高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题
1、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE
的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32
答案：B
分析：因为C:x 2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±b
a
x，与直线x=a联立方程求得D，
E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.
∵C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)
∴双曲线的渐近线方程是y=±b
a
x
∵直线x=a与双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立{x=a
y=b
a x，解得{
x=a
y=b
故D(a,b)
联立{x=a
y=−b
a x，解得{
x=a
y=−b
故E(a,−b)
∴|ED|=2b
∴△ODE面积为：S△ODE=1
2
a×2b=ab=8
∵双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)
∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8
当且仅当a=b=2√2取等号
∴C的焦距的最小值：8
故选：B.
小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
2、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）
A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1
a +4
b
=2，则a+b≥9
2
C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值1
2
答案：B
分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，
由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，
当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若a>0，b>0，
1 2×(1
a
+4
b
)=1，
a+b=1
2×(1
a
+4
b
)(a+b)=1
2
(5+b
a
+4a
b
)≥1
2
(5+2√b
a
⋅4a
b
)=9
2
，
当且仅当1
a +4
b
=2且b
a
=4a
b
，
即a=3
2
,b=3时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由a>0，b>0，
ab+b2=b(a+b)=2，
即a+b=2
b
，
如b=2时，a+b=2
2
=1<4，所以选项C不正确；
对于选项D：ab≤(a+b
2)
2
=1
4
，当且仅当a=b=1
2
时取等
则ab有最大值1
4
，所以选项D不正确；
故选：B
3、已知函数y=x−4+9
x+1
(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8
答案：C
分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案
解：因为x>−1，所以9
x+1
>0,x+1>0，
所以y=x−4+9
x+1=x+1+9
x+1
−5≥2√(x+1)⋅9
x+1
−5=1,
当且仅当x+1=9
x+1
即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，
所以a=2,b=1，所以a+b=3，
故选：C
4、不等式|5x−x2|<6的解集为（）
A．{x|x<2,或x>3}B．{x|−1<x<2,或3<x<6} C．{x|−1<x<6}D．{x|2<x<3}
答案：B
分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6
∴{x2−5x−6<0 x2−5x+6>0⇒{
−1<x<6
x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6
则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}
故选：B.
5、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=
A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}
答案：C
分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则
M∩N={x|−2<x<2}．故选C．
小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
6、已知1
a <1
b
<0，则下列结论正确的是（）
A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B
分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
因为1
a <1
b
<0，所以b<a<0，故A错误；
因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；
因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；
ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.
故选：B
7、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）
A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a
2+2b>2√ab D．a
2
+2b<2√ab
答案：A
分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2
>0，故a+b>2√ab，A对B错；
a 2+2b−2√ab=a
2
+2b−2√a
2
⋅2b=(√a
2
−√2b)
2
≥0，即a
2
+2b≥2√ab，
当且仅当a
2
=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.
故选：A.
8、已知实数a,b,c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是（）
A．a+1
b <b+1
a
B．2a+b
a+2b
<a
b
C．b
a−c
>a
b−c
D．√c
a
3<√c
b
3
答案：B
分析：对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断
解：对于A，因为a>b>0，所以1
a <1
b
，所以a+1
b
>b+1
a
，所以A错误，
对于B ，因为a >b >0，
所以2a+b a+2b −a b =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，
所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，
对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<a b−c =1，所以C 错误，
对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b 3=−1，所以D 错误，
故选：B
9、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（
）
A ．−1
B ．−4
C ．−4或1
D ．−1或4
答案：A
分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.
∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根，
∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0，
解得：m ⩽1，
∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，
∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，
∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，
解得：m =−1或m =4(舍去).
故选：A.
10、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ）
A ．52
B ．3
C ．92
D ．2√2+1
答案：A
分析：由已知得，a=2−1
b 代入得2ab+1
a
=2(2b−1)+b
2b−1
，令2b−1=t，根据基本不等式可求得答案.
解：因为a+1
b =2，所以a=2−1
b
>0，所以0<b<2，
所以2ab+1
a =2(2−1
b
)b+b
2b−1
=2(2b−1)+b
2b−1
，
令2b−1=t，则b=t+1
2
，且−1<t<3，
所以2ab+1
a =2t+
t+1
2
t
=2t+1
2t
+1
2
≥2√2t⋅1
2t
+1
2
=5
2
，当且仅当2t=1
2t
，即t=1
2
，b=3
4
,a=2
3
时，取等号，
所以2ab+1
a 的最小值是5
2
.
故选：A.
填空题
11、已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0，则a的取值范围是________
答案：a≥−2+2√2或a≤−2−2√2
分析：先由已知条件，得到−a=b+c,bc=1−a，对bc的正负进行分类讨论，利用基本不等式得到关于a 的不等式，解出a的范围.
①当b>0,c>0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴−a=b+c,bc=1−a,
可得：−a>0,1−a>0，可得：a<0，
∴−a=b+c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：a≤−2−2√2；
②当b<0,c<0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0,∴a=(−b)+(−c),bc=1−a，
可得：a>0,1−a>0，可得0<a<1.
