具有量化和时延的不确定系统的鲁棒预测控制
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HOU Yongpeng，XUE Binqiang
（School of Automation，Qingdao University，Qingdao 266071，China）
Abstract: In order to solve the problem of time delay and quantization in the process of data transmission
method is verified by numerical simulation.
Keywords: delay；quantization；uncertain systems；robust predictive control；sector⁃bounded
网 络 控 制 系 统（Networked Control Systems,NCS）
u 0 > 0。p 为量化密度，p 比较小时，量化级数也小，量
化器较为粗糙。根据量化级数的定义，对数量化器
可以表示为：
ìu i , 1 u i < v < 1 u i ,v > 0
ïï 1 + δ
1-δ
f (v) = í0,v = 0
ïï
î-f (-u),v < 0
其中，δ =
1-p
。量化器的量化误差可以定义为
化问题可以描述为：
min
max
J(k) = min
max
(J 0 (k) + J1(k))
U(k)
U(k)
Δ(k)
Δ(k)
（7）
其 中 ，J 0 (k) = xT (k| k)Qx(k| k) +[(I + Δ(k))× u(k| k)]T
R[(I + Δ(k))u(k| k)]，J1(k) =∑xT (k + l| k)Qx(k + l| k) +[(I +
[ΔA
ΔB ΔA d] = DN [E a E b E d]
（2）
文中采用对数量化器量化控制输入信号。采用文
献[16]对数量化器的定义，相应的量化反馈为：
定 义 1：假 设 对 称 矩 阵 a = ê
a11 ≥ 0,a 22 - a 21a11-1a12 ≥ 0 或者 a 22 ≥ 0,a11 - a12 a-1
为此，文中首先在控制器到执行器通道设置对
数量化器，然后利用 Lyapunov 稳定性理论和成熟的
时滞系统的理论控制方法将量化带来的不确定与系
统模型的不确定相结合，构建一个具有量化和时延
的不确定系统模型，随后根据预测控制理论建立系
统的预测模型，在前人的基础上将系统转化为基于
线性矩阵不等式的 min-max 优化问题进行分析，给
系 统 预 测 输 出 序 列 为 U(k) ={u(k|k),u(k + 1|k), …,u(k +
l|k)},l＞1。假设系统预测输出序列满足 u(k|k)=u(k)，u
(k + l|k) =K(k)x(k + 1|k)，l＞0，其 中 K(k) 为 反 馈 增 益 ，因
此，在满足系统性能指标条件下，预测输出序列的优
ú
0
0 -ε-1 Iû
ë 0
* * * ù
éΞ 2 *
êΞ -P(k) * * * ú
ê 3
ú
φ 4 = êe3 0 -S(k) * * ú
êM M
M O * ú
ê
ú
0 Λ -S(k)û
ëe 4 0
-162-
éQ1/2 x(k| k) 0
ê 1/2
êêR u(k| k) 0
φ 5 = êê 0
BT P(k)
∞
l=1
Δ(k))u(k + l| k)] R[(I + Δ(k))u(k + l| k)] 。
T
为了便于下文对系统进行稳定性分析和鲁棒预
维数的矩阵，其增量矩阵为时变矩阵并且满足如下
测控制器设计，文中需要用到如下几个定义：
条件：
éa11 a12ù
ú ，其 中 a11 和
ëa 21 a 22û
a 22 都 为 方 矩 阵 且 可 逆 ，那 么 a ≥ 0 可 以 等 价 为
due to communication limitation，the stability analysis is presents and robust predictive controller is
designed for a class of uncertain network systems with time delay and quantization. The quantization
is established，and the robust predictive controller design method is given by Lyapunov theory and linear
matrix inequality method，and the stability of the system is guaranteed. The effectiveness of the proposed
在量化的情况，假设存在一个离散不确定系统，如下:
