高三第一轮复习——三角函数基础知识与图像与性质巩固篇(试题及答案)

高三第一轮复习——三角函数基础知识巩固篇（试题及答案）
题型——诱导求值与变形 1. （2013江西文3）3
sin
cos 2
3
α
α=
=若，则（ ）. A. 23- B. 13- C. 13 D.23
2．（2013广东文4）已知5π1
sin 25
α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=（ ）.
A ．25-
B ．-15
C ．15
D ． 2
5
3.（2013四川文14）设πsin2sin π2ααα⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，，，则tan2α的值是 .
4. （2013江苏15）
已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0πβα<<<. （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥； （2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值. 5.（2016四川文11）sin 750= .
1.解析
2
2321
cos 12sin 1212333α
α⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭
.故选C.
2.分析 利用诱导公式化简已知条件即可.
解析 5πs i n c o s 2αα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，故1cos 5α=，故选C. 3.分析 由sin 22sin cos ααα=及sin 2sin αα=-，,2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
解出α，进而求得
tan 2α 的值.
解析 因为sin 2sin αα=-，所以2sin cos sin ααα=-.因为,2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭，sin 0≠，
所以1cos 2α=-.又因为,2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，所以23α=π，
所以4tan 2tan tan 3απ⎛
⎫=π=π+ ⎪3⎝
⎭tan 3π==3.
4.分析 （1）只需证明0⋅=a b 即可；（2）由已知条件到cos cos ,sin sin αβαβ
++的值，
然后再利用诱导公式得到,αβ间的关系即可求得,αβ的值.
解析 （1）证明：由题意得22-=a b ，即()2
222 2.-=-⋅+=a b a a b b 又因为2
2
221====a b a b ，所以222-⋅=a b ，即0⋅=a b ，故⊥a b .
（2）解：因为()cos cos ,sin sin αβαβ+=++a b ()0,1=，所以cos cos 0,
sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩
由此得，()cos cos αβ=π-，由0βπ<<，得0βππ<-<.又0απ<<，故αβ=π-，代入sin sin 1αβ+=，得1
s i n s i n 2
αβ=
=，
而αβ>，所以5,66
αβππ==. 5. 解析 由三角函数诱导公式，得.
12()1sin 750sin 72030sin302
=+==o o o o
题型——同角求值
1.（2014新课标Ⅰ文2）若tan 0α>，则（ ）
A. sin 0α>
B. cos 0α>
C. sin 20α>
D. cos20α>
2.（2015福建文6）若5
s i n 13
α=-，
且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）. A ．125 B ．125- C ．512 D ．512
-
3.（2016全国丙文6）若1
tan 3
θ=，则cos2θ=（ ）.
A.45-
B.15-
C.15
D.45
4.（2016全国乙文14）已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则
πt a n 4θ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
.
2.解析 由5sin 13α=-
，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13
αα=-=， 所以sin 5
tan cos 12
ααα==-.故选D.
3. D 解析 2222cos sin cos sin θθθθ-=+22
1t a n 1t a n θ
θ-=+
.故选D. 4. 解析 由题意.
因为，所以， 从而，因此.
评注 此处的角还可由缩小至，但没必要.另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故πtan
4θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭34，所以.
2
2
cos 2cos sin θθθ=-=2
21
1()431
5
1()3
-=+43-sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2222k k θ3ππ+
<<π+π()k ∈Z 722444
k k θ5πππ
π+<-<π+()k ∈Z 4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭4tan 43θπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭3cos 45θπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭722244k k θ3ππππ+
<-<π+()k ∈Z ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛
⎫-
+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
4cos 45θπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14
3
tan 4θ-
=-
π⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭
高三第一轮复习——三角函数图像与性质提升篇（试题及答案）
题型——已知解析式确定函数性质 1.（2013浙江文6）函数()3
sin cos cos22
f x x x x =⋅+
的最小正周期和振幅分别是 A.π1， B.π2， C. 2π1， D. 2π2，
2.（2013江苏1）函数π3sin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为 .
9.（2015全国1文8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.
A. ()13π,π44k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z
B. ()132π,2π44k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z
C. ()13,44k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭Z
D. ()132,244k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭Z
4.（2015湖南文）已知0ω>，在函数
2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交
点中，距离最短的两个交点的距离为23，
则
ω= .
