函数零点存在性定理.doc
函数零点存在性定理,DOC
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（3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点；
（4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减．
其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．
答案
由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．（3）正确，
（1）不能确定，
（2）中零点可能为1，
（4）中单调性也不能确定．
例题2
已知函数的取值范围是（
答案：
例题3
例题4
函数f（x）
A. a≥
答案：
∴（5a-1
∴a≥1/5
故选D
．
例题5：
若函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则所有满足条件的a的和为（??? ）。
答案：-1
例题6：
已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：
那么，函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有
] A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
答案：C。
零点存在定理高中导数
零点存在定理高中导数
"零点存在定理"是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个区间内的连续性与导数之间的关系。
在高中的导数学习中，零点存在定理通常表述为：
如果函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 内连续，并且在开区间 ((a, b)) 内可导（即导数存在），那么在开区间 ((a, b)) 内至少存在一点 ( c )，使得函数的导数( f'(c) ) 等于零，即 ( f'(c) = 0 )。
这个定理的直观理解是，如果一个函数在某个区间内是连续的且可导的，那么它在这个区间内至少存在一个点，该点处的导数为零。
这个结论在微积分中有着重要的应用，特别是在研究函数的极值点和拐点时。
在高中阶段学习导数时，了解零点存在定理有助于理解函数在某个区间内导数的性质，以及帮助解决一些相关的数学问题。
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
零点存在定理说课稿
零点存在定理说课稿
零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它是关于连续函数与零点的存在性的一个结果。
在说课稿中，我们可以从以下几个方面来全面介绍这个定理。
首先，我们可以从定理的内容和表述入手。
零点存在定理是指如果一个实数域上的连续函数在一个闭区间上取到了不同符号的函数值，那么在这个区间内一定存在至少一个零点。
这个定理的内容直观地说明了连续函数的零点存在性，对于理解连续函数的性质具有重要意义。
其次，我们可以从定理的证明方法和思路进行阐述。
零点存在定理的证明通常采用了实分析中的基本原理，比如区间套定理、连续函数的性质等。
可以从这些数学原理出发，详细介绍定理的证明思路，以及其中的关键步骤和推理过程，让听众对定理的成立有更深入的理解。
接着，我们可以从定理的应用和意义进行阐述。
零点存在定理在实际问题中有着广泛的应用，比如在方程求根、优化问题、微分方程的存在性等方面都有着重要的作用。
可以举一些具体的例子，
说明定理在实际问题中的应用，以及它对于数学建模和实际问题求解的意义。
最后，我们可以从定理的历史渊源和相关拓展进行介绍。
零点存在定理是实分析中的经典定理，可以简要介绍一下定理的历史渊源和相关的数学发展背景，以及定理的一些拓展和推广，让听众对于定理的来龙去脉有一个更加完整的认识。
通过以上几个方面的介绍，可以使听众对于零点存在定理有一个全面而深入的理解，从而更好地掌握这一重要的数学定理。
《函数的零点存在定理》.doc
《函数的零点存在定理》一、教材内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。
函数零点是研究当函数/(兀)的值为零时，相应的自变量兀的取值, 反映在函数图象上，也就是函数图象与兀轴的交点横坐标。
市于函数/©)的值为零亦EP/(x) = o,其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程/⑴=0有解,则函数/(兀)存在零点,且方程的根就是相应函数的零点, 也是函数图象与尢轴的交点横坐标。
顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。
这是函数与方程关系认识的第一步。
零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。
如果函数y = f(x)在区间［处］上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足/⑷・<0,则函数y = /(x)在区间M内至少有一个零点, 但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。
定理的逆命题不成立。
方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。
二、教学目标分析知识与技能目标：①了解函数零点的概念，理解函数零点与对应方程根之间的关系。
②理解函数零点的两条性质，初步掌握判断函数零点存在的方法。
③在教学过程中渗透数形结合思想,在函数与方程，不等式的联系中体会数学中的转化思想。
过程与方法目标：经历“类比一一归纳一一应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟从具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。
情感态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，严谨的科学态度。
三、教学重点、难点分析教学重点:①函数零点的定义；②函数零点、函数对应方程的实根、函数图像与X轴交点之间的关系；③函数零点存在性判定定理。
人教A版高中数学必修1课件3.1.2函数零点存在性定理课件
由题意，得方程组
函数零点存在性定理
【变式训练】 △ ＝(m ＋1)2 －16 ＞0 f(0) ＝4≥0 f(3) ＝9－3(m＋1) ＋4≥0
知识点—— 函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？ 如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 f(b) ＜0 ，那 连续不断的一条曲线，并且有f(a) · 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
函数零点存在性定理
【说明】
(1)函数 y＝f（x）在区间 [a，b]上有定义； (2)函数的图象是连续不断的一条曲线； (3)函数y＝f（x） 在区间[a，b] 两端点的函数值必 f(b) ＜ 0 ； 须满足f(a) · (4)函数 y＝f（x）在区间 (a，b)内有零点，但不唯 一； (5)用判定方法验证函数f（x） ＝x2 ，说明该方法 仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方 法.
