高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第2课时 平面与平面平行学业分层测评 新人教B版必修2

1.2.2 第2课时平面与平面平行
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.
【答案】 B
2.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面.有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.
【答案】 B
3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.可能重合
【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
【答案】 C
4.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.AC在此平面内
D.平行或相交
【解析】把这三条线段放在正方体内如图，
显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.
EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.
【答案】 A
5.以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.
其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
【解析】对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的共顶点的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.
【答案】 D
二、填空题
6.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.
【解析】三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行.
【答案】平行或相交
7.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).
图1­2­34
【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，
又AB⊄平面MNP，
所以AB∥平面MNP.
②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，
所以AB与平面MNP不平行.
③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.
④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，
所以AB与平面MNP不平行.
【答案】①③
8.在如图1­2­35所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？
图1­2­35
______(填“是”或“否”).
【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，
所以AB∥A1B1，
因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，
所以AB∥平面A1B1C1，
同理可证：BC∥平面A1B1C1.
又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，
BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.
【答案】是
三、解答题
9.如图1­2­36所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.
图1­2­36
【证明】由棱柱性质知，
B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E═∥DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D⊂平面ADC1，
EB⊄平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1═∥BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED═∥B1B.
因为B1B═∥A1A(棱柱的性质)，
所以ED═∥A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.
A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
10.如图1­2­37所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点.
图1­2­37
(1)证明：C1F∥平面ABE；
(2)设P是BE的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积.
【解析】(1)证明：如图，取AC的中点M，连接C1M，FM.
又F是BC的中点，∴FM∥AB，
而FM⊄平面ABE，∴FM∥平面ABE.
在矩形ACC1A1中，∵E，M分别是A1C1，AC的中点，
∴C1M∥AE.
而C1M⊄平面ABE，∴C1M∥平面ABE.
又C1M∩FM＝M，
∴平面ABE∥平面FMC1，
∵C 1F ⊂平面FMC 1，
∴C 1F ∥平面ABE .
(2)由AC ＝4，CB ＝2，∠ACB ＝60°知AB ＝23，AB ⊥BC .
取B 1C 1的中点H ，连接EH ，如图，则EH ∥AB 且EH ＝12
AB ＝ 3. 易知AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴EH ⊥平面BB 1C 1C ，
∵P 是BE 的中点，
∴VP -B 1C 1F ＝12VE -B 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝12×13×2×3＝33
. [能力提升]
1.设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当点A 、B 分别在平面α，β内运动时，动点C ( )
A.不共面
B.当且仅当点A 、B 分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当点A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.无论点A ，B 如何移动都共面
【解析】 无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上.
【答案】 D
2.在正方体EFGH －E 1F 1G 1H 1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E 1FG 1与平面EGH 1
B.平面FHG 1与平面F 1H 1G
C.平面F 1H 1H 与平面FHE 1
D.平面E 1HG 1与平面EH 1G
【解析】 如图，∵EG ∥E 1G 1，EG ⊄平面E 1FG 1，E 1G 1⊂平面E 1FG 1，
∴EG ∥平面E 1FG 1，
又G 1F ∥H 1E ，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，
又H 1E ∩EG ＝E ，
∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.
【答案】 A
3.如图1­2­38，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)
图1­2­38
【解析】连接FH(图略)，因为N∉FH，所以平面FHN∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN ⊂平面FHN，所以MN∩平面B1BDD1＝∅，所以MN∥平面B1BDD1.
【答案】M∈FH
4.如图1­2­39，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
图1­2­39
【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q 即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。