5.（2015浙江文）函数
()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 6.（2015天津文）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间
y
x
54
1
4
O 1
(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值
为 ．
7.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++
（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
8.（2015北京文）已知函数()2sin 23sin 2
x f x x =- （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值.
9.（2016浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.
A. B. C. D.
10.（2016上海文8）方程3sin 1cos2x x =+在[]0,2π区间上的解为 . 11.（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是 .
12.（2016山东文17）设2()23sin(π)sin (sin cos )f x x x x x =---. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移
π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求π6g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 13.（2017全国2文3）函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为（ ）.
A.4π
B.2π
C. π
D.
π
2
1
π2
-π2
O
y x
1
x
y π2
-π2
O
O -π2
π2
y x
1
1x
y π2
-π2
O
14.（2017山东文7）函数3sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为（ ）.
A.π2
B.2π3
C.π
D. 2π 15.（2017浙江18）已知函数()()22sin cos 23sin cos f x x x x x x =--∈R .
（1）求23f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.
解析 ()13sin 2cos 2sin 2223f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，
振幅1A =.故选A.
2.分析 利用函数()sin y A x ωϕ=+的周期公式求解.
解析 函数3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期T 2π==π2.
8.解析 由2π
T ω
=
，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.
通过化简可得，选项A ：cos 2y x =，为偶函数； 选项B 为：sin 2y x =-，为奇函数；
选项C 为：π2sin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
为非
奇非偶函数.故选B. 得
9.解析 由图可知
51
1244
T =-=，2T =，2π
πT
ω=
=. 如图
画出图中的一条对称轴0x x =，所示.
由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，
可得
3π
2ππ4
k ϕ+=+， 则()π
2π4
k k ϕ=+∈Z ，
得()πcos π4f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
x 0
1
O 1
4
54
x
y
由π2ππ2ππ4
k x k +
+剟， 得1
3
224
4
k x
k -+
剟.故选D. 4.解析 令2sin 2cos x x ωω=，解得2π
π4k x ω
ω=
+
和2π5π4k x ωω
=+，k ∈Z . 2ππ2sin 24k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π5π2sin 24k ωωω⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭， 所以交点的坐标为2ππ,24k ωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2π5π,24k ωω⎛⎫
+- ⎪⎝⎭.k ∈Z .
距离最短的两个交点一定在同一个周期内，
所以(
)()2
2
2
2π5π2ππ222344k k ωωωω⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+-++--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得π
2
ω=. 5.解析 ()1cos 212π3sin 21sin 222242x f x x x -⎛
⎫=
++=-+ ⎪⎝
⎭， 所以2ππ2T =
=，()min 322
f x -=. 6.解析 由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且()f x 的图像关于直线x ω=对称， 可得π
2ωω
…
，即2π2ω…
，且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛
⎫=+=⇒+= ⎪⎝
⎭，
所以2πππ
.422
ωω+
=⇒= 7.解析 （1）因为()()2
sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=
π2sin 214x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.
（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2sin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()max 12f x =+，()min 0f x =. 8. 解析 （1）()2
1cos sin 23sin sin 2322x x
f x x x -=-=-⋅=
πsin 3cos 32sin 33x x x ⎛
⎫+-=+- ⎪⎝
⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.
（2）当（1）知()π2sin 33f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，当2π03x
剟，ππ
π33
x +剟，
π0sin 13x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭剟，()
323f x --剟，
函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为3-.
9. D 解析 易知为偶函数，所以它的图像关于轴对称，排除A ，C 选项； 当，即时，，排除B 选项.故选D.
10.
，
解析 ，即， 所以，故.由于，故，
. 11.解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共个交点.
解法二（解方程）：即解方程，即.
所以或，由. 当时，；当时，.
共个根，即共个交点. 12.解析 （1）由，
由，得， 2sin y x =y 2π
2
x =π2x =±max 1y =π65π
6
23sin 22sin x x =-22sin 3sin 20x x +-=()()2sin 1sin 20x x -+=1sin 2x =[]0,2πx ∈π6x =5π
6
77x
y O π
2π
3π1-1
sin2cos x x =2sin cos cos x x x =cos 0x =1
sin 2
x =
[]0,3πx ∈cos 0x =,,222x π3π5π=1sin 2x =,,,6666
x π5π13π17π
=77()()()2
23sin πsin sin cos f x x x x x =---=
()223sin 12sin cos x x x --()31cos2sin 21x x =-+-=sin 23cos 231
x x -+-π2sin 2313x ⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭()ππ
π2π22π23
2k x k k --
+
∈Z 剟()π
5π
ππ12
12
k x k k -+
∈Z 剟
所以的单调递增区间是，（或写为）.