【变式训练】
若二次函数y ＝ － x2 ＋mx －1的图象与两端点为 A(0，3) ，B(3，0) 的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值 范围.
解：线段AB的方程是 x＋y＝3(0≤x≤3)
x＋y＝3ຫໍສະໝຸດ 在0≤x≤3 上有两组实数解 y＝－ x2 ＋mx－1 解得：x2－(m＋1)x＋4＝0 在0≤x≤3 上有两个实根 令f（x）＝ x2－(m＋1)x＋4 ，则二次函数 在0≤x≤3 上有两 个零点.
函数零点存在性定理
【二次函数的零点的应用】 ①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函 数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号，观察函数的一些性质. 注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.
考点34 零点定理(解析版)
考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（ ） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二 零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三 零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>， 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈， 又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ． 2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+， 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>， 由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．强化练习3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）； 当0x >时，110x-=，解得：1x = 所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>． 故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．[)1,-+∞ D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（ ） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（ ） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）； 当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =， 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________． 【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。
零点存在定理
1.学会由函数解析式讨论零点的个数， 证明零点的个数。 2.思想方法：函数方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想
课后作业： 课后作业：
课本P86练习2.
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数： 我们来观察下面表格中的函数：
函数 闭区间 闭区间端点函 数值的乘积 零点
y = 2x −1
2
[0,1]
f (0) f (1) =−1<0
想一想:求下列方程的根或函数的零点: 1.x + 1 = 0; 方程f ( x) = 0有实数根 2 2.x − 2 x + 1 = 0; ⇔函数y = f ( x)图象与x轴有交点 x ⇔函数y = f ( x) 有零点 3. f ( x ) = 2 − 8;
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出， 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f ( x ) = ln ( x ) + 2 x − 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？ 讨论它的零点呢？
-1.309
3
1.089
4
5
6
7
8
9
14.1972
f(x) -4
3.3863 5.6094 7.7918
9.9459 12.0794
区间 ( 2,3)内有零点. f ( x ) 在其他的区间是否存在零点 ? 我们先 来看这个函数的图象 :
由表可知f ( 2 ) < 0, f ( 3) > 0, 则f ( 2 ) f ( 3) < 0, 说明f ( x ) 在
y =log2(2x−3)
高中数学零点存在的原理和应用
高中数学零点存在的原理和应用高中数学中，函数的零点是一个重要的概念。
零点即函数图像与x轴的交点，也就是函数取值为0的点。
零点存在的原理和应用有以下几个方面。
一、零点存在的原理1.介值定理：如果函数在闭区间[a,b]上连续，且函数在区间端点处的值异号（即函数在区间的两个端点处取正值和负值），那么在(a,b)内至少有一个点x0，使得函数取零值。
这个定理也可以叫做柯西中值定理。
2.辛钦定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且函数在区间的两个端点处取正值和负值，那么函数至少有一个零点存在于(a,b)内。
二、零点存在的应用1.方程求解：通过函数的零点，我们可以很方便地求解一些方程。
例如，给定一个函数f(x)，要求解f(x)=0的解，可以通过找到f(x)的零点来解方程。
这在高中数学的方程求解中经常用到。
通过对函数图像进行观察和分析，我们可以推测方程可能的解的范围，并使用适当的方法来进一步求解方程。
2.函数性质分析：函数的零点可以揭示函数的性质。
例如，我们可以通过求解函数的零点来确定函数的增减区间，凸凹区间等。
通过求解零点，我们可以得到更多的信息，进一步深入地了解函数的性质和特点。
3.物理问题求解：零点的概念在物理问题的求解中也有应用。
例如，对于一些物理模型，我们可以通过建立正确的函数模型，并求解函数的零点，来解决相应的物理问题。
例如，抛物线运动问题中，可以通过建立物体的位移函数模型来求得物体的最高点和落地点等信息。
4.优化问题：在一些优化问题中，我们也可以应用零点的概念。
例如，通过建立其中一种函数模型来描述一个具体的优化问题，然后求解这个函数的零点，就可以找到最优解所对应的参数值。
这在实际生活中的一些决策问题中经常使用。
综上所述，高中数学中函数的零点存在的原理是基于介值定理和辛钦定理，其应用非常广泛。
除了方程求解、函数性质分析、物理问题求解和优化问题，零点的概念还有很多其他的应用，例如图像处理、金融领域的风险评估等。
函数零点的性质及应用
函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。
零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。
一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。
对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。
2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。
特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。
3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。
常见的有一重零点、二重零点等。
如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。
4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。
而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。
此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。
二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。
通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。
例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。
2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。
通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
零点定理官方定义
零点定理官方定义
一、背景介绍
零点定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了在特定条件下函数零点的存在性。
在数学分析的学习和研究中，零点定理有着重要的地位和广泛的应用。
为了更好地理解和掌握零点定理，我们需要对其官方定义进行深入研究和报告。
二、零点定理官方定义
零点定理的官方定义如下：
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a) 与 f(b) 异号，即f(a)*f(b) < 0 ，那么在开区间(a, b) 内至少存在一点(c)，使得 f(c) = 0 ，这个点(c)被称为函数f(x)在区间[a, b]内的零点。
