向量的加法运算-高一数学教材配套教学课件(人教A版2019必修第二册)
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Ԧ
新知探究
根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，
运算律可以有效地简化运算.
思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结
合律呢？ 非零向量，，研究
Ԧ
Ԧ + 与 + Ԧ .
作 = ，
Ԧ
= ，
以，为邻边作□，容易发现 = ， = ，
Ԧ
故 = + = Ԧ + .
又 = + = + ，
Ԧ
所以Ԧ + = + .综上，向量的加法满足交换律.
Ԧ
+
新知探究
思考：你能否验证结合律，即(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + )呢？
Ԧ
如图，作 = ，
[3,13] .
牛刀小试：若|| = 8，|| = 5，则||的取值范围是__________
新知探究
思考：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作用，
你能作出这个物体所受合力吗？
我们知道，合力在以，为邻边的平行四
2
边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.
B.BE
C. AD
D. CF
)
E
F
A
D
思路：用相等向量代换，使首尾相接
C
B
习题演练
变2.如图所示，在∆中，为重心，，，分别是, , 的中
点，化简下列三式.
(1) + +
(2) + + .
解：(1) + + = ( + ) + = + = .
AB BC AC
①向量加法的三角形法则：
首尾相接，和向量由起点指向终点.
适用于任意向量求和.
O
a
②向量加法的平行四边形法则：
同起点，和向量由起点指向对角线端点 b
ab
A
OA OB OC
适用于不共线的向量求和.
B
C
对于零向量与任意向量，我们规定：
Ԧ
Ԧ + 0 = 0 + Ԧ = .
混合运算
混合运算
6.2.1 向量的加法运算
高一下学期
学习目标
1、理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律；
2、掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算；
3、理解数的加法与向量加法的联系与区别；
4、通过学习向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提升直观想象和
数学运算素养.
重点：向量加法的概念和运算法则
Ԧ
一般地，我们有|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||
,
Ԧ 反向
,
Ԧ 同向
作业布置
1、教材习题：P10
P22 习题6.2 T1,2,3
AF
AB BC CD DE EF _____
AF FA 0
AB BC CD DE EF FA ____
n个首尾相接的向量相加，其和向量是首向量的起点指向末向量的终点.
习题演练
AC
[练习5]化简AB MB BO BC OM _____
以，为邻边作□，
则表示船实际航行的速度.
典例精析
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船
从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 /ℎ，同时
江水的速度为向东6 /ℎ.
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水
难点：向量加法的几何意义及运算律
新知探究
我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.
能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
思考：如图，某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？
物理知识告诉我们，这个质点两次位移， 的结果，
与从点直接到点的位移结果相同.
数的加法启发我们,从运算的角度看，可以看做是
教材P10
船实际航行速度
15km/ h
7.5km/ h
A
水速
ห้องสมุดไป่ตู้
B
课堂小结
向量求和
的法则
图示
几何意义
三角形
法则
Ԧ
平行四边
形法则
已知非零向量，，在平面内取任意一点，
Ԧ
作 = ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的
Ԧ
和，记作Ԧ + ，即Ԧ + = + =
Ԧ +
Ԧ +
Ԧ
以同一点为起点的两个已知向量，，
Ԧ
以，为邻边作□，则以为起
点的向量(是□的对角线)就是
向量与的和
Ԧ
课堂小结
向量加法的运算律
(1)交换律：Ԧ + = + .
Ԧ
(2)结合律：(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
与的和,即位移的合成可以看做向量的加法.
AC AB BC
学习目标
a
如图，已知非零向量，，求
Ԧ
Ԧ + .
b
①向量加法的三角形法则：首尾相接，和向量由起点指向终点.
作法：在平面内任取一点
A
B
作 = Ԧ ，
= ，
则叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + .
即Ԧ + = + = .
•
1
从运算的角度看，可以看作是1 与2 的和，
即力的合成可以看作向量的加法.
= +
新知探究
如图，已知非零向量，，求
Ԧ
Ԧ + .
a
b
②向量加法的平行四边形法则：同起点，和向量由起点指向对角线端点
作法：在平面内任取一点O
作OA a , OB b,
则OC叫做a与b的和, 记作a b.
即a b OA OB OC
O
a
A
b ab
B
C
教材P10
1、如图，在各小题中，已知非零向量，，用平行四边形法则求作
Ԧ
Ԧ + .
b
b
a
b
a
a
b
b
ab
思考：两种加法法则适用于任意向量的加法运算吗？
b
b
ab
a
新知生成
1、向量的加法运算法则
已知非零向量a, b, 求a b.