（2）由（1）知，
把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图像，
再把得到的图像向左平移个单位，得到的图像，
即所以
13.解析 由题意，22
T π
=
=π.故选C. 14.解析 由题意，得2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，其最小正周期22T π==π.故选C.
15.解析 （1）由23sin 32π=，21
cos 32
π=-，
得2
2
23
13123232
222f ⎛⎫π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭.
（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得
()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛
⎫=--=-+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.
由正弦函数的性质得3222,2
6
2
k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,6
3
k x k k ππ
+π+π∈Z 剟.
所以()f x 的单调递增区间是2,6
3
k k k ππ⎡⎤
+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.
()f x ()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ()π5ππ,π1212k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
Z ()f x π2sin 2313x ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭()y f x =2y =π2sin 313x ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭π
3
y 2sin 31x =+-()2sin 3 1.g x x =+-ππ2sin 31 3.66g ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
题型—— 函数的值域(最值)
1. (2013天津文6）函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是( ).
A. 1-
B. 2
2
-
C.
22
D. 0
2.（2013江西文13）设sin 3cos3f x x x =+（），若对任意实数x 都有||f x a （）…，则实数a
的取值范围是 .
3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为
m .
4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山
至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，5
3
cos =C . （1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
5.（2013山东文18）设函数23()3sin sin cos (0)2
f x x x x ωωωω=-->，且y =
()f x
C B
A
40m
x
40m
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4
． （1） 求ω的值；
（2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．
6. (2013安徽文16）设函数()sin sin 3f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；
（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.
7. (2013陕西文16）已知向量(
)
1cos 3sin cos22x x x x ⎛
⎫=-=∈ ⎪⎝
⎭R ，，，，a b ，设函
数()f x =⋅a b .
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值.
8. (2013重庆文18）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且
2223a b c bc =++.
（1）求A ；
（2）设3a S =，为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值.
9.（2013辽宁文17） 设向量(
)
()π3sin sin cos sin 02a x x b x x x ⎡⎤
==∈⎢⎥⎣⎦
，，，，，.
（1）若a b =，求x 的值；
（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.
12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的部分图
像如图所示.
（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；
（2）求()f x 在区间π
π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
14.（2016全国甲文11）函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
的最大值为（ ）.
A.4
B.5
C.6
D.7 15.（2016江苏14）在锐角三角形ABC 中，若s i n 2s i n
s i n A B C =，则
t a n t a n t a n
A B C 的最小值是 . 16.（2017全国2文13）函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 .
17.（2017全国3文6）函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最大值为（ ）.
A ．6
5
B ．1
C ．35
D ．15
18.（2017江苏16）已知向量()cos ,sin x x =a ，()
3,3=-b ，[]0,πx ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
O
y x
y 0
x 0
1.分析：确定出π
24
x -
的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. 解析 因为π0,,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦所以ππ3π2,444x --≤≤所以当ππ244x -=-时，
()πsin 24f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
有最小值2.2-故选B. 2.解析 由于()π3sin 3cos32sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
，则()π2sin 326f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
≤，要
使()f x a ≤恒成立，则2a ≥.答案[)2,+∞. 3.解析 设矩形花园的宽为y m ，则
404040
x y
-=
，即40y x =-,矩形花园的面积()()2
2404020400S x x x x x =-=-+=--+，当20x =m 时，面积最大． 4.分析 （1）由cos A ，cos C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC △
中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的
函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题 意列不等式求解.
解析 （1）在ABC △中，因为12cos 13A =
，3cos 5C =，所以54
sin ,sin 135
A C ==.从而()()sin sin sin
B A
C A C =π-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A C A C
=+5312463
13513565
=
⨯+⨯=
. 由正弦定理sin sin AB AC
C B
=
，得()12604sin 1040m 63sin 565AC AB C B =⋅=⨯=. 所以索道AB 的长为1040m .
（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()
2
2
210050130d t t =++
()213010050t t -⨯⨯+⨯
()212
200377050.13
t t =-+ 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35
min 37
t =时，甲、乙两游客距离最短.
