体悟本质，促进建联，方可举一反三

体悟本质，促进建联，方可举一反三
发布时间：2021-09-17T08:19:53.980Z 来源：《素质教育》2021年7月总第386期作者：王靖[导读] 笔者参加六年级阅卷时发现这样一题错误率较高：4/9a=3/8b则a与b成不成比例？
安徽省阜阳市清河路第一小学236000笔者参加六年级阅卷时发现这样一题错误率较高：4/9a=3/8b则a与b成不成比例？如果成，成什么比例？学生错误答案有以下几种情况：1.“不成比例”；2.“成”，但没写成什么比例；3.“成反比例”。

为什么会有那么多学生做错？症结在哪里？于是对以上错误的学生做了一
次访谈。

写“不成比例”的学生说：它与学过的正比例、反比例模型一点不像，所以认为不成比例。

第二种错误的学生说法又分两种：一种说不知道成什么比例，但是既然题目说“如果成，成什么比例”，那一定是“成”的；另一种说法是：正比例两个量之间是相除，反比例两个量之间是相乘，这道题中没有别的运算关系，所以一定是成比例的，但是成什么比例，a和b在等号两侧，不知道该怎样判断；第三种错误的学生说：等式左右两侧都是乘法，反比例两个量之间是相乘，所以成反比例。

为了进一步了解学生的想法，我也对答对的学生进行了访谈，主要问了以下问题：你是怎样判断a和b成正比例的？为什么这样做？a和b的比是多少？结果61.3%的学生采用移项法，帮助完成判断。

理由是既然问题是问a和b两个量之间成不成比例，那么a与b要有运算关系，所以要把它们挪到同一侧，判断出成正比例，也就算出它们的比了。

这种方式中比算对的近一半，另一半是前项、后项的位置颠倒了。

还有48.7%的学生采用的是假设法，把它们的积假设为1，算出a、b的值，然后看它们是积一定还是商一定，从而判断a、b成什么比例，算出它们的比，这部分学生算出比的正确率是100%。

但当追问为什么积选择1，而不选择其它数，大部分学生说计算起来方便，再问选择其它数可不可以呢，只有极少数学生说可以，并能讲清其中的道理。

根据以上情况不难看出，学生解决问题的途径充满了“技巧”——读题的技巧、模板的技巧、假设的技巧。

但技巧不等于策略，技巧是浮于表面的方法，某种程度上也可以认为是讨巧，其背后也映射着应试。

而策略是要建立在思考上的，是灵活的、生长的。

对于此题来说造成学生错误的原因主要有：一是对于比例的意义只记住了外在形式而没有理解内在本质。

二是怎样建立a、b的关系，为什么可以建立这样的关系。

所以，让学生明晰题目背后所运用的知识，了解本质，建立知识网络，形成策略，进而促进思维的提升，才是解决问题的根本。

根据以上访谈及思考，笔者觉得不妨在学生认识了正比例之后进行一节如下的拓展练习课：
一、对比回忆，初步发现关系
师：同学们，我们已经学习了正比例的意义，现在你能判断出两个量之间成不成正比例吗？学生信心满满地说：能。

教师出示：a=b，则a与b成不成比例？如果成，成什么比例？(大部分学生读题后露出困惑的神情。

)师：咱们先不急，谁来说说你困惑在哪儿？生：我觉得这道题和我们上节课学习的题目不一样。

师：不一样在哪儿？生：比如上节课说速度一定，路程和时间成不成比例？成什么比例？路程除以时间等于速度，速度一定也就是商一定，所以路程和时间成正比例。

可这一题完全都不一样呀。

【设计意图】学生学过正比例的意义以后，往往过多地关注是不是“商一定”而忽略了两个量之间的关系，而关系的呈现方式是多种多样的。

打破学生固有的认识误区，并将之暴露出来，使学生关注到判断是否成正比例的题目形式并非都是a/b=k(一定)，还有其它形式存在，促进学生思考：商一定的本质原因是什么？
师：有他这样困惑的同学请举手示意一下。

师：还不少。

我们不急着解决这道题目，先回忆一下以前是否见过类似的题目？生1：学过小数的乘法后，两个未知数分别乘一个小数，判断这两个未知数谁大谁小。

题目样子很像，但问题不一样。

生2：学过分数乘法后，也有类似的题目。

师：是0.8a=0.75b，a与b哪个大？这样子的吗？(学生点头)
师：a与b哪个大？你是怎样解决的？生3：b大，因为a乘的是0.8，b乘的是0.75，0.8大于0.75。

