极大似然估计概念的微课程教学设计

极大似然估计概念的微课程教学设计
陈永娟
(莆田学院数学与金融学院，福建莆田351100)
[摘要]极大似然估计法是概率统计中一种重要的、应用广泛的方法，同时也是学生较难理解的概率统计概念。

本 文给出一节极大似然估计的微课程教学设计。

通过案例教学法，由浅人深地讲解极大似然估计的基本思想、原则和解题 步骤，并在其中融人基本的统计思想，让学生能够进一步理解这个概念。

[关键词]微课;极大似然估计；教学设计
[中图分类号]G420 [文献标识码]A[文章编号]1671 -5330(2019)02 - 0147 - 03
〇引言
概率论与数理统计是一门基础课程，在高校 中不仅是理工科各专业要学习它，管理类各专业、农、林、医、人文等专业也要学习它。

但是由于它 特有的一些思想方法，使得不少学生掌握起来比 较困难。

近年来很多概率统计教师，将微课应用 于该课程的教学改革中，通常会通过一节十到二 十分钟的微课讲清一个概念。

如何进行教学设计 把一个概念讲清讲透呢？本文给出一节极大似然 估计的微课程教学设计，为概率统计微课程的教 学设计起到一个抛砖引玉的作用。

1教学背景
概率论与数理统计中，极大似然估计法的概 念方法是在学生已经学习了点估计、矩法估计等 概念之后学习的知识点。

它是概率论与数理统计 的重要概念之一。

极大似然估计法应用非常广 泛，在以往的教学中发现学生往往只会套模式做 相关练习，而对极大似然估计的基本思想和估计 参数的原则理解不透彻。

一个很重要的原因是教 师对这个方法的统计思想阐述得不够透彻。

下面 通过一节十多分钟的微课程教学设计，让学生能 进一步理解极大似然估计的基本思想和概念。

2教学方法和过程
根据思维习惯由直观到抽象的特点，首先给 出一个简单的例子先让学生从直观上去估计参 数，这样对于接下来较抽象的理论有较好的引导 作用。

例1一个盒子中装有若干个白色和黄色的 乒乓球，不同颜色球的数量比为3:1，但不知哪种 颜色的球比较多。

现从中有放回地抽取两球，发 现都是白球，试估计白球所占的比例。

让学生直观估计白球所占的比例，学生一般都能答对，白球所占的比例为|■。

告诉学生其实他们在无形中应用了极大似然估计的思想方法。

接 下来总结他们的思维过程。

解：白球所占比例P = +或I d表示抽取的2个球都是白球。

当p = +时，P(4) = 当p =含时，P M)=备。

/> =舍时，事件4发生的概率比较大,所以估计白球所占的比例为|■理由是比较 充分的。

[收稿日期]2019 - 03 - 27
[基金项目]福建省自然科学基金项目（2019J01060717);莆田学院校内教改项目（JG201741)。

[作者简介]陈永娟（1980—），女，福建霞浦人，副教授，主要研究方向：概率统计教学和应用。

148安阳师范学院学报2019 年
通过上面的简单例子，引入极大似然估计的
基本思想:在一次随机试验中，如果有若干个可能
的结果4 W，"•。

若在一次试验中，结果4发生
了，则一般认为试验条件对4发生有利，基于此所
做出的估计要使得4发生的概率最大[1]。

结合前面的例1解释极大似然估计的基本思
想，上面的例子中试验取到两个球的可能结果是
一白一黄、两个都是黄的、两个都是白的三种。

结
果是两个都是白球的事件发生了，/>= f的时候
发生此事件的概率较大，因此我们估计P = f。

接着介绍极大似然估计法的来历，调动学生
的学习兴趣。

极大似然估计法，最早由高斯（C.
F.Gauss)提出。

后来由费歇（R.A_Fisher)1912
年在《统计估计理论》一文中重新提出，并证明了
此方法的一些性质。

极大似然估计法这一名称也
是他给出的[2]。

现在在前面直观理解的基础上严格阐述极大
似然估计法。

设总体的分布为/(尤,0)，0 = …，久）
是未知参数，（A，Z2，…，是总体Z的样本，
(A A，…，;〇是一组样本观测值。

则事件u,=
=&，•",=:«…)发生的概率为*2,
…，〜;0)=尸(义1= ，尤2=丨2,…入==
,这是以（A,巧，…，*J为样本的似然
1 = 1
函数，简记为乙(0)。

以巧,*2,…，e 0,0为参
数空间，使得i(&) = 则称》(〜，—，…，
%)为0的极大似然估A值J(H，…人）为沒
的极大似然估计量[3]。

对抽象的极大似然估计法的几点说明：
(1)这里的0有可能是一个参数，比如说泊 松分布0 = A;也有可能是向量，比如说正态分布
6 = (fJi,(T2)
(2)这里讲的似然函数就是联合概率函数, 我们这里是以离散型随机变量为例,/U，0)就是
X的分布律;若X是连续型随机变量的话，/(*，0)
就是X的密度函数。