∴a=−b−c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：−2+2√2≤a<1；
③当bc=0时，不妨取c=0,由已知可得：a=1,b=−1，此时a=1；
④当bc <0时，∵a +b +c =0,a +bc −1=0，∴a =−(b +c ),a =1−bc >1.
综上可得：a 的取值范围是a ≥−2+2√2或a ≤−2−2√2.
所以答案是：a ≥−2+2√2或a ≤−2−2√2
12、已知x >0,y >0且12x+1+1y+1=1，则x +y 的最小值为___________.
答案：√2
分析：令a =2x +1，b =y +1，将已知条件简化为1a +1b =1；将x +y 用a,b 表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
解：令a =2x +1，b =y +1，因为x >0,y >0，所以a >1,b >1，
则x =a−12，y =b −1，所以1a +1b =1,
所以x +y =a−12+b −1=a 2+b −32=(a 2+b)(1a +1b )−32
=12+1+b a +a 2b −32=b a +a 2b ≥2√b a ×a 2b =√2，
当且仅当{b a =a 2b 1a +1b =1 ，即b =2+√22，a =√2+1，即x =y =√22
时取“=”， 所以x +y 的最小值为√2.
所以答案是：√2.
13、已知正数a,b 满足a +3b +3a +4b =18，则a +3b 的最大值是___________.
答案：9+3√6
分析：设t =a +3b ，表达出t (18−t )，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可. 设t =a +3b ，则3a +4b =18−t ，
所以t (18−t )=(a +3b )(3a +4b )=15+9b a +4a b ≥15+2√9b a ⋅
4a b =27，当且仅当2a =3b 时取等号.
所以t2−18t+27⩽0，解得9−3√6⩽t⩽9+3√6，即a+3b的最大值9+3√6，当且仅当2a=3b，即a=
3+√6，b=2+2√6
时取等号.
3
所以答案是：9+3√6
14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．
答案：[−2,6]
分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果.
∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；
设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，
∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].
所以答案是：[−2,6].
15、若关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为___________．答案：(5，6]
分析：不等式化为(x−m)(x−2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
x2−(m+2)x+2m<0可化为(x−m)(x−2)<0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m⩽6；
所以答案是：(5，6]．
16、正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
答案：[9,+∞)
分析：由题得ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3，解不等式ab−2√ab−3≥0即得解.
∵a，b是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
所以ab−2√ab−3≥0，
所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，
所以√ab≥3或√ab≤−1，
所以ab≥9.
所以答案是：[9,+∞)
小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17、函数y=x+1+4
x+1
(x>−1)的最小值为______.
答案：4
分析：利用基本不等式直接求解即可
因为x>−1，所以x+1>0，
所以y=x+1+4
x+1≥2√(x+1)⋅4
x+1
=4，
当且仅当x+1=4
x+1
，即x=1时取等号，
所以y=x+1+4
x+1
(x>−1)的最小值为4，所以答案是：4
18、函数y=2
√x2+1
的最小值是___________. 答案：4
分析：根据基本不等式可求出结果.
令t=√x2+1≥1，则y=2
√x2+1=t+4
t
≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.
所以函数y=
2
√x2+1
的最小值是4.
所以答案是：4
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19、已知x、y为两个正实数，且m
x+y ≤1
x
+1
y
恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案：(−∞,4]
分析：由参变量分离法可得m≤(x+y)(1
x +1
y
)，利用基本不等式求出(x+y)(1
x
+1
y
)的最小值，由此可得出实
数m的取值范围.
因为x、y为两个正实数，由m
x+y ≤1
x
+1
y
可得m≤(x+y)(1
x
+1
y
)，
因为(x+y)(1
x +1
y
)=2+x
y
+y
x
≥2+2√x
y
⋅y
x
=4，当且仅当x=y时，等号成立.
所以，m≤4，因此，实数m的取值范围是(−∞,4].
所以答案是：(−∞,4].
20、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．
答案：{m|m≥9或m≤1}
分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
所以答案是：{m|m≥9或m≤1}
解答题
21、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m−1) x+2m+6=0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4；
(3)至少有一个正根.
答案：(1)m<−1
(2)−7
5<m<−5
4
(3)m≤−1
分析：设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.
（1）
设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．
依题意有f(2)<0，即4+4(m−1)+2m+6<0，得m<−1．
（2）
设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．
依题意有{f(0)=2m+6>0 f(1)=4m+5<0
f(4)=10m+14>0，解得−7
5
<m<−5
4
．
（3）
设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得{
Δ≥0 f(0)>0
2(m−1)
−2>0
，即{
m≤−1或m≥5
m>−3
m<1
.∴−3<m≤−1．
②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．
③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m=0
2(m−1)<0，∴m=−3．
综上所述，得m≤−1．
22、已知a>0，b>0.
（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；
（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.
答案：（1）证明见解析；（2）1.
分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.
证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，
∴a2+3b2≥2b(a+b).
（2）∵a>0，b>0，
∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，
∴√ab≥1，∴ab≥1.
当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.
小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运
用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。