微积分：利用柱坐标计算三重积分

a Dxy
r
,
cos
x
o
y
z x2 y2
I
4
a
2 4 cos
d d r 2 sin2 r 2 sin dr
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
00 0
dv r2 sin drdd
I ( x2 y2 )dxdydz
2
a
d 4 d cos r 2 sin2 r 2 sin dr
2
2
dz d
ze z2 rdr
1
0 0r
2 2 ez2 zdz (e4 e). 1
z
z2
z x2 y2
z1
O
y
x
y Dz
x
x2 y2 z2
计算(x y z)2dv,
其中是抛物面 z
x2
y2和 球 面x2
y2
z
z2
2
所围成的空间闭区域.
解 ( x y z)2 x2 y2 z2 2( xy yz zx)
且 当( x, y) Dxy时, x2 y2 z 2 x2 y2 ,
Dxy : x2 y2 1,
y Dxy
x
x2 y2 z 2 x2 y2,
x2 y2 1
2 x2 y2
V 1 dv dxdy
1 dz
x2 y2
Dxy
(2 2 x 2 2 y 2 )dxdy
Dxy
2
2
d
1 (1 r 2 )rdr
0
0
0
0
t (0, )
0 r t
所以,F (t)在(0, )内 单调增加.
例 z 2 x2 y2 z x2 y2 所围成的立
体的体积
解 V 1 dv
(先z后xy) x
由 z
z
2
x
2 x2
y2 y
2
.2
z z
2 x2
y2
. 1•
o
z x2 y2 y
x2 y2 1
消 z 得投影区域 Dxy : x2 y2 1,
z z2
解 体密度函数为
k( x2 y2 ) (常数k 0)
M k( x2 y2 )dv
d x2 y2 z
•
• (0,0, z)
(x, y, z)
y
x
o
x
2z x2 y2
O
y
x
z
z2
2z x2 y2
oy
M k( x2 y2 )dv 法1 先 z后xy的柱坐标
dxdy 2 k( x 2 y2 )dz
(r 2 z2 )rdr
Dz(2) : x2 y2 2 z2 (90 2 89).
1
0
0
60
3.利用球坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点,
记OM之 长 为r ,
z
r • M (x, y, z)
向量 OM与z轴 正向的夹角为 , O
将M向xy平面投影,
x
记投影点P在xy平面的极角为
Dxy
x2 y2
2
1
d rdr
2r2 (r 2 z2 )dz
0
0
r2
x
(90 2 89).
60
z
2 x2 y2 z2 2
1• •
• z x2 y2
o
y
y
Dxy
Dxy
x
x2 y2 1
(x y z)2dv ( x2 y2 z2 )dv
z
法2 (先 xy后z)
y •P
则称 (r, , )为点M的 球坐标.
规定 0 r , 0 ,0 2 .
球坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos
x2 y2 r 2 sin2 ,
z
r • M (x, y, z)
z
AxxOy r sin•P
y
x2 y2 z2 r2
Dxy
x2 y2 2
k ( x2 y2 )(2 x2 y2 )dxdy
Dxy
2
2
k d
2 r 2 (2 r 2 )rdr 16 k
0
0
2
3
z
z2
2z x2 y2
O Dxy y
x
x2 y2 4
y Dxy
x
x2 y2 4
M k( x2 y2 )dv
z z2
法2 先 xy后z的柱坐标
球坐标系中：
z
r 为常数 原点为心的球面；
为常数
原点为顶点、z轴为
O
y
轴的半圆锥面；
x
为常数
过z轴的半平面．
z
在球坐标系中，
若以 r , ,为常数
dr
d
r sin
r
的曲面来分割区域 ,
o
其中一小块如图，
x
d
则球坐标系中的体积元素为
dv rd r sin d dr
即 dv r2 sindrd d
r
sin
sin
z r cos
rR
dv r2 sin drdd
2 R
0d
d
0
0
r
2
r 2 sin
dr
2 d • sind • R r 4dr
0
0
0
2 2 R5
4R5
5
5
计算 I
x2 y2 z2 dxdydz,
其 中由z x2 y2 z2 围 成 。
z
1
解 采用 球坐标
I
2
0 d
02d
cos
0r r 2
sin dr
z x2 y2 z2
rcos r 2 r cos
dv r2 sin drdd
•
1
2
xo
y
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
原式
2
d
2 d
cos r 3 sindr
0
0
0
2
2
sin
r4
cos
d
0
40
0
0
0
2
4 0
sin3
1 5
a5 cos5
d
2
4 tan 3 sec2d
a5.
50
10
计算I ( x2 y2 )dxdydz,
: x2 y2 z与 平 面z a(a 0) 所围的立体.