三、零点定理的意义和应用
零点定理的直观含义是，如果一个连续函数在区间的两端取不同符号的值，那么在从一端变化到另一端的过程中至少有一点函数值为零。
这可以理解为函数图像从x轴的一侧穿过x轴到另一侧。
零点定理在求解方程、证明函数性质以及进行函数图像分析等方面有着广泛的应用。
例如，我们可以利用零点定理来证明方程的解的存在性，判断函数的零点个数以及分析函数的图像特征等。
四、总结
通过对零点定理的官方定义的研究和报告，我们可以更好地理解和掌握零点定理的基本内容和应用。
零点定理是数学分析中的一个重要定理，它为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
在今后的学习和研究中，我们应该深入研究和应用零点定理，发挥其在数学分析中的重要作用。
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
零点存在性定理
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
感谢您的观看
THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
高中数学《零点定理》 (原卷版)
第九讲 零点定理 【套路秘籍】1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。
（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。
第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。
第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。
【套路修炼】考向一 零点区间【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝x 3－x －1，x ∈[－1,2]； (3)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．【举一反三】1.函数()21f x xlog x ＝－的零点所在区间是( ) A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．()1,2D ．()2,32.已知函数()21()2x f x lnx -＝－的零点为x 0，则0x 所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)考向二零点个数【例2】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【举一反三】1. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.2.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}3.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，2x－6＋ln x，x>0的零点个数是．4.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为．5.函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内零点个数为．考向三利用零点求参数【例3】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，(x－2)2，x>2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝⎛⎭⎪⎫74，2【举一反三】1.已知函数f(x)满足f(x)＝f⎝⎛⎭⎪⎫1x，当x∈[1,3]时，f(x)＝ln x，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax 与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝⎛⎭⎪⎫0，12eC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e2.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c【套路运用】1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )2.已知()23xf x xx x=+-，则()y f x=的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13.已知函数()131,2xf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x零点的是【套路总结】1.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭4.已知函数()|21,2,{ 3,2,1x x f x x x -<=>-若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()0,3D ．()1,35.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1，＋∞)6.函数f (x )＝2x＋log 2|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－1x，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋19.函数3y x =与3y x =+图象交点的横坐标所在的区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]0,1 C ．[]1,0- D ．[]2,310.命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件11.定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ ）A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +12．已知函数()231,01,0xx f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若存在()(]120,,,0x x ∈+∞∈-∞，使得()()12f x f x =，则1x 的最小值为（ ）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．213.已知函数()xf x e =，()lng x x =，若有()()f m g n =，则n 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞14.若a 满足lg 6x x +=，b 满足106xx +=，函数()()22,0{2,0x a b x x f x x +++<=≥，则关于x 的方程()5f x x =的解的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．115.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，()2f x x =-；当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()ln ||y f x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 16．函数()πsin 25π6x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点的个数为（） A .16B .18C .19D .2017.已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).18.若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是 ．19.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．20.若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是 ．21．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为 ．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 ．23．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )＋a ，x <0，f (x ＋1)，x ≥0，a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为 ．。
3.1.1函数零点存在性定理 课件
（3）f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一错
个零点。
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个-2 注意点：
1 函数是连续的。 -4
2 定理不可逆。
3 至少-6 存在一个零点。
类型一：零点所在区间的判断
例题 1：函数 f(x)=lgx-9的零点所在的大致区间是
x
知识探究：函数零点存在性定理
数学实例探究: 观察二次函数 f (x) = x2 - 2x - 3 的图象：
○1 f (-2) · f (1) ___<__0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