（3）由正弦定理sin sin BC AC
A B
=
，得()12605sin 500m 63sin 1365
AC BC A B =⋅=⨯=. 乙从B 出发时，甲已走了()()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C . 设乙步行的速度为m/min v ，由题意得5007103350v --≤
≤，解得1250625
434
v ≤≤
， 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在
()1250625,m /min 4314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单位：范围内. 5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数()f x 的解析式进
行化简整理，
再利用对称中心到最近的对称轴的距离为
4
π
求出ω；（2）先根据x 的取值范围求出23x π
-
的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值. 解析 （1）()23
3sin sin cos 2
f x x x x ωωω=
-- 31cos 213sin 2222x x ωω-=
-⋅-31cos 2sin 222x x ωω=-sin 23x ωπ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π
，又0ω>，所以24ωππ=⨯24.
因此1ω=.
（2）由（1）知()sin 2f x x π⎛
⎫=-- ⎪3⎝
⎭.
当x 3ππ2≤≤
时，2x 5ππ8π
-332
≤≤.
所以sin 2x 3π⎛
⎫-
-1 ⎪23⎝⎭
≤≤.因此()f x 3-12≤≤. 故()f x 在区间3,2π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为32，1-.
6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再
利用正弦函
数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.
解析 （1）因为()13sin sin cos 22f x x x x =++33sin cos 3sin 226x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
所以当()26x k k ππ+
=π-∈2Z ，即(
)223
x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-. 此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫
=π-∈⎨⎬⎩⎭
Z .
（2）先将sin y x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得3sin y x =的图象；再将3sin y x =的图象上所有的点向左平移
π
6
个单位，得()y f x =的图象.
7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将()f x 化为一个角的一种三角函数，
利用公式
确定周期；利用正弦函数的性质确定最值． 解析 ()(
)
1
c o s ,
3s i n ,c o s 2
2f
x x x x ⎛⎫
=-⋅ ⎪⎝⎭
131
3cos sin cos 2sin 2cos 2222x x x x x =-=-
πππcos sin 2πsin cos 2πsin 2666x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭.
（1）()f x 的最小正周期为2π
2π
π2
T ω
=
=
=，即函数()f x 的最小正周期为π.
（2）因为π02x ≤≤
，所以ππ5π
2666
x --≤≤.由正弦函数的性质，得 当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ
266x -=-，即0x =时，
()1
02
f =-；
当π52π66x -
=，即π2x =时，π1
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1，最小值是12-．
8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.
解析 （1）由余弦定理得22233cos 222
b c a bc A bc bc +--===-.
又因为0πA <<，所以5π
6
A =. （2）由（1）得1
sin 2
A =
.又由正弦定理及3a =得 11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A
==⋅⋅=，
因此，3cos cos S B C +()3sin sin cos cos B C B C =+()3cos B C =-. 所以，当B C =，即ππ
212
A B -=
=时，2cos cos S B C +取最大值3. 9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公
式化为一
个角的一种函数求解. 解析 （1）由(
)
2
2
223sin sin 4sin x
x x =+=a ，2
22cos sin 1x x =+=b ，及=a b ，
得24sin 1x =.
又π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，从而1sin 2x =，所以π6x =.
（2）()23sin cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b 311
sin 2cos 2222
x x =
-+
1sin 262x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
当ππ0,32x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭取最大值1． 所以()f x 的最大值为
3
2
． 12. 解析 （I ）()f x 的最小正周期为π.007π
36
x y =
⋅=. （II ）因为π
π,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-
时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +
=-，即π
3
x =-时，()f x 取得最小值3-. 评注 本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.
14. B 解析 ，
所以当时，取得最大值.故选B. 15.分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.
解析 解法一：由 （*） 由三角形为锐角三角形，则， 同时除以得. 又，所以.
故，
不妨设，故，
所以当，即时，.
()()cos 26sin f x x x =+22sin 6sin 1x x =-++2
3112sin 22x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭sin 1x =()f x 2615-++=8()sin sin A B C =+sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C =+=ABC cos 0,cos 0B C >>cos cos B C tan tan 2tan tan B C B C +=()tan tan tan tan 01tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
>-tan tan 1B C >tan tan tan A B C tan tan 2tan tan 1tan tan B C B C B C +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
tan tan t B C =()1t >2222
tan tan tan 111t A B C t t t
==--+11
2
t =2t =()min tan tan tan 8A B C =
此时，，
解得（或互换）， 此时均为锐角，满足条件.