采用 球坐标 (不好)
解 (先z后xy的柱坐标)
I ( x2 y2 )dxdydz
设函数 f ( x)连续且恒大于零,
f ( x2 y2 z2 )dv 球
F(t) (t)
,
f ( x2 y2 )d 极坐标
D(t )
其中 (t) {( x, y, z) x2 y2 z2 t 2},
D(t) {( x, y) x2 y2 t 2}.
讨论 F (t) 在区间 (0, ) 内的单调性.
0
设函数 f ( x)连续且恒大于零
t 2 f (t 2 ) t f (r 2 )rdr tf (t 2 ) t f (r 2 )r 2dr
F(t) 2
0
0
[ t f (r 2 )rdr]2 0
tf (t 2 ) t f (r 2 )r(t r )dr
2
0
[ t f (r 2 )rdr]2
2 x2 y2 z2 2
对 称
( xy yz)dv 0
性 质
zxdv 0
o
x
(x y z)2dv ( x2 y2 z2 )dv
z x2 y2
y
(x y z)2dv ( x2 y2 z2 )dv
法1 (先z后 xy)
2 x2 y2
dxdy ( x2 y2 z2 )dz
2z x2 y2
2
dz k( x2 y2 )dxdy
O
y
x
0 Dz
y Dz : x2 y2 2z
k
2
dz
2
d
2z
r 2 rdr
0
0
0
x
16 k
3
例 计算
ez2 dxdydz,
x2 y2
其中Ω是由锥面
z x2 y2 与平面 z 1、z 2 所围成的锥台体.
解 法1 先 z后xy的柱坐标
d
a r 2 (a r 2 )rdr a3
0
0
6
y Dxy
x
x2 y2 a
当积分区域是球形域 或是球的一部分; 或顶点在原点的锥面围成时, 被积函数具有 f ( x2 y2 z2 ) 的形式时,用 球坐标 计算三重积分较简便.
作业P400 2(2)(18)(19)(22)(23)(26), 10, 12(1)(3)， 15
依然遵循后积先定限
例 求球体 : x2 y2 z2 R2 的质量
z
R
密度函数为 x2 y2 z2 .
解 采用球坐标
M ( x2 y2 z2 )dv
o
y
x
2 R
d d r 2 r 2 sin dr x2 y2 z2 R2
000
x r sin cos
y
1
dz ( x2 y2 z2 )dxdy
0 Dz(1)
d2z ( x2 y2 z2 )dxdy 1 Dz(2)
2 x2 y2 z2 2
1•
z x2 y2
o
y
1
2
dz d
z
(r 2 z2 )rdr
Dz(1) : x2 y2 z
0
2
0
dz
0
2
d
2 z2
r sin d
rd
d
y
x r sin cos , y r sin sin ,z r cos
dv r2 sin drdd
f ( x, y, z)dxdydz f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r 2 sin drdd
注 通常是 先积r、再积、后积 .
z
z2
ez2 dxdydz x2 y2
2
x2
y
dxdy
2 1
1
ez2 dz
x2 y2
2
1
x
O
z x2 y2
z1 y
2
dxdy
1 x2 y2 4 x2 y2
ez2 dz
x2 y2
不好计算！
先xy后z的柱坐标
ez2 dxdydz x2 y2
2
1 dz Dz
ez2 dxdy
x2 y2
2 1
2 cos 4 sind
40
cos5 2
10
0 10
计算I ( x2 y2 )dxdydz, 其中是锥面
x2 y2 z2与 平 面z a(a 0) 所围的立体. z
解 采用 球坐标
• za
x2 y2 z2
z a,
r 2sin2 r 2cos 2 ,
解
F(t)
2
d
sin d
t f (r 2 )r 2 dr
2 t f (r 2 )r 2dr
0
0
0
2
d
t f (r 2 )rdr
0
0
0
t f (r 2 )rdr
0
(讨论 F (t) 在区间 (0, ) 内的单调性.
2 t f (r 2 )r 2dr
F (t)
0
t f (r 2 )rdr
a
dxdy ( x 2 y2 )dz
Dxy
x2 y2
z
• • za
•
• x2 y2 z
xoy
y Dxy
x
x2 y2 a
I ( x2 y2 )dxdydz
a
dxdy ( x 2 y2 )dz
Dxy
x2 y2
( x2 y2 )(a x2 y2 )dxdy
Dxy
2
采用球坐标当积分区域是球形域或顶点在原点的锥面围成时被积函数具有的形式时球坐标计算三重积分较简便
2.利用柱坐标计算三重积分
只要在直角坐标下的后2（或先2）的积分， 用极坐标积分即称为柱坐标积分。
例 求曲面 2z x2 y2与z 2 所围立体的质量M,
已知立体比.