高二文科数学椭圆练习题

高二文科数学椭圆练习题
一、选择题
1. 设椭圆E的中心为O，焦点为F1，F2，焦距为2c，离心率为e。

已知2a = 6，e = 1/3，则椭圆的焦距c等于：
A. 1/3
B. 2/3
C. 1
D. 4/3
2. 椭圆E的长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，离心率为e，则焦
距c满足下列哪个条件？
A. c = a + b
B. c = a - b
C. c^2 = a^2 - b^2
D. c^2 = b^2 - a^2
3. 椭圆E的中心为O，焦点为F1，F2，离心率为e。

已知OF1 = a，OF2 = b，则a和b的关系是：
A. a = b
B. a > b
C. a < b
D. 无法确定
二、填空题
4. 已知椭圆E的长轴的长度为10，短轴的长度为6，则离心率e的值为________。

5. 椭圆E的中心为O，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则焦距c的值为________。

6. 椭圆E的离心率为1/4，长轴的长度为12，则短轴的长度b为
________。

三、解答题
7. 已知点P(a, b)在椭圆E上，且OP过椭圆的焦点F，若椭圆E的长轴的长度为20，焦距为8，求椭圆E的方程。

解答：
设椭圆E的中心为O(0, 0)。

由于点P(a, b)在椭圆E上，根据椭圆的定义可得：
OP + PF1 = PF2（F1和F2为焦点）
根据题目给出的信息，可以得到以下两个方程：
√(a^2 + b^2) + √((a - 8)^2 + b^2) = √((a + 8)^2 + b^2)
将上述方程两边平方，整理后可得：
(a^2 + b^2) + ((a - 8)^2 + b^2) + 2√(a^2 + b^2)√((a - 8)^2 + b^2) = (a + 8)^2 + b^2
化简上述方程，得：
a^2 + b^2 + a^2 - 16a + 64 + 2√(a^2 + b^2)√((a - 8)^2 + b^2) = a^2 + 16a + 64
将方程两边整理，得：
2√(a^2 + b^2)√((a - 8)^2 + b^2) = 32a
将上述方程两边平方，得：
4(a^2 + b^2)((a - 8)^2 + b^2) = 1024a^2
继续化简，得：
4(a^2 + b^2)(a^2 - 16a + 64 + b^2) = 1024a^2
将方程展开，整理，最终得到：
5a^4 - 80a^3 + 64a^2 + 320a^2 - 4096a + 2560 = 0
以上即为椭圆E的方程。

注意：以上解答题仅为示范，具体操作以具体题目要求为准。

每道解答题可能的步骤和计算过程有所不同。

四、计算题
8. 椭圆E的中心为O，焦点为F1，F2，已知焦距为6，离心率为2/3。

求椭圆E的长轴和短轴长度。

解答：
设椭圆E的长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

根据离心率的定义，有 e = c / a，而离心率已知为2/3，焦距为6，故有：
2/3 = 6 / a，得 a = 9
根据椭圆的定义，有 2c = 2a / e，将已知数据代入，得：
2c = 2 * 9 / (2/3)，故有 c = 9
所以，长轴的长度为2a = 18，短轴的长度为2b = 2 * √(a^2 - c^2) = 2 * √(9^2 - 9^2) = 0
注意：由于离心率为2/3，大于1，所以椭圆退化为一条线段。

故短轴的长度为0。

五、解答题
9. 已知椭圆E的长轴的长度为16，离心率为1/2。

求椭圆E的焦距和短轴长度。

解答：
设椭圆E的焦距为c，短轴的长度为2b。

由于离心率e的定义为 e = c / a，其中a为长轴的长度，已知离心率为1/2，长轴的长度为16，故有：
(1/2) = c / 16，求解得 c = 8
根据椭圆定义，有 a^2 = b^2 + c^2，已知长轴的长度为16，焦距c 为8，代入求解得：
16^2 = b^2 + 8^2，求解得b = 4√3
所以，焦距c = 8，短轴的长度为2b = 8√3。

以上是针对高二文科数学椭圆练习题的解答。

希望能对你的学习有所帮助。