解法二：由解法一部分可知， 在锐角三角形中，， 而，即，
从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）.
故， 整理得，当且仅当，， 解得（或互换）， 此时均为锐角，满足条件.
评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配， 则
有
：
解法三：
（因为）.最后检验一下是否存在即可.
16.解析 因为()22()21sin()tan 2f x x ϕϕ=++=，所以()max 5f x =.
tan tan 4B C +=tan tan 2B C =tan 22,tan 22,tan 4B C A =-=+=tan ,tan B C ,,A B C tan tan 2tan tan B C B C +=tan ,tan ,tan 0A B C >()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-()tan 1tan tan tan tan A B C B C -+=+tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+22tan tan tan A B C …
tan tan tan 8A B C …tan tan 4B C +=tan 2tan tan 4A B C ==tan 22,tan 22,tan 4B C A =-=+=tan ,tan B C ,,A B C ,B C sin sin B C sin sin sin tan tan tan =
cos cos cos A B C
A B C A B C
=
()2
2sin sin 1
sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C
⨯-…()
2
22sin sin 8sin sin 2B C B C =⎛⎫
⎪
⎝⎭
2
2a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭…
17.解析 11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
6sin 53x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.故选A. 18.解析 （1）因为()cos ,sin x x =a ，()
3,3=-b ，∥a b ，
所以3cos 3sin x x -=， 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，因此cos 0x ≠． 所以3tan 3x =-
，由[]0,πx ∈，所以5
6
x =π． （2）()()()
cos ,sin 3,3x x f x =⋅=⋅-a b 3cos 3sin 23cos 6x x x ⎛
⎫=-=+ ⎝
π⎪⎭．
因为[]0,πx ∈，所以,666x ππ7⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π，所以3
1cos 62
x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭π剟． 所以当66x +
ππ
=，即0x =时，()f x 的最大值为3； 当6x +π=π，即6x 5π=时，()f x 的最小值为23-．
题型——根据条件确定解析式
1. （2013四川文6）函数()()ππ2sin >0<<22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）.
A. π23-，
B. π
26-， C. π46-， D. π43
， 4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）.
A.π2sin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B.π2sin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
y x
O
π3
2
-2
-
π6
11π
12
5π12
2
-2
O
C.π2sin 6y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
D.π2sin 3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
5.（2016上海文17）设a ∈R ，[]0,2πb ∈.若对任意实数x 都有πsin 33x ⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭()sin ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
6.（2016天津文8）已知函数)0(21
sin 212sin )(2>-+=ωωωx x x f ，x ∈R .若)
(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）.
A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.150,,148⎛⎤
⎡⎫ ⎪⎥
⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤
⎥⎝⎦
D.1150,,848⎛⎤
⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦
⎣⎦
7.（2016全国乙文12）若函数1
()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，
则a 的取值范围是（ ）.
A.[]1,1-
B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D.11,3⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
8. （2016浙江文11）已知2
2cos
sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =
________，b =________.
9.（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数
a = .
10.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求ω的值；
（2）求()f x 的单调递增区间.
11.（2017天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><
.若
5π28f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ==
1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.
解析 因为
115
,21212T =π-π所以T =π. 又()20T ωωπ=>，所以2ω
π=π，所以2ω=.
由五点作图法可知当512x =π时，x ωϕπ+=2，即52122ϕπ⨯π+=，所以3
ϕπ
=-. 故选A.
4.A 解析 解法一：当时，，排除C ，D.当时，，代入A 满足.故选A.
5.解析 ①当时，则；②当时，则
.共组.故选B. 评注 事实上确定了，则能唯一确定，因此共组. 6. D 解析 由题意()f x =
1cos 2x ω-+sin 122x ω-=2πsin 24x ω⎛
⎫- ⎪⎝
⎭. 由，即，得.
又，因此， 所以.故选D. 7. C 解析 问题转化为对恒成立， 故，即恒成立. 0x =0y <3
x π
=2y =3a =3b 5π=
3a =-4π
3
b =2a b 2()0f x =πsin 04x ω⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭()π
π+
4k x k ω
=
∈Z ()()π
π+
4π,2πk x k ω=
∉∈Z 115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1150,,848ω⎛⎤⎡⎤
∈ ⎥
⎢⎥⎝⎦
⎣⎦
()2
1cos2cos 03f x x a x '=-+…
x ∈R ()2212cos 1cos 03x a x -
-+…245cos cos 033
a x x -+…
令，得对恒成立. 解法一：构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值
为端点值，故只需保证，解得.故选C.