x(k + 1) =(A + ΔA)x(k) +(B + ΔB)u(k) +(A d + ΔA d )x(k - d)
（1）
其中，x 表示系统状态并假设系统状态可观测，u
表示系统的输入；d 为时延常数；A, B, Ad 为具有适当
（6）
其中，x(k + l| k) 表示对 k + l 时刻的状态预测值。
此基础上设计了一种鲁棒预测控制器。通过数值仿真证明了该方法的有效性。
关键词：时延；量化；不确定系统；鲁棒预测控制；扇形有界
中图分类号：TN601
文献标识码：A
DOI：10.14022/j.issn1674-6236.2021.09.034
文章编号：1674-6236（2021）09-0160-05
Robust predictive control for uncertain systems with quantization and delay
系统的结构图如图 1 所示。
进行分析，根据式（5）的模型可以写出系统的预测模
型，如下：
x(k + l + 1| k) =(A + ΔA)x(k + 1| k) +(I + Δ(k))(B + ΔB)u(k
+l| k) + (A d + ΔA d ) × x(k + l - d| k)
图1
具有量化的 NCS 系统结构图
以 及 反 馈 控 制 增 益 K(k) ，如 果 存 在 合 适 维 数 的
矩 阵 W(k) > 0, X(k) > 0, P(k) > 0, S(k) > 0 以 及 标 量
ε > 0, γ(k)> 0，使 无 穷 时 域 性 能 指 标 具 有 最 小 上
界 ，即 ：
min
W(k),X(k),P(k),S(k),ε
角阵。
1 系统描述
（4）
根据上述描述，具有控制输入量化的式（1）的系
x(k + 1) =(A + ΔA)x(k) +(I + Δ(k))
×(B + ΔB)u(k) + (A d + ΔA d )x(k - d)
（5）
由于鲁棒预测控制具有良好的处理系统不确定
性的能力，因此，文中运用鲁棒预测控制模型对系统
第 29 卷
Vol.29
第9期
No.9
电子设计工程
Electronic Design Engineering
2021 年 5 月
May 2021
具有量化和时延的不确定系统的鲁棒预测控制
侯永鹏，薛斌强
（青岛大学 自动化学院，山东 青岛 266071）
摘要：针对通信受限导致数据传输过程中发生的时延和量化问题，文中对一类具有时延和量化的
究虽然都取得了一定的进展，但都没有考虑系统结
作者简介：侯永鹏（1996—），男，河南许昌人，硕士研究生。研究方向：网络控制系统研究、鲁棒控制等。
-160-
侯永鹏，等
具有量化和时延的不确定系统的鲁棒预测控制
构的不确定性或者没有考虑信号的量化。在实际应
用中，系统的结构往往是复杂多变的，因此，对于具
有量化的结构参数不确定的网络系统还有待研究。
problem of the system is transformed into the robust problem of the system by using the pair quantizer and
sector⁃bounded method. Combining the mature analysis method of time ⁃delay system，the system model
题。近年来，许多学者已经对网络系统进行了大规
是由实时网络构成的闭环反馈控制系统。相对于一
模的研究并且取得了显著的成果 [1-8]。文献[9]研究了
般的点对点系统，网络系统具有可靠性高、灵活性高
具有时延的网络控制系统；文献[10]通过将 NCS 建模
以及易于维护等优点，已经在军事、医疗以及航天航
空等许多领域得到了广泛应用。然而，由于网络带
网络不确定系统进行了稳定性分析和鲁棒预测控制器设计。采用对数量化器和扇形有界方法将
系统的量化问题转化为系统的鲁棒问题，运用成熟的时延系统分析方法，建立系统模型以及预测
模型，结合 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式(LMI)方法给出系统鲁棒预测控制器的设计方
法，给出了保证系统稳定的条件，将系统的鲁棒预测控制问题转化为易于求解的 LMI 优化问题并在
1+p
e(k) = f (u(k)) - u(k) = Δ(k)u(k)。因此，经过量化后的输入
n 维向量；矩阵 X > 0 表示对阵正定矩阵；0 和 I 分别
可以利用误差进行表述。
矩阵的转置；*表示矩阵的对称项；diag(a,b,c) 表示对
统可以描述为：
表示零矩阵和单位阵；存在矩阵 X 和 XT，其中 T 表示
出了系统的稳定性条件和控制器的设计方法，最后
通过仿真对该文的结论进行验证。
为了后续表示方便，文中采用如下标号：Rn 表示
uˉ(k) = f (v(k)) =[ f1(v1(k)), f 2 (v 2 (k)),…, f m (v m (k))]T （3）
根据对数量化器的对称性可知，量化级数可以
