2025届衡水中学高考模拟卷(二)数学试题

2025届衡水中学高考模拟卷（二）数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）
A ．{2x x ≤或}3x ≥
B ．{3x x ≤-或}2x ≥-
C ．{}23x x ≤≤
D ．{}
32x x -≤≤- 2．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）
A ．33i -
B ．33i +
C ．13i +
D ．13i -
3．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．2
4．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）
A ．3
B 3
C ．12-
D ．12
5．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n
B ．若m //α，n //α，则m //n
C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥β
D ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β 6．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB
的长为254
，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或15
7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ）
A ．41n n S a =-
B ．21n n S a =+
C ．21n n S a =-
D ．43n n S a =-
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A ．121
B ．221
C ．115
D ．215 9．622x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12- C ．12 D ．60
10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24 11．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）
A ．5?n ≤
B ．6?n ≤
C ．7?n ≤
D ．8?n ≤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数为________.
14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.
15．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最
小值为________. 16．已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈．
（1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；
（2）当1(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．
18．（12分）己知圆F 1：(x +1)1 +y 1= r 1(1≤r ≤3)，圆F 1：(x -1)1+y 1= (4-r )1．
（1）证明：圆F 1与圆F 1有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；
（1）已知点Q (m ，0)(m <0)，过点E 斜率为k (k ≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 1，是否存在实数m 使得k (k 1+k 1)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．
19．（12分）已知抛物线M ：22x py =（0p >）的焦点F 到点(1,2)N --10
（1）求抛物线M 的方程；
（2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，点A 、B 分别在第一和第二象限内，求ABN ∆的面积.
20．（12分）已知函数()2
2ln 2
x f x mx x =++，m R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直，若方程()f x t =有三个实数解1x 、2x 、3x （123x x x <<），求证：132x x +>.
21．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定
当日损坏的元件A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每
个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：
从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数．
（Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a ，b *N ∈，且b-a =6，求()P a X b ≤≤最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
22．（10分）已知函数()()1x f x e ax =+，a R ∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0M f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）判断函数()f x 的零点个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解题分析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.
【题目详解】
由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.
因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
2、D
【解题分析】
直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果
【题目详解】
∵21()()13z i i i =++=+
∴其共轭复数为13i -.
故选：D
【题目点拨】
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
3、C
【解题分析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【题目详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故. 故选：.
【题目点拨】 本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4、D
【解题分析】
利用109080,1409050︒︒︒︒︒
=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【题目详解】
由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+ 所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒
=-= ()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-， 所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==
故1sin80cos50cos140sin102
︒︒︒︒+=
故选：D
【题目点拨】 本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
5、B
【解题分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性.
【题目详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,
,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确； B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．
故选：B
【题目点拨】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
6、C
【解题分析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF .
【题目详解】
设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4
p AB θθ=
==， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4
θ=±， 所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14
.选C. 【题目点拨】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
7、C
【解题分析】
在等比数列中，由11n n a a S q q -⋅=
-即可表示之间的关系. 【题目详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n n n a a q a a q S -⋅-=
==--- 故选：C
【题目点拨】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
8、B
【解题分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【题目详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，
其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221
P =
. 故选：B.
【题目点拨】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
9、B
【解题分析】
在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．
【题目详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式通项为()663166222r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.
【题目点拨】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
10、C
【解题分析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
11、A
【解题分析】
先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【题目详解】
函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x x x x f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦
，该函数为偶函数，排除B 、D 选项；
当01x <<时，()()()
222140f x x
x x =-->，排除C 选项. 故选：A.
【题目点拨】 本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、B
【解题分析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件．
解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，
并输出满足循环的条件．
∵S=2+22+…+21=121，
故①中应填n≤1．
故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12i --
【解题分析】
利用复数的乘法运算求出z ，再利用共轭复数的概念即可求解.
【题目详解】
由(2)2112z i i i i =+=-=-+， 则12z i =--.
故答案为：12i --
【题目点拨】
本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题.
14、6π
【解题分析】
先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.
【题目详解】
由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示
长方体对角线长为2222116++=，所以三棱锥外接球半径r 为62，故所求外接球的 表面积246S r ππ==.
故答案为：6π.
【题目点拨】 本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题. 15、
【解题分析】
过点作直线平行于
，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案. 【题目详解】
如图所示：过点作直线平行于
，则在两条平行线的中间直线上， ，则
，，故抛物线的与直线平行的切线为. 点为线段
的中点，故在直线时距离最小，故. 故答案为：.
