全国通用版2019版高考数学大一轮复习第九章概率课时达标52几何概型

课时达标 第52讲 几何概型
[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A.4
5 B ．35 C.2
5
D ．15
解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P ＝3
5
.
2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2
＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A.1
5 B ．25 C.3
5
D ．45
解析 方程有实根，则Δ＝p 2
－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为
5－25－0＝35
. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A.1
6 B ．14 C ．1
3
D ．23
解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，5π6，
∴P ＝5π6－π
62π＝13
.故选C.
4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B
)
A.1
4 B ．π8
C.1
2
D ．π4
解析 设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π
2.根据
几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π
24＝π
8
.故选B.
5．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋2≥0，x ≤4，
y ≥－2
表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，
则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )
A.4
13 B ．513 C.
8
25
D ．925
解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.
P ＝S △AED S △ABC ＝1
2×6×3
12
×10×5＝925
.故选
D.
6．已知函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件
⎩
⎪⎨⎪⎧
f ，
f －
为事件A ，则事件A 发生的概率为( C )
A.1
4 B ．3
8 C.1
2
D ．58
解析 由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，0≤b ≤4，0≤c ≤4，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＋c －8≤0，
2b －c ≥0，
0≤b ≤4，0≤c ≤4
表示的区域如图中阴影部分所示，可知阴影
部分的面积为8，所以所求概率为1
2
.故选C.
二、填空题
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__1
2
__.
解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，
则点M 到底面ABCD 的距离小于1
2，
所以所求概率P ＝1×1×
121×1×1＝1
2
.
8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__
1
2π
__.
解析 作圆O ：x 2
＋y 2
＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2
就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝1
2π
.
9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是__17
25
__.
解析 设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x
＋y <6
5
，由几何
概型知，所求概率为P ＝12
－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝
⎛⎭⎪⎫1－1512
＝1725
. 三、解答题
10．设事件A 表示“关于x 的一元二次方程x 2
＋ax ＋b 2
＝0有实根”，其中a ，b 为实常数．
(1)若a 为区间[0,5]上的整数值随机数，b 为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；
(2)若a 为区间[0,5]上的均匀随机数，b 为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．
解析 (1)当a ∈{0,1,2,3,4,5}，b ∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A 发生，则a 2
－4b 2
≥0，即|a |≥2|b |.又a ≥0，b ≥0，所以a ≥2b .从而数对(a ，
b )的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)，
(5,1)，(5,2)，共12组值，所以P (A )＝1218＝2
3
.
(2)据题意，试验的全部结果所构成的区域为D ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域B ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2，a ≥2b }．在平面直角坐标系中画出区域B ，D ，如图．
其中区域D 为矩形，其面积S (D )＝5×2＝10， 区域B 为直角梯形，其面积S (B )＝1＋5
2×2＝6.
所以P (A )＝
S B S D ＝610＝3
5
.
11．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是1
2
.
(1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .
①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2
＋y 2
>(a －b )2
恒成立”的概率． 解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，
取到标号为2的小球的概率是
n
n ＋2＝1
2
，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝2
3
.
②由①可知(a －b )2
≤4，故x 2
＋y 2
>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝
4－14
π·224＝1－π4
.
12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2
(R 为圆盘的半径)，
阴影区域的面积为4×15πR 2
360＝πR
2
6.
所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR
2
6πR 2＝1
6
.
如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，
摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝1
5
，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。