高中数学第一章三角函数3蝗制课件北师大版必修4
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复习课件
高中数学第一章三角函数3蝗制课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数3蝗制课件北师大版必修4
§3 弧度制
一、预习教材·问题导入 1．1 弧度角是如何定义的？ 2．角的度量有哪两种方法？ 3．弧度制下扇形的弧长与面积公式如何表示？
二、归纳总结·核心必记
1．1 弧度角的规定
[解] (1)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＝4－2r. ∵S 扇形＝21l·r，∴12(4－2r)·r＝1，∴r＝1，l＝2. 故它的圆心角的弧度数为 α＝rl＝2(rad)． (2)由⊙O 的半径 r＝10＝AB，知△AOB 是等边三角形， 所以 α＝∠AOB＝60°＝π3.
[类题通法] 弧度制下涉及扇形问题的攻略
2. 85π弧度化为角度是 A．278° C．288°
B．280° D．318°
()
解析：选 C ∵1 rad＝1π80°，∴85π＝85π×1π80°＝288°.
3．半径为 1 cm，圆心角为 150°的角所对的弧长为 ( )
2 A. 3 cm
2π B. 3 cm
5 C. 6 cm
5π D. 6 cm
[类题通法] 角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关 键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数．
[针对训练] 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解：(1)20°＝20×1π80 rad＝π9 rad.
.
(2)如图(2)所示，以 OB 为终边的角为 225°，可看成是－135°，
化为弧度，即－34π，而 135°＝135×1π80＝34π，于是，所求集合
S＝θ2kπ－34π≤θ≤2kπ＋34π，k∈Z
.
[类题通法] 在弧度制下写出终边相同的角并判断角所在象限的方法和 步骤 (1)在弧度制下，与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}，其中 α 的单位是弧度． (2)确定 α 所在象限的常用步骤：先把它化成 2kπ＋θ(0≤θ＜ 2π，k∈Z)的形式，再判断 θ 所在的象限即可．
[针对训练] 已知角 α＝－2 020°.
(1)将 α 改写成 φ＋2kπ(k∈Z ,0≤φ＜2π)的形式，并指出 α 是
第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与 α 终边相同的角． 解：(1)因为 α＝－2 020°＝－6×360°＋140°， 且 140°＝140×1π80＝79π， 所以 α＝－12π＋79π， 故 α 是第二象限角．
(2)与 α 终边相同的角可表示为 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 又－2π≤θ＜4π， 所以 k＝－1,0,1， 将 k 的值分别代入 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 得 θ＝－119π，79π，259π.
考点三 扇形的弧长与面积公式的应用
[典例] 解答下列各题： (1)已知扇形的面积为 1 cm2，它的周长为 4 cm，求它 的圆心角； (2)已知半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 10.求弦 AB 所对的圆心角 α 的弧度值．
2． [变条件]若题(2)中条件“弦 AB 的长为 10”变为“扇形 AO
的周长等于所在圆的周长”，求扇形的圆心角 α 的弧度值．
解：由条件知 2π×10＝2×10＋l，
∴l＝20(π－1)，
∴α＝rl＝20π10－1＝2(π－1)．
3．扇形的周长 C 一定时，它的圆心角 θ 取何值才能使该扇 形的面积 S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为 R，则扇形的弧长为 C－2R， ∵S＝12(C－2R)×R＝－R2＋C2 R ＝－(R－C4 )2＋(C4 )2， ∴当 R＝C4，即 θ＝C－R2R＝2 时，扇形有最大面积1C62.
[典例] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．
[解] (1)如图(1)所示，以 OB 为终边的角为 330°，可看成是
－30°，化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，于是，
所求集合 S＝θ2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z
解析：选 D ∵α＝150°＝56π rad，∴l＝α·r＝56π cm.
4．已知扇形的周长是 8 cm，圆心角为 2 rad，则扇形的弧 长为________ cm.