解法二：①当时，不等式恒成立；
②当时，恒成立，由在上单调递增，
所以，故；
③当时，恒成立.由在上单调递增， ，所以. 综上可得，.故选C. 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选
择C 选项.这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A 选项.此外，可在未解题之前取，此时
，则
，但此时
，不具备在上单调递增，直接排除A ，B ，D.
故选C.
cos x t =245
033
t at -++…
[]1,1t ∈-()245
33g t t at =-++()g t ()()1103
110
3g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……1133a -剟0t =01t <…1543a t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭...y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭01t <...()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ (1)
3
a -…10t -<…1543a t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭…
y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
10t -<...()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ (1)
3
a (11)
33
a -剟cos 1x =1
3a -…cos 0x =cos 1x =-1
3
a …
1a =-()1
sin 2sin 3
f x x x x
=--()2
1cos2cos 3
f x x x
'=--()22
011033f '=--=-<(),-∞+∞
8.
； 解析 ，所以，.
9.解析 由辅助角公式可知函数的最大值为，故. 10.解析 （1）因为，
所以的最小正周期.依题意，解得. （2）由（1）知，.函数的单调递增区间为
. 由，得.
所以的单调递增区间为. 11.解析 解法一：由题意，得125π282
118
k k ωϕωϕπ
⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以
()2142233k k ω=
--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以2
3
ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π
12
ϕ=.故选A ．
解法二：由5π28f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，11π08f
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，知()11π5π3π214884T k +=-=，所以3π21T k =+.又()f x 的最小正周期2πT >，故0k =，3πT =，2π23T ω=
=，所以将5π
8
x =代入()2sin()f x x ωϕ=+，得125ππ2π382k ϕ⨯+=+，1k ∈N ，||πϕ<，解得π
12
ϕ=.
212π2cos sin 22sin 214x x x ⎛⎫
+=++ ⎪⎝
⎭2A =1b =3±()f x 2165a +=3a =±()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=
π2sin 24x ω⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭()f x 2ππ2T ωω=
=π
πω
=1ω=()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =()ππ2π,2π22k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z π
ππ
2π22π24
2k x k -+
+
剟3ππ
ππ88
k x
k -+剟()f x ()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z
题型——三角函数图像变换
1. （2013湖北文6）将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)
m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）. A ．
π
12
B ．
π6 C ．π
3
D ．
5π
6
2．(2013福建文9）将函数()()π
πsin 22
2f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移
()1ϕϕ>
个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x 的图像都经过点302P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，
则ϕ的值可以是（ ）.
A ．
5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π
6
3.（2014四川文3）为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.
A.向左平行移动1个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度
D.向右平行移动π个单位长度 4.（2014福建文7）将函数sin y x =的图像向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）. A.()y f x =是奇函数 B. ()y f x =的周期是π C. ()y f x =的图像关于直线2
x π
=
对称 D. ()y f x =的图像关于点02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 5. （2014安徽文7）若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）
A.
8π B.4π C.83π D.4
3π 6. （2014辽宁文11）将函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平移2π个单位长度，
所得图像对应的函数（ ）.
A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减
B ．在区间7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减
D ．在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
7.（2014浙江文4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数2cos3y x =的图像（ ）.
A ．向右平移
π12个单位 B ．向右平移π
4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π
4
个单位
8.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛
⎫=+>-< ⎪⎝
⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π
个单位长度得到
x y sin =的图像，则6f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______.
9.（2015山东文）要得到函数sin 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图
像（ ）.
A. 向左平移
12π
个单位 B. 向右平移
12
π
个单位 C. 向左平移3
π
个单位
D. 向右平移3
π
个单位
10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
π
3sin()6
y x k ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）．
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
11.（2015重庆文）已知函数()21
sin23cos 2
f x x x =-.
（1）求()f x 的最小周期和最小值；
（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得
到函数()g x 的图像.当π,π2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域.
12.（2015福建文）已知函数()2103sin cos 10cos 222
x x x
f x =+.