Ԧ
综上，向量的加法满足结合律.
+
新知探究
向量加法的运算律
(1)交换律：Ԧ + = + .
Ԧ
(2)结合律：(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
Ԧ
教材P10
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ
练习：如图, 正六边形ABCDEF中, BA CD EF (
A.0
或原式 AB BC MB BO OM AC 0 AC
解: 原式 AB BO OM MB BC AM MC AC
1
[练习6]边长为1的正方形ABCD中, AB CA BD _____
解 : AB CA BD ( AB BD) CA
速度间的夹角表示，精确到1°).
解(2)：在∆中，|| = 6，|| = 15，
于是|| =
||2 + ||2 = 62 + 152 = 261 ≈ 16.2.
∵∠ =
||
||
=
5
，所以利用计算工具可得∠
2
≈ 68°.
∴船实际航行速度的大小约为16.2 /ℎ，方向与江水速度间的夹角约为68°.
C
教材P10
1、如图，在各小题中，已知非零向量，，分别求作
Ԧ
Ԧ + .
b
b
b
ab
a
ab
a
b
ab
b
a
b
b
a
思考： |Ԧ + |，||，||
Ԧ
之间有何关系？ a b
一般地，我们有|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||
,
Ԧ 反向
,
Ԧ 同向
(2)∵, , 分别是, , 的中点，
∴ =
1
2
= ，//.∴ = ，
∴ + + = + + = + = .
教材P10
×
✓
×
探索规律：AB BC AC
AB BC CD AD
AD CA
CA AD
CD
结合律
D
C
A
B
交换律
典例精析
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船
从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 /ℎ，同时
江水的速度为向东6 /ℎ.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解(1)：如图， 表示船速， 表示江水速度，
Ԧ
= ， = ，
Ԧ
根据三角形法则，容易发现 + = = Ԧ + .
++
+
+ = = (Ԧ + ) + .
Ԧ
又 + = = + ，
Ԧ
+ = = Ԧ + ( + )，
Ԧ
所以(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
6.2 平面向量的运算
高一下学期
我们知道数能按照运算律进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.
乘法
加法
减法
2+3
2－3=2+(－3)
2×4=2+2+2+2
那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？
向量加法
人们从向量的物理背景
和数的运算中得到启发， 向量减法
引进了向量的运算.
向量数乘运算 向量数量积运算
新知探究
根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，
运算律可以有效地简化运算.
思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结
合律呢？ 非零向量，，研究
Ԧ
Ԧ + 与 + Ԧ .
作 = ，
Ԧ
= ，
以，为邻边作□，容易发现 = ， = ，
Ԧ
故 = + = Ԧ + .
又 = + = + ，
Ԧ
所以Ԧ + = + .综上，向量的加法满足交换律.
Ԧ
+
新知探究
思考：你能否验证结合律，即(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + )呢？
Ԧ
如图，作 = ，
[3,13] .
牛刀小试：若|| = 8，|| = 5，则||的取值范围是__________
新知探究
思考：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作用，
你能作出这个物体所受合力吗？
我们知道，合力在以，为邻边的平行四
2
边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.
B.BE
C. AD
D. CF
)
E
F
A
D
思路：用相等向量代换，使首尾相接
C
B
习题演练
变2.如图所示，在∆中，为重心，，，分别是, , 的中
点，化简下列三式.
(1) + +
(2) + + .
解：(1) + + = ( + ) + = + = .
AB BC AC
①向量加法的三角形法则：
首尾相接，和向量由起点指向终点.
适用于任意向量求和.
O
a
②向量加法的平行四边形法则：
同起点，和向量由起点指向对角线端点 b
ab
A
OA OB OC
适用于不共线的向量求和.
B
C
对于零向量与任意向量，我们规定：
Ԧ
Ԧ + 0 = 0 + Ԧ = .
混合运算
混合运算
6.2.1 向量的加法运算
高一下学期
学习目标
1、理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律；
2、掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算；
3、理解数的加法与向量加法的联系与区别；
4、通过学习向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提升直观想象和
数学运算素养.
重点：向量加法的概念和运算法则
Ԧ
一般地，我们有|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||
,
Ԧ 反向
,
Ԧ 同向
作业布置
1、教材习题：P10
P22 习题6.2 T1,2,3
AF
AB BC CD DE EF _____
AF FA 0
AB BC CD DE EF FA ____
n个首尾相接的向量相加，其和向量是首向量的起点指向末向量的终点.
习题演练
AC
[练习5]化简AB MB BO BC OM _____
以，为邻边作□，
则表示船实际航行的速度.