选择的参数要使得似然函数
最大，也就是使得样本观测值出现的概率最大。

由
此得出极大似然估计法的原则：对每一组样本观
测值，估计出的参数要使得出现样本观测值的概
率最大。

这是对极大似然估计最朴素和直观的阐
述。

(3)极大似然估计法是从观测值出发的，因
此直接求出的是极大似然估计值,要求估计量的
话，注意把\改为弋。

(4)极大似然估计简记为MLE(Maximum Likelihood Estimation)，似然是对 Likelihood 的一
种较为贴近的翻译，可以理解为可能性、看起来像
的意思[4]。

下面，再通过一道跟上面的例题有密切联系
的例题进行练习，让学生进一步理解极大似然估
计法估计参数的原则以及解题步骤。

例2 —个盒子中装有若干个白色和黄色的兵
乓球，不同颜色球的数量比为3:1,但不知哪种颜
色的球比较多。

现从中有放回地抽取3个球，发
现取到的第一个球是白球，后面两个球是黄球，试
用极大似然估计法估计白球所占的比例。

分析:在例1中学生只要通过直观就可以给
出估计，这道题目难度稍微加深，考查如何根据极
大似然估计的方法给出严格的估计。

解:根据极大似然估计法的定义，首先写出总
体的分布：
1，取到白球
=〇,取到黄球
则概率函数
f(x,p)= px(l - p)l'x,x = 0,1
写出似然函数，并带入样本观测值得：
U p)= n^1^1~ py~x i
i=i
== />(1 ~ P)1
这里的样本观测值为（1，〇,〇);参数空间为
0 = ■丨。

将参数代入似然函数进行比较：
=h>L{\) =h
根据极大似然估计法估计参数的原则，的极大
似然估计值为> =
这个例题的设计非常关键，由例1学生能够
直观理解的例题进行拓展，由浅人深地阐述极大
似然估计的概念同时给出解题的步骤，同时融入
了极大似然估计的基本统计思想。

通过两个简单
的例题就可以讲清极大似然估计的概念。

下面举一个比较贴近生活的应用例子。

例3[5]设电话总机在一天内接到的呼叫次
数X服从参数为A泊松分布P(A)，现有42个数
第2期陈永娟:极大似然估计概念的微课程教学设计149
据如下:
呼叫次数0•2345> 5
出现的频数710128320
求参数A的极大似然估计。

解:*i，七，…是来自总体X的一组样本观 测值，则似然函数为：
n n x.\ 7.x
r p u‘=、）= n(f r)i=,
n(、!）
i=l
两边关于A取对数求导得似然方程为：
d_
d\
(ln(L U)))0
解得A的极大似然估计值为：
A= T-X= ^,
n1 = 1
根据题目给的样本数据求得
1x l0+2x l2+3x8+4x3+5x2
尤= A2
1.905求得A的极大似然估计值为1.905。

在传统的教学设计中通常只要求泊松分布参 数的极大似然估计量，而没结合实际例子的具体 数据，学生往往都只会依葫芦画瓢去进行计算。

通过这道例题既可以总结出极大似然估计解 题的基本步骤：（1)根据样本构造似然函数；（2)对似然函数取对数求导得到似然方程；（3)解似 然方程，求出参数的极大似然估计值；（4)写出参数的极大似然估计量。

我们根据具体实例可以讨 论具体的极大似然估计值怎么求。

在选择案例的 时候要看是否能说明问题，而不是越复杂越好。

可以在传统的教学设计的例子中，根据学生的思 维特点和学习中存在的困难进行适当的改编以得 到合适的例子。

3结束语
学生在应用概率统计方法的时候，常常都是 生搬硬套，并不能真正理解它们的基本思想和原 理，因此也就不能灵活应用。

教师在教学过程中 要讲透那些学生不易理解的概念。

教师自己先要 吃透相关的概念和思想。

在微课程教学设计过程 中,就一个点展开，要注意由浅人深，注重学生统 计思想的建立，这样才能让学生真正掌握相关的 概念。

[参考文献]
[1]梁飞豹.概率论与数理统计(第二版）[M].北京:北京
大学出版社,2012.
[2 ]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北
京:高等教育出版社,2008.
[3] 盛骤，谢式千，等.概率论与数理统计（第四版）[M].
北京:高等教育出版社,2010.
[4] 刘倩.极大似然估计方法的直观教学设计[门.高师
理科学刊，2015 ,35(6) :55 -57.
[5] 潘福臣,林志兴，等.概率论与数理统计[M].吉林:吉
林大学出版社,2010.
[责任编辑：张怀涛]。