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移
π
6
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．
13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ，
⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示：
x ωϕ+
0 π
2 π
3π2 2π x
π3
5π6
61218
2
水深/m
时间/h
O
y
x
()sin A x ωϕ+
0 5 5- 0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；
（2）将()y f x =图像上所有点向左平移
π
6
个单位长度，得到()y g x =图像，求()y g x =的图像离原点O 最近的对称中心.
14.（2016四川文4） 为了得到函数πsin 3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需把函数sin y x
=的图像上所有的点（ ）.
A. 向左平行移动
π3个单位长度 B. 向右平行移动π
3个单位长度 C. 向上平行移动π3个单位长度 D. 向下平行移动π
3
个单位长度
15.（2016全国乙文6）若将函数π2sin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，
所得图像对应的函数为（ ）.
A.π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B.π2sin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C.π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ D.π2sin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
16.（2014全国丙文14）函数sin 3cos y x x =-图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.
1.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值.
解析 由于π3cos sin 2cos 6y x x x ⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位长度后
得到函数π2cos 6y x m ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由于该图象关于y 轴对称，所以
()ππ6m k k -
=∈Z ，于是()π
π6
m k k =+∈Z ，又0m >，故当0k =时，m 取最小值π
6
.故选B. 2.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.
解析 因为30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在()f x 的图象上，所以()3
0sin 2f θ==. 因为ππ22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π=3θ，所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
所以()()πsin 23g x x ϕ⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦.
因为()302g =
，所以3sin 232
ϕπ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭.验证，5π6ϕ=时， ππ543sin 2sin πsin π33332ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
成立.故选B. 5. 解析 由()πsin 2cos 22sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
知()f x 图像的对称轴方程为
()ππ
28
k x k =
+∈Z ，
因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8
x =-.依题
意结合图像知，ϕ的最小正值为
3π
8
，故选C. 评注 本题考查三角函数的图像和性质.
9.解析 因为ππsin 4sin 4312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到πsin 43y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图
像，
只需要将函数sin 4y x =的图像向右平移
π
12
个单位.故选B. 10.解析 由图像得，当πsin 16x ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即π3sin 6y k ϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
的最
小值
为2，求得，所以π3sin 56y ϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭，max 358y =+=.
11.解析 （1）()()2113
sin 23cos sin 21cos 2222
f x x x x x =-=-+=
1333sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛
⎫--=-- ⎪⎝⎭
． 因此()f x 的最小正周期为π，最小值为232
+-．
（2）由条件可知：()3sin 232x g x f x π⎛⎫⎛
⎫==--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有，2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 那么3sin 32x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值域为1323,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，
故()g x 在区间,2π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦上的值域是1323,2
2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为
()π10sin 56f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
然后利用2π
T ω
=
求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减
π
6
，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1时，
()g x 取得最大值
min 2y =5k =
105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．
解析 （1因为()2103sin cos 10cos 222x x x
f x =+=
π53sin 5cos 510sin 56x x x ⎛
⎫++=++ ⎪⎝
⎭.
所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （2（i ）将()f x 的图像向右平移
π
6
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像． 又函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5
x >． 由
4352<知，存在0π03α<<，使得04sin 5
α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,πx αα∈-时，均有4
sin 5
x >． 因为sin y x =的周期为2π，
所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时，均有4sin 5x >
． 因为对任意的整数k ，()()000π
2π+π2ππ213
k k ααα--+=->>，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ，使得
4
sin 5
k x >
．即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 13. 解析 (1)根据表中已知数据，解得
π
5,2,6A ωϕ===
. 数据补全如表所示：
x ωϕ+
π2
π
3π2 2π
x
π12
π3 7π12 5π6
13π12
()
sin A x ωϕ+
5
0 5- 0
且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
.
(2由(1)知π()5sin(2)6
f x x =-，因此 πππ()5sin 25sin 2666
g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝
⎭
⎣⎦
. 因为sin y x =的对称中心为()π0k ，
，k ∈Z . 令π
2π6x k +=，解得ππ212k x =
-，k ∈Z ，即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
，k ∈Z ，
其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，. 14.A 解析 由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有的点向左移
个单位.故选A. 15. D 解析 将函数的图像向右平移个周期，即向右平移
个单位，
故所得图像对应的函数为.故选D.
16.解析 由，得，所以可由函数至
少向右平移才能得到.
πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭sin y x =π
3
π2sin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭14π4ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭π3sin 3cos y x x =-π2sin 3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
2sin y x =π
3。