写成 U ={±u i ,u i = pi u 0 ,i = ±1, ±2,…} ∪{0} ∪{±u 0}，0 < p < 1，
êê
êê Ξ 4
0
ê
T
D P(k)
ë 0
Ξ 4 = E a x(k| k) + E b u(k| k) + E d x(k - d| k)
e1 = A + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK(k); e 2 = E a + E b K(k);
e3 = S(k)x(k| k); e 4 = S(k)x(k - d| k)
的稳定性。因此，对于网络系统控制问题的研究显
H ∞ 量化控制器；文献[14]将系统的时延转化为系统
得十分必要。
的 不 确 定 性 问 题 进 行 分 析 ，具 有 一 定 的 保 守 性 ；文
对于网络控制系统的研究早已不是一个新的课
收稿日期：2020-06-01
稿件编号：202006007
献 [15]研究了不确定系统的鲁棒反馈控制。上述研
图 1 显示了传感器到执行器端存在量化的网络
控制系统的结构，从图 1 可以看到，网络控制系统中
可能发生的问题有传感器到控制器、控制器到执行
器的信号量化问题、时延问题、数据丢包问题以及通
信时序发生错乱等问题，这些问题都会给系统的分
析带来困难，甚至造成系统的失衡。
文中考虑一类具有时延和传感器到控制器端存
22 a 21 ≥ 0。
-161-
《电子设计工程》2021 年第 9 期
定义 2：假设存在具有适当维数的实矩阵 D,F 和
E,并且矩阵 F 满足 F F ≤ H，那么存在 ∀ε > 0，有：
T
DFE + E T F T DT ≤ εDHDT + ε-1 E T E
（8）
2 稳定性分析
定 理 1 ：给 定 系 统 的 量 化 密 度 δ，输 出 u(k| k)
éφ1 * ù
ê
ú<0
ëφ 2 φ3û
（10）
能 γ(k)。
* ù
éΞ1 *
êê0 -S(k) * úú
φ1 = ê
úú
ê
-1
ëe1 A d -P (k)û
0 0ù
ú
0 BTúú
E d 0 úú
ú
0 Dû
*
*
* ù
é-R
ê I -W(k) *
* úú
ê
ú
φ3 = êê
E b -εI * úú
ê 0
ê
宽有限会产生网络诱导时延和数据丢包以及时序错
乱等问题，这会给系统带来消极影响，甚至破坏系统
为 具 有 事 件 约 束 的 动 态 系 统 ，分 析 了 其 稳 定 性 ；文
献[11] 采用了一种新型的 Lyapunov 泛函对量化系统
进行了稳定性分析；文献[12] 利用 Delta 算子设计了
量化反馈控制器；文献[13]设计了具有时延和量化的
（School of Automation，Qingdao University，Qingdao 266071，China）
Abstract: In order to solve the problem of time delay and quantization in the process of data transmission
method is verified by numerical simulation.
Keywords: delay；quantization；uncertain systems；robust predictive control；sector⁃bounded
网 络 控 制 系 统（Networked Control Systems,NCS）
u 0 > 0。p 为量化密度，p 比较小时，量化级数也小，量
化器较为粗糙。根据量化级数的定义，对数量化器
可以表示为：
ìu i , 1 u i < v < 1 u i ,v > 0
ïï 1 + δ
1-δ
f (v) = í0,v = 0
ïï
î-f (-u),v < 0
其中，δ =
1-p
。量化器的量化误差可以定义为
化问题可以描述为：
min
max
J(k) = min
max
(J 0 (k) + J1(k))
U(k)
U(k)
Δ(k)
Δ(k)
（7）
其 中 ，J 0 (k) = xT (k| k)Qx(k| k) +[(I + Δ(k))× u(k| k)]T
R[(I + Δ(k))u(k| k)]，J1(k) =∑xT (k + l| k)Qx(k + l| k) +[(I +
[ΔA
ΔB ΔA d] = DN [E a E b E d]
（2）
文中采用对数量化器量化控制输入信号。采用文
献[16]对数量化器的定义，相应的量化反馈为：
定 义 1：假 设 对 称 矩 阵 a = ê
a11 ≥ 0,a 22 - a 21a11-1a12 ≥ 0 或者 a 22 ≥ 0,a11 - a12 a-1
为此，文中首先在控制器到执行器通道设置对
数量化器，然后利用 Lyapunov 稳定性理论和成熟的
时滞系统的理论控制方法将量化带来的不确定与系
统模型的不确定相结合，构建一个具有量化和时延
的不确定系统模型，随后根据预测控制理论建立系
统的预测模型，在前人的基础上将系统转化为基于