解析：设扇形的弧长、半径、圆心角分别为 l cm，r cm， θ rad，则 l＝rθ＝2r.由 l＋2r＝8，即 2l＝8，得 l＝4.即 扇形的弧长为 4 cm. 答案：4
在单位圆中，长度为 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度角， 它的单位符号是 rad ，读作 弧度 ．
[点睛] (1)1 rad 等于半径长的圆弧所对的圆心角，而 1°等于圆周的3160所对的圆心角．
(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小 都是一个与圆的半径大小无关的定值．
(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常 省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能 省略．
2．弧度制 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一 个 负数 ；零角的弧度数是 0 .这种以 弧度 作为单位来度量角的 单位制，叫作弧度制．
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
π
180
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是 扇形的弧长，r 是扇形的半径，α 是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇 形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[针对训练]
1．[变设问]若题(2)中条件不变，改为求 α 所在扇形的弧长 l. 解：∵α＝π3，r＝10， ∴l＝αr＝103π.
(2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad.
7π °.
(4)－115π rad＝－151×180°＝－396°.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
考点二 用弧度制表示终边相同的角
1°＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad 1 rad＝ π °≈57°18′
4．弧长公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角弧度数，n 为 圆心角角度数，则
度量
单位
角度制
弧度制
类别
扇形的弧长 扇形的面积
|n|πr l＝ 180
S＝3|n60| πr2
l＝ |α|r S＝12lr＝12|α|r2
考点一 角度与弧度的互化
[典例] 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝－116π. (1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的 象限； (2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找 出与它们终边相同的所有的角．
[解] (1)∵1°＝1π80 rad， ∴α1＝510°＝510×1π80＝167π， α2＝－750°＝－750×1π80＝－265π. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第四象限．
[点睛] (1)在应用扇形面积公式 S＝12|α|r2 时，要注意 α 的单 位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入． (3)在弧度制下的扇形面积公式 S＝12lr，与三角形面积公式 S ＝12ah(其中 h 是三角形底边 a 上的高)的形式较相似，可类比记忆． (4)由 α，r，l，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 弧度是长度等于半径的弧
(× )
(2)1 弧度是 1°的圆心角所对的弧
(× )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ )
(4)第一象限角可表示为α2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z
(√ )
(2)β1＝45π＝45π×18π0°＝144°. 设 θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°. ∴k＝－1 或 k＝0.∴在－360°～360°范围内与 β1 终边相同的角 是－216°.β2＝－116π＝－116π×18π0°＝－330°. 设 θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． ∵－360°≤θ2＜360°， ∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0 或 k＝1. ∴在－360°～360°范围内与 β2 终边相同的角是 30°.
高中数学第一章三角函数3蝗制课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数3蝗制课件北师大版必修4
§3 弧度制
一、预习教材·问题导入 1．1 弧度角是如何定义的？ 2．角的度量有哪两种方法？ 3．弧度制下扇形的弧长与面积公式如何表示？
二、归纳总结·核心必记
1．1 弧度角的规定
[解] (1)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＝4－2r. ∵S 扇形＝21l·r，∴12(4－2r)·r＝1，∴r＝1，l＝2. 故它的圆心角的弧度数为 α＝rl＝2(rad)． (2)由⊙O 的半径 r＝10＝AB，知△AOB 是等边三角形， 所以 α＝∠AOB＝60°＝π3.
[类题通法] 弧度制下涉及扇形问题的攻略
2. 85π弧度化为角度是 A．278° C．288°
B．280° D．318°
()
解析：选 C ∵1 rad＝1π80°，∴85π＝85π×1π80°＝288°.
3．半径为 1 cm，圆心角为 150°的角所对的弧长为 ( )
2 A. 3 cm
2π B. 3 cm
5 C. 6 cm
5π D. 6 cm
[类题通法] 角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关 键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数．
[针对训练] 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解：(1)20°＝20×1π80 rad＝π9 rad.
.
(2)如图(2)所示，以 OB 为终边的角为 225°，可看成是－135°，
化为弧度，即－34π，而 135°＝135×1π80＝34π，于是，所求集合
S＝θ2kπ－34π≤θ≤2kπ＋34π，k∈Z
.
[类题通法] 在弧度制下写出终边相同的角并判断角所在象限的方法和 步骤 (1)在弧度制下，与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}，其中 α 的单位是弧度． (2)确定 α 所在象限的常用步骤：先把它化成 2kπ＋θ(0≤θ＜ 2π，k∈Z)的形式，再判断 θ 所在的象限即可．
[针对训练] 已知角 α＝－2 020°.
