、B 【解析】
根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】
因为(1)n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得5n =，
令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a ++
+=，
令1x =，则()5
01251243a a a a λ+=++++=，
解得2λ=
令1x =-，则()()5
5
01251211a a a a -=-+-+-=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.
11、C 【解析】
根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得
()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m 的取值范围,进而求得(
)
222
422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】
设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,
因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF
PF ；
由11QF PF ≥,
1m n
≤<,
由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得(
)22
2mn a c
=-②,
由①②得
()
2222242c m n m n
mn n m a c +==+-； 令=+m n
t n m ,
令3m v n ⎫=
∈⎪⎪⎣⎭
,
所以1t v v ⎛=+
∈ ⎝⎦
, 即
(
)
2224232c a c <≤-,
所以()
2222
23
a c c a c -<≤
-,
所以()
22211e e e -<≤
-,
所以
21
42
e <≤-
1e <≤. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 12、C 【解析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有2
22A =种，剩余的3门全排列，
即可求解. 【详解】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6
节，有3种，再考虑两者的顺序，有2
22A =种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3
36A =种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60 6240x 【解析】
求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【详解】
6212x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式的通项为()62612366122k
k k k k k
C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为42
6260C ⋅=；
令()66
2
,6k k
k a C k N k -=⋅∈≤，令1
1n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222
n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，
解得
4733
n ≤≤，n N ∈，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=.
故答案为：60；6240x . 【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14、
41
2
【解析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出41
2
R =
，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为
，由此能求出
R r
． 【详解】
四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ， 且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
()2
22221616941R AB AD AP ∴=++=++=， 412
R ∴=
， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，
∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，
∴内切球半径为21PAD
PAD
S r L ∆∆=
=， 故
41
2
R r =
． 故答案为
41
2
．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.
15、x R ∀∈，1222x x -+≥ 【解析】
存在符号改任意符号，结论变相反. 【详解】
命题p 是特称命题，则p ⌝为全称命题，
故将“0x R ∃∈”改为“x R ∀∈”，将“001222x x -+<”改为“1222x x -+≥”， 故p ⌝：x R ∀∈，1222x x -+≥. 故答案为：x R ∀∈，1222x x -+≥. 【点睛】
本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 16、-8 【解析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线122
z
y x =-在y 轴截距最大的问题，通过图像解决. 【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令122
z
y x =
-，则min z 即为在y 轴截距的最大值 由图可知：
当122
z
y x =
-过()2,3A -时，在y 轴截距最大 min 2238z ∴=--⨯=-
本题正确结果：8- 【点睛】
本题考查线性规划中的z ax by =+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y 轴截距的问题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、t ＝1 【解析】
把22249x y z ++变形为22222221991449919619614
x y t t z t t +++++-结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为2222222222199149449919619614
x y x y z t t z t t ++=+++++-
211()714
t x y z t ≥++- 即222
49
x y z
++2114t ≥，当且仅当27x t =，914y t =，114z t =时，上述等号成立， 所以
218
147
t =，即216t =，又x ，y ，z ＞0，所以x +y +z =t ＝1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
18、（1）22143x y +=；
（2）（ⅰ）34
；（ⅱ）证明见解析. 【解析】
（1）由23
2
b a =，2b =
（2）（ⅰ）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x ，易得1114ODN
S x y =△，注意到22
11143
x y +=，利用基本不等式得到11x y 的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线AB 斜率为()1
10y k k x =>，直线AD 方程为()12
k y x x =-，联立椭圆方程得到M 的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
（1）设()2,0F c ，由2120
BF F F ⋅=，得212BF F F ⊥. 将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a =，即2
23
2
b BF a ==，
由b =
2a =，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x （ⅰ）易知ON 为ABD △的中位线，所以10,2y N ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
， 所以111111111
2244
ODN y S x x y x y =
⋅-=⋅=△， 又()11,B x y 满足22
143
x y +=，所以
22
11112
432x y x +=≥⋅=，得11x y ≤
故
11144ODN
S x y =≤
△，当且仅当12x =1x =，12
y =时取等号，
所以ODN △（ⅱ）记直线AB 斜率为()11
0y k k x =
>，则直线AD 斜率为1122y k x =，
所以直线AD 方程为()12
k
y x x =
-. 由()122
214
3k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22222
1132120k x k x x k x +-+-=， 由韦达定理得()2112223k x x x k -+=+，所以()
2211212233233k x k x x x k k
+=+=++， 代入直线AD 方程，得3122
3k x y k
=+， 于是，直线BM 斜率()31
1221221112
332333BM
k x kx y y k k x x k
k x x k
--+===--+-+，
所以直线AB 与BM 斜率之积为定值32
-. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
19、
（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）1. 【解析】
（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112
ρρθθ=⎧⎨=⎩
，即ρ
＝4cosθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值． 【详解】
（Ⅰ）直线l 1的参数方程为2cos30
1sin 30x t y t ⎧=+⎨=+
⎩
，（t 为参数）
即22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0）， 则1112ρρθθ=⎧⎨
=⎩
，即3
12cos θρ⋅
=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x≠0）. （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，
得22
1(242t (1t)02⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭
， 即2t t 30+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-1|=1． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 20、（1）见解析；（2）1
211
2222
n n S n n +=++- 【解析】
（1）由原式可得1
1(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到
11
(1)122
n n
n n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得2
n
n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】
（1）证明:因为11221
n n n na a n +++=
+,所以1
1(1)22n n n n a na +++=+, 所以
11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为1
2a =,所以1
12
a =, 故数列2n n na ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1,公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知
()112
n n
na n n =+-=,则2n
n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23
(21)22232n n =++++++
++
(
)
23
2222(123)n
n =+++
+++++
+(
)212(1)12
2
n
n n ⨯-+=
+-1
211
2
222
n n n +=++-.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
21、（1）3；（2
）4+. 【解析】
（1）在CAM 中，利用正弦定理即可得到答案； （2）由1
2
BMN ACB S S =
△△
可得BM BN ⋅=，在BMN ∆
中，利用MN =2222cos
6
MN BM BN BM BN π
=+-⋅，解方程组即可.
【详解】
（1）在CAM 中，已知3
CAM π
∠=
，sin CMA ∠=
，2AC =，由正弦定理， 得
sin sin CM AC CAM CMA
=∠∠
，解得sin
233sin AC CM CMA π
⋅=
==∠. （2）因为12BMN ACB S S =
△△
，所以111
sin 22622
BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯
BM BN ⋅=. 在BMN ∆中，由余弦定理得，
(
)
2
222
2cos
216
2MN BM BN BM BN BM BN BM BN π
⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭
，
即(
)22
212BM BN ⎛=+-⨯+ ⎝⎭
，
(
)(2
2
194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=+【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题. 22、（1）y x =-；（2）[2,)+∞ 【解析】
（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;
（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可
求得m 的取值范围. 【详解】
（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2x
f x '=-,
则(0)0,(0)1f f '
==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.
（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x
f x m '=-,
①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20ln
x m <<,即()f x 在20,ln m ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减,
则2ln (0)0f f m ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x
f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不
符合题意.
综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.。