典例精析
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船
从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 /ℎ，同时
江水的速度为向东6 /ℎ.
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水
难点：向量加法的几何意义及运算律
新知探究
我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.
能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
思考：如图，某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？
物理知识告诉我们，这个质点两次位移， 的结果，
与从点直接到点的位移结果相同.
数的加法启发我们,从运算的角度看，可以看做是
教材P10
船实际航行速度
15km/ h
7.5km/ h
A
水速
ห้องสมุดไป่ตู้
B
课堂小结
向量求和
的法则
图示
几何意义
三角形
法则
Ԧ
平行四边
形法则
已知非零向量，，在平面内取任意一点，
Ԧ
作 = ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的
Ԧ
和，记作Ԧ + ，即Ԧ + = + =
Ԧ +
Ԧ +
Ԧ
以同一点为起点的两个已知向量，，
Ԧ
以，为邻边作□，则以为起
点的向量(是□的对角线)就是
向量与的和
Ԧ
课堂小结
向量加法的运算律
(1)交换律：Ԧ + = + .
Ԧ
(2)结合律：(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
与的和,即位移的合成可以看做向量的加法.
AC AB BC
学习目标
a
如图，已知非零向量，，求
Ԧ
Ԧ + .
b
①向量加法的三角形法则：首尾相接，和向量由起点指向终点.
作法：在平面内任取一点
A
B
作 = Ԧ ，
= ，
则叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + .
即Ԧ + = + = .
•
1
从运算的角度看，可以看作是1 与2 的和，
即力的合成可以看作向量的加法.
= +
新知探究
如图，已知非零向量，，求
Ԧ
Ԧ + .
a
b
②向量加法的平行四边形法则：同起点，和向量由起点指向对角线端点
作法：在平面内任取一点O
作OA a , OB b,
则OC叫做a与b的和, 记作a b.
即a b OA OB OC
O
a
A
b ab
B
C
教材P10
1、如图，在各小题中，已知非零向量，，用平行四边形法则求作
Ԧ
Ԧ + .
b
b
a
b
a
a
b
b
ab
思考：两种加法法则适用于任意向量的加法运算吗？
b
b
ab
a
新知生成
1、向量的加法运算法则
已知非零向量a, b, 求a b.
Ԧ
综上，向量的加法满足结合律.
+
新知探究
向量加法的运算律
(1)交换律：Ԧ + = + .
Ԧ
(2)结合律：(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
Ԧ
教材P10
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ
练习：如图, 正六边形ABCDEF中, BA CD EF (
A.0
或原式 AB BC MB BO OM AC 0 AC
解: 原式 AB BO OM MB BC AM MC AC
1
[练习6]边长为1的正方形ABCD中, AB CA BD _____
解 : AB CA BD ( AB BD) CA
速度间的夹角表示，精确到1°).
解(2)：在∆中，|| = 6，|| = 15，
于是|| =
||2 + ||2 = 62 + 152 = 261 ≈ 16.2.
∵∠ =
||
||
=
5
，所以利用计算工具可得∠
2
≈ 68°.
∴船实际航行速度的大小约为16.2 /ℎ，方向与江水速度间的夹角约为68°.
C
教材P10
1、如图，在各小题中，已知非零向量，，分别求作
Ԧ
Ԧ + .
b
b
b
ab
a
ab
a
b
ab
b
a
b
b
a
思考： |Ԧ + |，||，||
Ԧ
之间有何关系？ a b
一般地，我们有|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||
,
Ԧ 反向
,
Ԧ 同向
(2)∵, , 分别是, , 的中点，
∴ =
1
2
= ，//.∴ = ，
∴ + + = + + = + = .
教材P10
×
✓
×
探索规律：AB BC AC
AB BC CD AD
AD CA
CA AD
CD
结合律
D
C
A
B
交换律
典例精析
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船
从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 /ℎ，同时
江水的速度为向东6 /ℎ.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解(1)：如图， 表示船速， 表示江水速度，
Ԧ
= ， = ，
Ԧ
根据三角形法则，容易发现 + = = Ԧ + .
++
+
+ = = (Ԧ + ) + .
Ԧ
又 + = = + ，
Ԧ
+ = = Ԧ + ( + )，
Ԧ
所以(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + ).
6.2 平面向量的运算
高一下学期
我们知道数能按照运算律进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.
乘法
加法
减法
2+3
2－3=2+(－3)
2×4=2+2+2+2
那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？
向量加法
人们从向量的物理背景
和数的运算中得到启发， 向量减法
引进了向量的运算.
向量数乘运算 向量数量积运算