(1)将 α 改写成 φ＋2kπ(k∈Z ,0≤φ＜2π)的形式，并指出 α 是
第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与 α 终边相同的角． 解：(1)因为 α＝－2 020°＝－6×360°＋140°， 且 140°＝140×1π80＝79π， 所以 α＝－12π＋79π， 故 α 是第二象限角．
(2)与 α 终边相同的角可表示为 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 又－2π≤θ＜4π， 所以 k＝－1,0,1， 将 k 的值分别代入 θ＝2kπ＋79π，k∈Z ， 得 θ＝－119π，79π，259π.
考点三 扇形的弧长与面积公式的应用
[典例] 解答下列各题： (1)已知扇形的面积为 1 cm2，它的周长为 4 cm，求它 的圆心角； (2)已知半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 10.求弦 AB 所对的圆心角 α 的弧度值．
2． [变条件]若题(2)中条件“弦 AB 的长为 10”变为“扇形 AO
的周长等于所在圆的周长”，求扇形的圆心角 α 的弧度值．
解：由条件知 2π×10＝2×10＋l，
∴l＝20(π－1)，
∴α＝rl＝20π10－1＝2(π－1)．
3．扇形的周长 C 一定时，它的圆心角 θ 取何值才能使该扇 形的面积 S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为 R，则扇形的弧长为 C－2R， ∵S＝12(C－2R)×R＝－R2＋C2 R ＝－(R－C4 )2＋(C4 )2， ∴当 R＝C4，即 θ＝C－R2R＝2 时，扇形有最大面积1C62.
[典例] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．
[解] (1)如图(1)所示，以 OB 为终边的角为 330°，可看成是
－30°，化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，于是，
所求集合 S＝θ2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z
解析：选 D ∵α＝150°＝56π rad，∴l＝α·r＝56π cm.
4．已知扇形的周长是 8 cm，圆心角为 2 rad，则扇形的弧 长为________ cm.
解析：设扇形的弧长、半径、圆心角分别为 l cm，r cm， θ rad，则 l＝rθ＝2r.由 l＋2r＝8，即 2l＝8，得 l＝4.即 扇形的弧长为 4 cm. 答案：4
在单位圆中，长度为 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度角， 它的单位符号是 rad ，读作 弧度 ．
[点睛] (1)1 rad 等于半径长的圆弧所对的圆心角，而 1°等于圆周的3160所对的圆心角．
(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小 都是一个与圆的半径大小无关的定值．
(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常 省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能 省略．
2．弧度制 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一 个 负数 ；零角的弧度数是 0 .这种以 弧度 作为单位来度量角的 单位制，叫作弧度制．
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
π
180
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是 扇形的弧长，r 是扇形的半径，α 是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇 形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[针对训练]
1．[变设问]若题(2)中条件不变，改为求 α 所在扇形的弧长 l. 解：∵α＝π3，r＝10， ∴l＝αr＝103π.
(2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad.
7π °.
(4)－115π rad＝－151×180°＝－396°.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
考点二 用弧度制表示终边相同的角
1°＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad 1 rad＝ π °≈57°18′
4．弧长公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角弧度数，n 为 圆心角角度数，则
度量
单位
角度制
弧度制
类别
扇形的弧长 扇形的面积
|n|πr l＝ 180
S＝3|n60| πr2
l＝ |α|r S＝12lr＝12|α|r2
考点一 角度与弧度的互化
[典例] 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝－116π. (1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的 象限； (2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找 出与它们终边相同的所有的角．
[解] (1)∵1°＝1π80 rad， ∴α1＝510°＝510×1π80＝167π， α2＝－750°＝－750×1π80＝－265π. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第四象限．
[点睛] (1)在应用扇形面积公式 S＝12|α|r2 时，要注意 α 的单 位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入． (3)在弧度制下的扇形面积公式 S＝12lr，与三角形面积公式 S ＝12ah(其中 h 是三角形底边 a 上的高)的形式较相似，可类比记忆． (4)由 α，r，l，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 弧度是长度等于半径的弧
(× )
(2)1 弧度是 1°的圆心角所对的弧
(× )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ )
(4)第一象限角可表示为α2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z
(√ )
(2)β1＝45π＝45π×18π0°＝144°. 设 θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°. ∴k＝－1 或 k＝0.∴在－360°～360°范围内与 β1 终边相同的角 是－216°.β2＝－116π＝－116π×18π0°＝－330°. 设 θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． ∵－360°≤θ2＜360°， ∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0 或 k＝1. ∴在－360°～360°范围内与 β2 终边相同的角是 30°.