两个算式的积相等，乘的越小，说明原数越大，乘的越大，说明原数越小。

师：a×4/5=b×3/4，a、b两数哪个大呢？生4：还是b大，因为4/5=0.8,3/4=0.75，与上一题一样只是小数改写成了分数。

生5：我也认为b 大，因为4/5=16/20,3/4=15/20,所以4/5＞3/4。

根据分数乘法的计算发现，积相同时，乘的越大，原数越小，乘的越小原数越大。

和小数乘法一样。

【设计意图】学生在学习整数乘法时就已经观察发现“当积不变时，一个乘数越大，另一个乘数就越小”，进而学习小数、分数乘法时发现这一规律同样适用于小数和分数，利用这一知识可以帮助学生判断谁大谁小，初步建立两个数之间的大小关系。

二、刻意引导，深入研究关系
师：除了以上两种以外，还有其它的解决办法吗？生1：我判断的也是b大，但我和他们俩的想法不太一样.我发现4/5离单位1还有1/5，3/4离单位1还有1/4，所以3/4＜4/5，说明a需要的多，b需要的少，所以b大。

生2：我是算的，假设它们的积等于1，那么a就是1÷4/5=5/4，b 就是1÷3/4=4/3，5/4小于4/3，所以b大。

师：你们同意他这种方法吗？生3：通过他的方法判断的结果是对的，但是你为什么把积假设成1呢？a不一定就是5/4，b也不一定就是4/3呀。

师：积假设成其它的数可不可以呢？请同学们试一试，看看影不影响判断的结果。

生4：我把积假设成了2，算出a是2÷4/5=5/2，b是2÷3/4=8/3，8/3＞5/2，所以b大于a。

生5：为了计算方便我把积假设成了12，算出a等于12÷4/5=15，b等于12÷3/4=16，所以还是b大。

生6：我把积假设成了100，算出a是125，b是400/3，还是b大。

……
师：你们有什么发现呢？生1：假设的积变了，a、b两个数的大小也在变，但是b始终大于a。

生2：也就是说a、b两数的大小关系不变。

师：既然是这样，那么把积假设成多少最方便？生：我发现积的假设中，假设成1，计算起来最方便，a、b两数分别是它们乘数的倒数。

生：我觉得积假设成两个分数分子的最小公倍数也很简便，计算起来可以约分，结果是整数，便于比较。

【设计意图】利用假设积为1这个契机，引导学生思考“积不为1，是否改变a、b的大小关系”，激发起学生用列举法继续探究下去的好奇心。

不同思维能力的学生解决问题的思路、方式是不同的，他们之间互相启发，初步从变化中感知不变，同时也为下一环节发现a、b的倍比关系做了知识上的铺垫。

三、改变习题，深入挖掘关系
师：假设是解决问题的一种很好的方法，此题的假设法让我们从众多例子里发现了a与b的大小关系始终不变的特点，其实在它们大小不变的关系里还隐藏着一个不变的关系，谁能来猜测一下，并说一说这样猜测的理由。

生1：我猜它们之间的差不变。

因为b始终大于a，所以b-a的差可能不变。

生2：我认为不对，刚才随着积的变化，a、b也在发生着变化，它们差的大小也变了。

我猜测是它们之间的商不变，因为我是把积假设成2，与刚才假设为1的同学比，相当于把积扩大到原来1的2倍，4/5和3/4不变，积扩大2倍，a、b也同时扩大2倍数，所以它们的商不变。

师：你们同意他的猜想吗？有猜想就要想办法去验证猜想的正确性，同学们试一试吧！生1：我把积假设成1，算出a是5/4，b是4/3，用5/4除以4/3等于15/16，a除以b等于15/16。

接着我又把积假设为2，得出a是5/2，b是8/3，化简后也是15/16。

生5：我把积假设的是5，得出的a是25/4，b是20/3，用25/4除以20/3，化简后也是15/16。

生6：我们不能总把积假设成整数，这样研究出来的结果可能有特殊性，所以我把积假设成1.2，这个1.2也可以变成分数，得出的a是1.5，b是1.6，商也是15/16。

……
(老师把学生汇报的各种情况记录在黑板上。

)
师：刚才同学们有把积假设成整数的，有把积假设成分数的，有把积假设成小数的，但是所得的a与b的商都是15/16，说明刚才那位同学的猜想是正确的，谁来小结一下说说这是为什么呢？生1：当我们把积假设成2、5、1.2等时，相当于把积扩大到原来1的2倍、5倍、1.2倍等等，一个乘数不变，积扩大多少倍，说明另一个乘数也扩大相应的倍数，a、b同时扩大相同的倍数，所以它们的商不变。