【题目点拨】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键. 16、54π 【解题分析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【题目详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6
223654V r h πππ==⨯⨯=
故答案为：54π 【题目点拨】
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 11
[,]44
- (2) [4,0)- 【解题分析】
（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+--=-≤≤⎨⎪
⎪>⎪⎩
，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可
转化为112
4211x x -≤-≤≤⎧≤⎪
⎨⎪⎩，
解得1144x -
≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44
-． （2）因为1
(,0)2
x ∈-，所以|21|21x x +=+，
所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2
x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得
2
0x a
<<， 因为当1(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12
(,0)(,0)2a -⊆，
所以
21
2
a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-． 18、（1）见解析，22
143
x y +=（1）存在，2m =-
【解题分析】
（1）求出圆1F 和圆2F 的圆心和半径，通过圆F 1与圆F 1有公共点求出12F F 的范围，从而根据124PF PF +=可得P 点的轨迹，进而求出方程；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达
定理以及111y k x m =-，212y k x m =-，可得()2
12222
(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=-+-，根据其为定值，则有23120m -=，进而可得结果. 【题目详解】
（1）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以122F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，
又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4||4|r r F F r r --≤≤-+， 所以圆1F 与圆2F 有公共点，
设公共点为P ，因此124PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，12c a =⇒=
，b =
即轨迹E 的方程为22
143
x y +=；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y
由22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得到()2222
4384120k x k x k +-+-=， 则2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+， ① 因为1
11y k x m
=
-，212y k x m =-，
所以()()()121212121211k x k x y y k k k k k x m x m x m x m --⎛
⎫⎛⎫+=+=+
⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
()()()()()()2212211212121111x x m x x m x x k k x m x m x m x m --+--⎛⎫--=+= ⎪
----⎝⎭
()()2
12122
12122(1)2x x m x x m
k x x m x x m -+++=-++，
将①式代入整理得()2
12222(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=
-+- 因为0m <，
所以当23120m -=时，即2m =-时，()121k k k +=-. 即存在实数2m =-使得()121k k k +=-. 【题目点拨】
本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题. 19、（1）2
4x y =（2）27
2
【解题分析】
（1）因为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，可得||FN == （2）分别设NA 、NB 的斜率为1k 和2k ，切点()11,A x y ，()22,B x y ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：
(1)2y k x =+-，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0∆=，求得1k ，2k ，进而求得
切点A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得||AN ，根据点到直线距离公式求得点B 到切线AN 的距离d ，进而求得
ABN ∆的面积.
【题目详解】 （1）
0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴
||FN == ∴解得2p =，
∴抛物线M 的方程为24x y =.
（2）由题意可知，NA 、NB 的斜率都存在，分别设为1k 和2k ，切点()11,A x y ，
()22,B x y ，
∴过点N 的抛物线的切线l ：(1)2y k x =+-，
∴由2(1)2
4y k x x y
=+-⎧⎨=⎩,消掉y ,
可得24480x kx k --+=，
21616320k k ∆=+-=，即220k k +-=，
∴解得11k =，22k =-，
又
由2
4x y =，
得1
2
y x '=
， ∴1122x k ==，2
2111114
y x k =
==， ∴同理可得2224x k ==-，2
224y k ==，
∴(2,1)A ，(4,4)B -，
∴
||AN ==， ∴切线AN 的方程为10x y --=，
∴点B 到切线AN 的距离为
2d =
=，
∴127222
ABN S ∆=⨯=，
即ABN ∆的面积为272
. 【题目点拨】
本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式
20、（1
）①当m ≥- ()f x 在()0,∞+单调递增,
②当m <-()f x
单调递增区间为
⎛ ⎝⎭
,⎫
+∞⎪⎪⎝⎭,
单调递减区间为⎝⎭
（2）证明见解析 【解题分析】
（1）先求解导函数，然后对参数m 分类讨论，分析出每种情况下函数()f x 的单调性即可；
（2）根据条件先求解出m 的值，然后构造函数1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<分析出12,x x 之间的关系，再构造函数2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<分析出23,x x 之间的关系，由此证明出132x x +>. 【题目详解】
（1）2()2ln 2x f x mx x =++
，2222(()x mx x f x x m m x x x
'++=++==++
