中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题附带答案
一、单选题(共12题；共24分)
1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x=1。

下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③4a-2b+c=0；④若点M(m，n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．二次函
数
y=ax2+bx+c
(a、b、c
为常数且
…-3-2-1012345…
a≠0)中的x
与y的部
分对应值
如下表
x
y…1250-3-4-30512…
①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；
②抛物线与y轴交点为（0，-3）；
③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；
④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.
其中正确结论的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝
1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4
A．4B．3C．2D．1
4．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是
A．−4B．0C．2D．3
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在x轴的负半轴，
点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO= 1
2，CO=BO，AB=3．则下列判断中正确的
是（）
A．此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2
B．在此抛物线上的某点M，使∠MAB的面积等于4，这样的点共有三个
C．此抛物线与直线y=﹣94只有一个交点
D．当x＞0时，y随着x的增大而增大
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x−1013
y−3131
x<2时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac
＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2.其中正确的结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
8．已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()
A．(2，-3)B．(2，1)C．（2 , 3）D．(3，2)
9．不论x为何值，函数y=ax2+bx+c(a≠0）的值恒大于0的条件是()
A．a>0，Δ>0B．a>0，Δ<0C．a<0，Δ<0D．a<0，Δ>0 10．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：
①当x＞﹣2时，y1随x的增大而减小；②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；③当m＝1时，y1≤y2；④在实数范围内，对于x的同一个值，这
两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m =1 3 .
其中，正确结论的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
11．直线y=x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y=x2+2x+1−m与x轴的交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
12．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是
（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
二、填空题(共6题；共6分)
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出
四个结论：①c＞0；②若B（﹣3
2，y1），C（﹣
1
4，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝
0；④4ac−b 2
4a
＜0，其中正确的结论是 ．
14．关于x 的函数 y =ax 2−2x +1 与x 轴有唯一交点，则a 的值是 .
15．若二次函数y=ax 2+3x ﹣1与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 ． 16．若二次函数 y =x 2−2ax −1 （ a 为常数）的图象在 −2≤x ≤5 的部分与 x 轴有两个公共
点，则 a 的取值范围是 .
17．如图，二次函数Y=﹣ 12 x 2﹣ 32
x+2象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点D （m ，
n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+2x +c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过
点C 作CD ∥x 轴，交抛物线于另一点D ，若AB +CD =3，则c 的值为 ．
三、综合题(共6题；共66分)
19．已知函数y =x 2−mx +m −3．
（1）求证：无论m 为任何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点； （2）若函数图象不经过第三象限，求m 的范围；
（3）求证：无论m 为何实数，此二次函数的图象一定经过第四象限．
20．已知二次函数y=- 12
x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求∠ABC的面积和周长. 21．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D.
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∠DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？
②设∠BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.
22．已知抛物线y=ax2+bx+c=0与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，顶点为D。

（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）判断∠BCD的形状。

23．已知函数y=x2+(m+1)x+m（m为常数），问：
（1）无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为；
（2）求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数y=−(x+1)2图象上：
（3）若抛物线y=x2+(m+1)x+m与x轴有两个交点A、B，且1<m≤4，求线段AB的最大值.
24．已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣92）两点．（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣3
16x
2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明
情况．
参考答案
1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】A 13．【答案】①③ 14．【答案】0或1 15．【答案】a ＞﹣ 且a≠0
16．【答案】−34≤a ≤12
5
17．【答案】8 18．【答案】−34
19．【答案】（1）证明：∵y =x 2−mx +m −3
∴Δ=b 2−4ac =m 2−4(m −3)
=m 2−4m +12 =(m −2)2+8>0
∴无论m 为任何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点； （2）解：y =x 2−mx +m −3 ∴抛物线的对称轴为：x =−
b 2a =m
2
由题意得：m
2>0，解得m >0
且x =0时，y =m −3≥0，解得：m ≥3 ∴当函数图象不经过第三象限，m ≥3； （3）证明：当x =1时
∴无论m 为何实数，抛物线必过点(1，−2)
即：二次函数的图象一定经过第四象限．
20．【答案】（1）解：∵二次函数y=- 12
x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点
∴{
−2+2b +c =0c =−6 解得： {
b =4
c =−6
∴二次函数的解析式是y=- 12
x 2+4x-6
（2）解：∵对称轴x=- b 2a =4
∴C 点的坐标是(4，0)
∴AC=2，OB=6，AB=2 √10 ，BC=2 √13 ∴S ∠ABC = 12 AC·OB= 12
×2×6=6
∠ABC 的周长=AC+AB+BC=2+2 √10 +2 √13
21．【答案】（1）A （-1，0），B （3，0），C （0，3）
（2）解：①设直线BC 的函数关系式为y=kx+b ，把B （3，0），C （0，3）分别代入，得 {3k +b =0b =3，解得：{
k =−1b =3
∴直线BC 的函数关系式为y=-x+3. 当x=1时，y=-1+3=2 ∴E （1.2）. 当x=m 时，y=-m+3 ∴P （m ，-m+3） 在y=-x 2+2x+3中 当x=1时，y=4 ∴D （1，4）.
当x=m 时，y=-m 2+2m+3 ∴F （m ，-m 2+2m+3） ∴线段DE=4-2=2
线段PF=-m 2+2m+3-（-m+3）=-m 2+3m ∵PF ∥DE
∴当PF=DE 时，四边形PEDF 为平行四边形. 由-m 2+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）. 因此，当m=2时，四边形PEDF 为平行四边形.
②设直线PF 与x 轴交于点M ，由B （3，0），O （0，0），可得OB=OM+MB=3.
∵S=S∠EPF+S∠CPF
即S=12PF•BM+12PF•OM=12PF （BM+OM ）
=12
PF•OB ∴S=12×3（-m 2+3m ）=-3
2
m 2+m （0≤m≤3）.
22．【答案】（1）解：设y=a(x+1)(x-3)，将C(0，-3)代入解析式得：-3a=-3 ∴a=1
∴y=(x+1)(x-3)=x 2-2x-3 ∵y=x 2-2x-3=(x-1)2-4 ∴顶点D(1，-4)
（2）解：∵B(3，0) C(0，-3) D(1，-4) ∴BC 2=32+32=18 CD 2=12+12=2 BD 2=22+42=20 ∴BC 2+CD 2=BD 2 ∴∠BCD 是直角三角形
23．【答案】（1）（-1，0）
（2）证明：∵y =x 2+(m +1)x +m =(x +m+12)2−(m−1)2
4
∴函数y =x 2
+(m +1)x +m 的顶点坐标为(−m+12，−(m−1)2
4
) ∴当x =−
m+1
2
时 ∴无论m 为何值该函数图象的顶点都在y =−(x +1)2图象上； （3）解：令y =0 解得：x 1=−m
∴AB =|−m −(−1)|=|m −1| 令线段AB 的长度为z ，则z =|m −1| 因为1<m ≤4 所以z =m −1 因为z 随m 增大而增大 所以当m =4时
故线段AB 的最大值为3.
24．【答案】（1）解：把A （0，3），B （﹣4，﹣ 92 ）分别代入y=﹣ 316 x 2+bx+c ，得
{
c =3
−316×16−4b +c =−92
解得{b=98 c=3
（2）解：由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣3
16x
2+ 9
8x+3．
∠=（98）2﹣4×（﹣316）×3= 225
64＞
所以二次函数y=﹣3
16x
2+bx+c的图象与x轴有公共点．
∵﹣3
16x
2+ 9
8x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）。