生2：反过来缩小也是。

师：还可以说成a和b之间的什么不变呢？生1：倍比关系不变。

生2：比值不变。

生3：我明白了，a、b之间大小不变的根本原因是它们之间的倍比关系不变。

(其他同学纷纷点头)
师：同学们回顾一下，我们都用到了以前学过的哪些知识？生1：分数乘法中积与乘数的关系和商不变的性质。

师：分数乘法中积与乘数的关系帮助我们发现了什么？生2：帮助我们发现a、b的大小关系。

师：商不变的性质帮助我们发现了什么？生3：帮助我们发现它们之间的倍数关系是不变的。

师：这个不变的倍数关系又使我们联想到了什么？生：比值不变。

噢！老师，我明白了，4/5a=3/4b中，a与b之间成正比例。

师：说一说为什么？生：4/5a=3/4b的积相等，说明a、b是相关联的量。

当a扩大或缩小时，要保证积不变，b也随着乘或除以相同的数，因此它们的比值一定，所以成正比例。

师：看来判断两个量之间成不成比例、成什么比例更重要的是关注它们之间的——生齐声回答：关系。

【设计意图】对于学生来说，判断两个量成不成正比例，关键是要使两个量之间建立倍比关系，把a、b之间的不变的倍比关系建立在定量与变量积相等的根源上，让抽象的关系在具体数据的支撑下，自然而然的呈现出来，在学生轻松利用旧知解决问题的同时，更关注于变中有不变的关系，使学生对正比例关系的理解回到知识的本源上。

四、多方建立关系，形成策略
师：同学们刚才用假设法求出了a、b的比值，你还有其它的办法求它们的比值吗？生1：成什么比例以及求比值，归根结底都是a、b之间的关系，所以让a、b在等式的一侧建立联系，可以一次解决两个问题。

因此我利用等式的基本性质，在4/5a=3/4b两边同时乘5/4除以b,则等式4/5a=3/4b变为a÷b=3/4×5/3=15/16，所以a与b的比是15比16，它们成正比例。

生2：我用的知识是比例的基本性质使a、b建立关系，可以把4/5a=3/4b看成两内项之积等于两外项之积，a为外项，b为内项，则4/5为外项，3/4为内项，a:b=3/4:4/5=3/4÷4/5=3/4×4/5=15:16，既求出了比，也判断出来a与b成正比例关系。

师：这两位同学解决问题的方法虽然不同，却有一些共同点，你发现了吗？生1：他们都是去寻找a、b之间的关系。

生2：他们都是让a、b建立关系，我发现过去分数乘法中类似的题目比如4/5a=3/4b，a和b谁大谁小，其实也是找两个数的关系，所以这两道题目从本质上说可以认为是一道题目，可以用一种方法一次解决。

……
【设计意图】假设法是小学生解决问题的一种行之有效的方法，更直观更易懂。

但从学生长远发展的角度来看，我们更要关注学生逻辑推理能力的培养，在学生明确两个量之间成不成比例、成什么比例更重要的是关注它们之间的关系后及时助推建立关系的途径是多样的，在形成策略的同时使不同的学生在数学上得到不同的发展。

五、举一反三，灵动思维
师：你能举出一个类似的题目考考大家吗？生1：0.6a=3/7b,a和b成不成正比例？如果成，它们的比是多少？生2：a和b一定成正比例，这和刚才的题目不同的地方是把其中一个乘数写成了小数，求比的时候3/7不能化成有限小数，所以把0.6化成3/5计算起来更加方便，a:b=5:7。

生4：我把老师的题目稍微改一下，变成a÷4/5=b÷3/4，a和b成不成正比例呢？生5：除以一个数等于乘上这个数的倒数，这一题可以变成5/4a=4/3b，所以a、b还是成正比例。

(全班响起热烈的掌声)生6：如果改成4/5÷a=3/4÷b，a和b成不成正比例？生7：如果改成4/5÷a=b÷3/4，a和b成不成正比例呢？如果不成，是不是成其它的比例呢？师：4/5÷a=3/4÷b、4/5÷a=b÷3/4，a和b之间又是什么样的关系呢？同学们下课后试一试吧。

下课，同学们再见！
【设计意图】真正的思考能力是建立在感受的基础上。

而缺乏感受的思考并不是独立思考，而是在重复别人灌输的教条。

学生列举类似的题目，提供更多的变式，发现共性的同时引发更多的迁移、猜想，思考能力自然而然地向更深更远多维处发展。

这种思考能力和解决问题的策略也为后续反比例的学习积累了经验。

弗赖登塔尔认为数学化地学习分为水平数学化和垂直数学化。

小学生由于年龄和心理特征的限制，垂直数学化的意识不强，即对数学本身进一步的数学化的意识不强。

日常教学中，学生在学习新知识、解决较复杂的问题时，会有束手无策的状况，有些是因为学生没有认真读题、认真思考，更多的是他们还不能自主梳理、归纳分类，使知识结构化并形成策略。

所以要想提高学生这些方面的数学抽象能力，老师及时、有效地帮助学生做好数学知识、数学关系、数学方法上的梳理，把散落在知识间的关系拧成一股绳、织成一张网，让学生在体悟中内化为素养，从而举一反三，是非常重要和有效的，对学生面对未知时解决问题的方式方法的意义和影响也是深远的。