○2 f (2) · f (4) ___<_0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 能力提升：
已知a R,讨论关于 x 的方程
x2 - 6x + 8 = a 实数解的个数
知识总结：
函数零点存在性定理：
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
知识探究：函数零点存在性定理
观察函数y=f(x)的图象； 则f(x)在 区间[a,b]上 有(有/无)零点;f(a)•f(b) < 0(“<”“>”) 区间[b,c]上 有(有/无)零点;f(b)•f(c) < 0(“<”“>”) 区间[c,d]上 有(有/无)零点;f(c)•f(d) < 0(“<”“>”)
函数的零点
函数的零点◆知识点一、函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2、几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3、函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．◆知识点二、二分法求方程的近似解知识点三◆方法与要点1、一个口诀：用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2、两个防范：(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．3、三种方法：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例与练：1.函数f (x )＝－2＋ln x ，x ＞0x2＋2x －3，x ≤0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．02函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3.．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为 ( ) .A 1-,04⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4方程12xx +=根的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx ，h(x)=x--1的零点分别为x 1,x 2,x 3，则x 1,x 2,x 3的大小关系是6.若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞ D ．Φ7.若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）可以是( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.58．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)9.xx x f 1lg )(-=零点所在区间是（ ）. A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞ 10.已知函数)(x f 为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．11已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是12已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．。
零点定理
0abbb Nhomakorabeabb
bb
b b bb x
b
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 (b)<0。
f f(a)·
• 思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连 续的单调函数, 并且在闭区间的两个端点 上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个 函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？
叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
2、等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
练习1：求下列函数的零点：
y 2x 8 y 2 log 3 x . （1 ） ; （2 ）
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (1) x 4
<上______( 有 有/无)零 ③ 在区间(c,d) 点； f(c).f(d) _____ 0 （＜或＞）． < 3 2 ○ 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞） ．
． f (2) · f (1) _____0（＜或＞）
<
<
结 论
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点存在性原理1543有有有有有有结论结论如果函数yfx?在区间??ab上的图象是连续不断的一条曲线并且有0fafb??那么函数yfx?在区间??ab内有零点即存在??cab?使得0fc?这个c也就是方程0fx?的根
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函数零点存在性定理:
一般地，如果函数y=f(x)在区间［a , b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) . f(b)<o ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在ce(a , b)，使得f(c)=O z这个c也就是f(x ) =0的根.特别提醒:⑴根据该定理，能确定f(x) 在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.
(2) 并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a , b)上没有零点, 例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0) f(3)>0 ,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
(3) 若f(x)在［a , b］上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a) . f(b)<0，则fx )在(a , b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法：
(1) 几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数V =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
特别提醒：①“方程的根”与"函数的零点"尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在［0 , 2］上有两个等根，而函数f ( x ) =x2.2x +1在［0 , 2］上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2) 代数法:求方程f(x ) =0的实数根.
例题1：
若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2 )内，下列结论：
(1)函数f ( x )在区间(0,1)内有零点；
(2 )函数f ( x )在区间(0 , 1)或(1,2)内有零点；
(3 )函数f ( x )在区间［2 , 16 )内无零点；
(4 )函数f ( x )在区间(0 , 16 )上单调递增或递减.
其中正确的有(写出所有正确结论的序号).
答案
由题意可确定f（X）唯一的一个零点在区间（0,2 ）内，故在区间［2 , 16 ）内无零点. （3）正确，
（1）不能确定,
（2）中零点可能为1,
（4）中单调性也不能确定.
故答案为：（3）
例题2:
已知函数/⑴=虻一2x + 々有零点，则实数“的取值范围是（）答案：（一2 In 2 — 2］
例题3：
^A=（x|0<x<2}, B=（y|l<y<2},下列图形表示集合集合B的函数的图家的是（
答案（找作业答案…〉> 上魔方格）
A和B中y的取值范围不是［1, 2］,不合题意，故磷B都不成立；
C中x的取值范围不是［0,股，y的取值范围不是［1, 2］,不合题意，故C不成立;
D中，0<x<2, l<y<2,符合题意，
故选D.
例题4：
函数f ( X ) =3ax-2a+l在［-1 , 1］上存在一个零点，则实数a的取值范围是( ) A. a N 1/5; B. a W -1 ; C. -1 W a W 1/5 ; D. a & 1/5 或a W -1
答案：由题意可得f(・l) xf(l)《0,解得
... ( 5a-l) ( a + 1) >0
/.a> 1/5 或M-l
故选D
例题5：
若函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点me(a , a+1) , aeZ，则所有满足条件的a的和为(\答案：-1
例题6:
已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的X与f(x)的对应值表:
那么，函数f(x)在区间［1 , 6］上的零点至少有
A . 5个
B . 4个
C . 3个
D . 2个
答案：C。