①当m ≥-()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增
②当m <-()0f x '=得220x mx ++=，
解得12m x --=
，22
m x -+=
又1212
20x x m x x +=->⎧⎨=>⎩，∴120x x <<
∴当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当22m m x ⎛--∈
⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当2m x ⎛⎫
-∈+∞
⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增. （2）依题意得，()130f m '=+=，则3m =-
由（1）得，()f x 在()0,1单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴若方程()f x t =有三个实数解()123123,,x x x x x x <<， 则123012x x x <<<<< 法一：双偏移法
设1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<，则2
1
224(1)()402(2)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()1x ϕ在()0,2上单调递增，∴(0,1)x ∀∈，11()(1)0x ϕϕ<= ∴()()()()111112001x f x f x x ϕ=--<<<，即()()112h x h x <-
∵()()12f x f x t ==，∴()()212f x f x <-，其中()21,2x ∈，()121,2x -∈ ∵()f x 在()1,2上单调递减，∴212x x >-，即122x x +>
设2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<，2
2
222(2)()204(4)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()2x ϕ在()1,4上单调递增，∴()1,2x ∀∈，()()2220x ϕϕ<= ∴()()()()222224012x f x f x x ϕ=--<<<，即()()22 4f x f x <-
∵()()23f x f x t ==，∴()()324f x f x <-，其中()32,x ∈+∞，()242,3x -∈ ∵()f x 在()2,+∞上单调递增，∴324x x <-，即231242x x x x +<<++ ∴132x x +>. 法二：直接证明法
∵122x +>，32x >，()f x 在()2,+∞上单调递增， ∴要证132x x +>，即证()()()1312f x f x t f x +>==
设()(2)()(0)x f x f x x ϕ=+->，则22 ()22x x x ϕ'=-+=
+
∴()x ϕ在()
1上单调递减，在
)
1,-+∞上单调递增
∴1(0,1)x ∀∈，()11)1)1)2[ln(23]0x f f ϕϕ≥=-=> ∴()()()11120x f x f x ϕ=+->，即()()()1132f x f x f x +>=
（注意：若ln(230++>没有证明，扣3分）
关于ln(230+>的证明：
（1）0x ∀>且1
x e
≠
时，ln 2x ex <-（需要证明），其中 2.721e <<
∴ln(2(221)(223e -<-<-=
∴ln(2ln(23
+==-->-
∴ln(230++>
（21 2.73e >>，∴ln(42ln(12ln 2e +=>=
∴ln 2ln(22++>，即ln(22ln 2+>-
∵1021024=，772.71046e >>，∴1072e <，则10ln 27ln 20.7<⇒<
∴ln(22ln 220.7 1.33+>->-=> 【题目点拨】
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.
21、（Ⅰ）分布列见解析，()15E X =；(Ⅱ)3
4
；(Ⅲ)至少增加2人. 【解题分析】
（Ⅰ）求出X 的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）当P （a ≤X ≤b ）取到最大值时，求出a ，b 的可能值，然后求解P （a ≤X ≤b ）的最大值即可． （Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人． 【题目详解】
(Ⅰ)X 的取值为：9，12，15，18，24；
()3920P X ==
,()51220P X ==,()71520P X ==, ()21820P X ==,()3
2420P X ==，
X 的分布列为：
故X 的数学期望()912151824152020202020
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)当P (a ≤X ≤b )取到最大值时, a ,b 的值可能为：915a b =⎧⎨
=⎩,或1218a b =⎧⎨=⎩,或1824
a b =⎧⎨=⎩.
经计算159150(2)P X ≤≤=,14121()820P X ≤≤=,5182()420P X ≤≤=， 所以P (a ≤X ≤b )的最大值为
153204
=. (Ⅲ)至少增加2人. 【题目点拨】
本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题. 22、（1）(1)10a x y +-+=（2）答案见解析（3）答案见解析 【解题分析】
（1）设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ，可求得(0)1k f a ='=+，(0)1f =，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，()(1)x f x e ax a '=++，分0a =时，0a >，0a <三类讨论，即可求得各种情况下的()f x 的单调区间为；
（3）分0a =与0a ≠两类讨论，即可判断函数()f x 的零点个数． 【题目详解】 （1）
()(1)x f x e ax =+，
()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，
设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，
∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；
（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，
故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-
，()0f x '<；1
(a x a
+∈-，)+∞，()0f x '>； ()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-
，递增区间为1
(a a
+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1
(a a
+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a
+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1(a a
+-，)+∞； （3）当0a =时，()0x
f x e =>恒成立，所以()f x 无零点；
当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1
x a
=-，只有一个零点． 【题目点拨】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．。