【高中教育】高中数学 第一章 统计 用样本估计总体学案 北师大版必修3.doc

用样本估计总体
一、新情景引入：
在西方国家还有这种观点：游泳比乘坐客车危险小的多，通过调查发现，实际上游泳死亡要比车祸要大的多，因为每个家庭的后院都有自己的游泳池。

孩子逆水死亡是经常的事情；在西方国家，每当飞机发生空难，乘客对飞机的安全系数产生怀疑时，常听到航空公司的有关人士辩解说：“乘坐飞机还是比乘坐火车安全的。

”理由是：飞机飞行10万公理死亡1人，而火车行驶5万公理就有1人死亡，你认为这个结论正确吗，能否给出合理的解释呢？
二、要点精析
1、用样本估计总体时，常用的统计图表有频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图。

2、列样本数据的频率分布表、频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差。

极差是样本数据的最大值与最小值的差。

（2）决定组距与组数。

组距选取据情况而定，越小越能反映总体分布。

（3）决定分点。

使分点与样本数据不重合，一般使分点比样本数据多一位小数，并且第一小组的起点比最小数据稍微减小一点，要保证每一个样本数据不重不漏。

（4）列频率分布表，累计频率等于1.
（5）绘制频率分布直方图。

直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值。

各小长方形的面积等于相应各组的频率，故所有长方形面积之和等于1.
3、频率分布折线图，把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来得到频率分布折线图。

设样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则样本分布实际上越来越接近于总体分布，可用一条光滑的曲线来描绘，叫在总体密度曲线，它精确地反映了一个总体在各个区域那取值的规律。

4、茎叶图。

从频率分布直方图可清楚的看出数据分布的总体态势，但从其本身得不出原始的数据内容；茎叶图没有原始信息的损失，且方便记录和表示，但只适合两位数字的数据。

5、在实际生活中，我们往往更关注总体的某些数字特征，如平均数和标准差。

用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。

6、记n 个样本数据n x x x ,,21的平均数为x ，方差为2s ，标准差为s ，则：
（1）样本平均数n
x x x x n ,,21=； （2）样本方差n x x x x x x s n 2
22212
)()()(-++-+-= ； （3）样本标准差n
x x x x x x s n 2
2221)()()(-++-+-= 注意：要熟练掌握用函数型计算器求样本平均数和标准差。

7、平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平。

反映在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点。

方差、标准差描述了数据围绕平均数波动的大小和离散程度。

若样本数据值都相等，则标准差为0；若个体的值与平均数的差越大，则标准差越大，表明数据对平均数的离散程度越高。

反映在频率分布直方图上，越“瘦高”标准差越小，越“矮胖”标准差越大。

8、众数、中位数与平均数的异同
（1）众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量。

（2）由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质。

（3）众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题。

（4）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，
中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。

（5） 际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。

三：注意点析
1、统计是与数字打交道，整理数据的工作量大，因此计算时务必耐心，确保计算结果准确。

2、求方差常用公式：
（1）定义法：2s ])()()[(122221x x x x x x n
n -++-+-= （2）简化法：2s ].)[(1222221x n x x x n
n -++= 3、关于统计的有关性质及规律
（1） 若n x x x ,,21的平均数为x ，那么a mx a mx a mx n +++,,,21 的平均数是.a x m +
（2）数据n x x x ,,21与数据a x a x a x n +++,,,21 的方差相等。

（3）若n x x x ,,21的方差为2s ，那么n ax ax ax ,,,21 的方差为.22s a
4、注意问题
（1）样本频率分布直方图与样本平均数有着密切关系，在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点；
（2）样本标准差是样本方差的算术平方根；
（2） 样本标准差描述了数据对平均数的离散程度。

四、基本过关题
1、甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若-
甲x 、
－乙x 分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是（ ） A ．-甲x >－
乙x ，乙比甲稳定
B ．-甲x >－乙x ，甲比乙稳定
C ．-甲x <－
乙x ，乙比甲稳定
D ．-甲x <－乙x ，甲比乙稳定
2、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为（ ）
A ．1辆
B ．10辆
C ．20辆
D ．70辆
3、已知两组数据n x x x ,,,21 与n y y y ,,,21 ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据132,,132,1322211+-+-+-n n y x y x y x 的平均数是（ ）. (A) y x 32- (B) 132+-y x (C) y x 94- (D) 194+-y x
答案与提示
1、A
本小题考查了平均数与方差的应用，利用图表计算知-甲x ＝86，－乙x ＝82，4.542＝甲x ，4.362
＝乙x 。

故选择A 。

2、C
解： (80-70)×0.01×200=20.
3、B
本题考查了样本数据平均数的计算。

由已知可得所求的平均数为 )]132()132()132[(12211+-+++-++-n n y x y x y x n
=++++-+++=])(3)(2[12121n y y y x x x n n n 132+-y x。