线性矩阵不等式的 min-max 优化问题进行分析，给
系 统 预 测 输 出 序 列 为 U(k) ={u(k|k),u(k + 1|k), …,u(k +
l|k)},l＞1。假设系统预测输出序列满足 u(k|k)=u(k)，u
(k + l|k) =K(k)x(k + 1|k)，l＞0，其 中 K(k) 为 反 馈 增 益 ，因
此，在满足系统性能指标条件下，预测输出序列的优
ú
0
0 -ε-1 Iû
ë 0
* * * ù
éΞ 2 *
êΞ -P(k) * * * ú
ê 3
ú
φ 4 = êe3 0 -S(k) * * ú
êM M
M O * ú
ê
ú
0 Λ -S(k)û
ëe 4 0
-162-
éQ1/2 x(k| k) 0
ê 1/2
êêR u(k| k) 0
φ 5 = êê 0
BT P(k)
∞
l=1
Δ(k))u(k + l| k)] R[(I + Δ(k))u(k + l| k)] 。
T
为了便于下文对系统进行稳定性分析和鲁棒预
维数的矩阵，其增量矩阵为时变矩阵并且满足如下
测控制器设计，文中需要用到如下几个定义：
条件：
éa11 a12ù
ú ，其 中 a11 和
ëa 21 a 22û
a 22 都 为 方 矩 阵 且 可 逆 ，那 么 a ≥ 0 可 以 等 价 为
due to communication limitation，the stability analysis is presents and robust predictive controller is
designed for a class of uncertain network systems with time delay and quantization. The quantization
is established，and the robust predictive controller design method is given by Lyapunov theory and linear
matrix inequality method，and the stability of the system is guaranteed. The effectiveness of the proposed
在量化的情况，假设存在一个离散不确定系统，如下:
x(k + 1) =(A + ΔA)x(k) +(B + ΔB)u(k) +(A d + ΔA d )x(k - d)
（1）
其中，x 表示系统状态并假设系统状态可观测，u
表示系统的输入；d 为时延常数；A, B, Ad 为具有适当
（6）
其中，x(k + l| k) 表示对 k + l 时刻的状态预测值。
此基础上设计了一种鲁棒预测控制器。通过数值仿真证明了该方法的有效性。
关键词：时延；量化；不确定系统；鲁棒预测控制；扇形有界
中图分类号：TN601
文献标识码：A
DOI：10.14022/j.issn1674-6236.2021.09.034
文章编号：1674-6236（2021）09-0160-05
Robust predictive control for uncertain systems with quantization and delay
系统的结构图如图 1 所示。
进行分析，根据式（5）的模型可以写出系统的预测模
型，如下：
x(k + l + 1| k) =(A + ΔA)x(k + 1| k) +(I + Δ(k))(B + ΔB)u(k
+l| k) + (A d + ΔA d ) × x(k + l - d| k)
图1
具有量化的 NCS 系统结构图
以 及 反 馈 控 制 增 益 K(k) ，如 果 存 在 合 适 维 数 的
矩 阵 W(k) > 0, X(k) > 0, P(k) > 0, S(k) > 0 以 及 标 量
ε > 0, γ(k)> 0，使 无 穷 时 域 性 能 指 标 具 有 最 小 上
界 ，即 ：
min
W(k),X(k),P(k),S(k),ε
角阵。
1 系统描述
（4）
根据上述描述，具有控制输入量化的式（1）的系
x(k + 1) =(A + ΔA)x(k) +(I + Δ(k))
×(B + ΔB)u(k) + (A d + ΔA d )x(k - d)
（5）
由于鲁棒预测控制具有良好的处理系统不确定
性的能力，因此，文中运用鲁棒预测控制模型对系统
第 29 卷
Vol.29
第9期
No.9
电子设计工程
Electronic Design Engineering
2021 年 5 月
May 2021
具有量化和时延的不确定系统的鲁棒预测控制
侯永鹏，薛斌强
（青岛大学 自动化学院，山东 青岛 266071）
摘要：针对通信受限导致数据传输过程中发生的时延和量化问题，文中对一类具有时延和量化的
究虽然都取得了一定的进展，但都没有考虑系统结
作者简介：侯永鹏（1996—），男，河南许昌人，硕士研究生。研究方向：网络控制系统研究、鲁棒控制等。
-160-
侯永鹏，等
具有量化和时延的不确定系统的鲁棒预测控制
构的不确定性或者没有考虑信号的量化。在实际应
用中，系统的结构往往是复杂多变的，因此，对于具
有量化的结构参数不确定的网络系统还有待研究。
problem of the system is transformed into the robust problem of the system by using the pair quantizer and
sector⁃bounded method. Combining the mature analysis method of time ⁃delay system，the system model
题。近年来，许多学者已经对网络系统进行了大规
是由实时网络构成的闭环反馈控制系统。相对于一
模的研究并且取得了显著的成果 [1-8]。文献[9]研究了
般的点对点系统，网络系统具有可靠性高、灵活性高
具有时延的网络控制系统；文献[10]通过将 NCS 建模
以及易于维护等优点，已经在军事、医疗以及航天航
空等许多领域得到了广泛应用。然而，由于网络带
网络不确定系统进行了稳定性分析和鲁棒预测控制器设计。采用对数量化器和扇形有界方法将
系统的量化问题转化为系统的鲁棒问题，运用成熟的时延系统分析方法，建立系统模型以及预测
模型，结合 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式(LMI)方法给出系统鲁棒预测控制器的设计方
法，给出了保证系统稳定的条件，将系统的鲁棒预测控制问题转化为易于求解的 LMI 优化问题并在
1+p
e(k) = f (u(k)) - u(k) = Δ(k)u(k)。因此，经过量化后的输入
n 维向量；矩阵 X > 0 表示对阵正定矩阵；0 和 I 分别
可以利用误差进行表述。
矩阵的转置；*表示矩阵的对称项；diag(a,b,c) 表示对
统可以描述为：
表示零矩阵和单位阵；存在矩阵 X 和 XT，其中 T 表示
出了系统的稳定性条件和控制器的设计方法，最后
通过仿真对该文的结论进行验证。
为了后续表示方便，文中采用如下标号：Rn 表示
uˉ(k) = f (v(k)) =[ f1(v1(k)), f 2 (v 2 (k)),…, f m (v m (k))]T （3）
根据对数量化器的对称性可知，量化级数可以
写成 U ={±u i ,u i = pi u 0 ,i = ±1, ±2,…} ∪{0} ∪{±u 0}，0 < p < 1，
êê
êê Ξ 4
0
ê
T
D P(k)
ë 0
Ξ 4 = E a x(k| k) + E b u(k| k) + E d x(k - d| k)
e1 = A + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK(k); e 2 = E a + E b K(k);
e3 = S(k)x(k| k); e 4 = S(k)x(k - d| k)
的稳定性。因此，对于网络系统控制问题的研究显
H ∞ 量化控制器；文献[14]将系统的时延转化为系统
得十分必要。
的 不 确 定 性 问 题 进 行 分 析 ，具 有 一 定 的 保 守 性 ；文
对于网络控制系统的研究早已不是一个新的课
收稿日期：2020-06-01
稿件编号：202006007
献 [15]研究了不确定系统的鲁棒反馈控制。上述研
图 1 显示了传感器到执行器端存在量化的网络
控制系统的结构，从图 1 可以看到，网络控制系统中
可能发生的问题有传感器到控制器、控制器到执行
器的信号量化问题、时延问题、数据丢包问题以及通
信时序发生错乱等问题，这些问题都会给系统的分
析带来困难，甚至造成系统的失衡。
文中考虑一类具有时延和传感器到控制器端存
22 a 21 ≥ 0。
-161-
《电子设计工程》2021 年第 9 期
定义 2：假设存在具有适当维数的实矩阵 D,F 和
E,并且矩阵 F 满足 F F ≤ H，那么存在 ∀ε > 0，有：
T
DFE + E T F T DT ≤ εDHDT + ε-1 E T E
（8）
2 稳定性分析
定 理 1 ：给 定 系 统 的 量 化 密 度 δ，输 出 u(k| k)
éφ1 * ù
ê
ú<0
ëφ 2 φ3û
（10）
能 γ(k)。
* ù
éΞ1 *
êê0 -S(k) * úú
φ1 = ê
úú
ê
-1
ëe1 A d -P (k)û
0 0ù
ú
0 BTúú
E d 0 úú
ú
0 Dû
*
*
* ù
é-R
ê I -W(k) *
* úú
ê
ú
φ3 = êê
E b -εI * úú
ê 0
ê
宽有限会产生网络诱导时延和数据丢包以及时序错
乱等问题，这会给系统带来消极影响，甚至破坏系统
为 具 有 事 件 约 束 的 动 态 系 统 ，分 析 了 其 稳 定 性 ；文
献[11] 采用了一种新型的 Lyapunov 泛函对量化系统
进行了稳定性分析；文献[12] 利用 Delta 算子设计了
量化反馈控制器；文献[13]设计了具有时延和量化的